栗小妮，汪曉勤

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美國早期教科書中的無理數概念

栗小妮，汪曉勤

（華東師范大學 教師教育學院，上海 200062）

1820—1969年出版的100種美國中學和大學代數教科書先后給出了8種不同的無理數的定義，20世紀20年代開始，才出現用“無限不循環(huán)小數”定義無理數．早期教科書中無理數概念的演變?yōu)榻裉斓慕炭茣帉懞蜔o理數概念教學，提供借鑒．教科書編寫應體現無理數定義的多樣化，并體現無理數是不能用整數和分數表示的數．可借鑒無理數定義的發(fā)展歷史，運用重構歷史的方式設計無理數概念教學，促進學生對無理數以及實數體系的整體理解和掌握．

無理數；無理式；不盡根；定義

1 引言

古希臘畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數”，把數歸結為整數或整數比，在幾何上這相當于說：對于任意給定的兩條線段，總能找到某第三條線段，作為公共度量單位．但后來發(fā)現，存在不可公度的線段（如正方形的對角線與其一邊），它們的長度之比就是后人所稱的無理數，由此引發(fā)了史上第一次數學危機．但不少數學家一開始并不接受無理數，無理數理論經歷了緩慢而艱辛的發(fā)展過程，直到兩千三百多年后的19世紀末才出現了無理數的嚴格定義和完善的理論．

現行教科書將有理數定義為“整數和分數”，而采用“無限不循環(huán)小數”來定義無理數，與之前的有理數定義并無關聯(lián)，且完全脫離了它最原始的來源．學生常常會問，這里的“有”、“無”和“整數和分數”、“無限不循環(huán)小數”之間有什么關系？“無理數真的沒有道理嗎？為什么稱為無理數？”初中學生接觸的無理數通常有3類：不盡根、π和構造的無限不循環(huán)小數．通過一定課時的學習和周而復始的練習，大多數學生能夠從形式上判斷什么樣的數是無理數，但學生并不理解到底什么是無限不循環(huán)小數？為什么無理數是無限不循環(huán)小數？已有研究表明，學生對無理數既“不能用整數和分數表示”同時也是“無限不循環(huán)小數”的理解存在障礙，對于無限不循環(huán)小數是無理數存在疑惑，常常忽視無限不循環(huán)小數的結構特征[1]．60%的初中生對無理數的無限不循環(huán)性缺乏堅定的信念，反映出學生對無理數概念的理解存在問題[2]．在一項對職前數學教師的調查中發(fā)現，雖然職前數學教師在高中和大學已經接觸過許多其它形式的無理數，但他們對無理數的印象依然停留在“小數型”和“根號型”，且對這兩種形式的掌握也不盡理想，沒有對無理數的概念形成整體性的理解[3]．

由此可見，用“無限不循環(huán)小數”定義無理數，脫離了學生先前所學的有理數知識，無理數定義與有理數定義相分離，不利于學生對實數體系的整體理解和掌握．美國數學史家卡約黎（F. Cajori，1859—1930）認為，“學生所遭遇的困難往往是相關學科的創(chuàng)建者經過長期思索和探討后所克服的實際困難”[4]；另一位美國數學史家史密斯（D. E. Smith，1860—1944）認為：“困擾世界的東西也會困擾兒童，世界克服其困難的方式提示我們，兒童在其發(fā)展過程中會以類似的方式來克服類似的困難．”[5]因此，了解前人對無理數的理解，對于認識今日學生的認知困難具有重要借鑒意義．

通過對1820—1969一百五十年間出版的100種美國代數教科書中有關無理數內容的考察，試圖回答以下問題：早期代數教科書如何定義無理數？定義如何演變？對今日教科書編寫和課堂教學有何啟示？

2 研究對象

共選取20世紀70年代之前出版的100種美國代數教科書，若以十年為一段，則各教科書的時間分布情況如圖1所示．

圖1 100種教科書的時間分布

其中，對于同一作者再版的教科書，若內容無變化，則選擇最早的版本，若內容有變化，則將其視為不同教科書．

100種代數教科書中，61種是中學教科書，39種是大學教科書．無理數的定義所在章節(jié)大致可以分為“根式”、“定義與公理”、“數”、“因式分解”、“數的運算”5類，如表1所示．其中無理數定義最多出現在“根式”章節(jié)，占64%；其次是“數”，占20%．

表1 無理數概念在100種代數教科書中的章節(jié)分布

以30年為一個時間段，圖2給出的是“根式”和“數”章節(jié)在每個時間段的分布，反映出早期人們對無理數類型的認識主要局限于“根號型”，在20世紀50年代后的教科書中，無理數定義均出現在“數”這一章節(jié)中，且實數均單獨列為一章．

圖2 “根式”和“數”章節(jié)時間分布

3 無理數定義的分類

由于完整的實數理論體系直到19世紀末才建立，在100種教科書中，絕大多數并沒有把無理數或者實數單獨列為一章，而是將其與“式”的研究放在一起．所以，這里涉及3種有關無理數的術語．

（1）無理數（irrational numbers）．為實數中的一類，與現代教科書中所指相同．如：Young & Jackson（1910）給出的定義是：“任何不是有理數的數稱為無理數．”

（3）無理式（irrational expression），在20世紀初，實數理論體系形成后，部分代數教科書開始將無理式與無理數分開定義，數與式分別獨立成章．如Milne（1902）給出的定義是：“若一個式子必須使用根號來表達，則稱之為無理式；若一個數不能用分數或整數來表達，則稱之為無理數．”

綜上，將100種教科書中的無理數定義分為兩大類：“區(qū)分數與式的定義”、“不區(qū)分數與式的定義”．若定義之后沒有具體例子說明是無理數還是無理式，則統(tǒng)一將其歸為“不區(qū)分數與式的定義”一類．以30年為分布單位，圖3是兩類定義的具體時間分布．從圖3中可見，隨著19世紀末實數理論體系的建立，“不區(qū)分數與式的定義”逐漸退出歷史舞臺，數與式逐漸分離，成為初等代數的兩個不同對象．

圖3 兩類定義的時間分布

3.1 區(qū)分數與式的定義

100種教科書共計給出了100種定義，區(qū)分無理數和無理式的共68種，占68%．根據詳盡的統(tǒng)計和分析，這些定義又可以分為“表示定義”、“數值定義”、“形式定義”、“反向定義”、“分割定義”、“幾何定義”、“混合定義”、“小數定義”共8類．這8類在68種定義中的分布如圖4所示．其中，“表示定義”和“形式定義”所占比例相對較高．

圖4 數與式分開定義的八種類型分布

3.1.1 表示定義

表示定義是用“不能用整數或分數表示”來定義無理數，占數式分離定義的26%，不同教科書中略有不同．如Lacroix（1831）給出的定義．Davies（1835）也給出了類似的定義，并第一次給出了非完全平方數的正平方根不能用分數表示的證明，其證法與現行教科書中的證法略有不同，證法如下：

這里用到了數論中的一個定理：“如果一個整數整除兩個整數的乘積，且與其中一個互素，則整除另外一個整數．”這些定義都只涉及無理數的一種類型——二次根號型，直到Sherwin（1841）才提到“除了平方根外，其它次數的方根，與單位1沒有公因數的也稱為無理數”．Gillet（1896）則首次提及“根號型”以外的無理數，將無理數定義為“不能用整數或分數表示的數，也稱為不可公度數”，并指出了“不盡根”與“不可公度數”的區(qū)別——不盡根是不可公度數，但有許多不可公度數并非不盡根或不盡根的組合，如π、e．

3.1.2 數值定義

這一類定義對無理數的認識基本都局限于“根號型”，認為無理數的值不能精確獲得，只能得到其近似值，故以“值不能精確獲得”來定義無理數，并將“無理數”等同于“不盡根”，約占12%．如Robinson（1866）將“無理數”定義為“一個非完全平方數的方根，其根值不能精確獲得或表示”．這種定義方式在各個時間段均有出現，但較多出現在19世紀早中期．1900年后逐漸消失，僅出現兩次，在Hawkers（1918）中提到“一個用根號表示的數，其根值不能精確獲得，這種用根號表征的數就是無理數”．

3.1.3 形式定義

部分教科書對無理數的定義停留在對其根式形式的描述，如Thomson（1880）給出的定義是：“非完全平方數的根稱為不盡根，也常叫做無理量”；Taylor（1900）給出的定義是：“一個非次冪的數的次方根，稱為不可公度方根或無理數”；Wells（1906）給出的定義是：“無理數是一個包含不盡根的數”；類似這樣的定義，均把它歸為“形式定義”，約占24%．

值得一提的是，Taylor（1900）對無理數和不可公度數進行了錯誤的區(qū)分，書中寫道：“一個無理數或其他數，不是整數或分數的稱為不可公度數．”即無理數是不可公度數的一部分，顯然這是錯誤的，雖然之前的Gillet（1896）已對“不盡根”和“不可公度”進行了區(qū)分．可見，一個數學定義從形成到被廣泛接受，會經歷一個反復曲折的過程．

3.1.4 反向定義

一些教科書先定義有理數，然后將無理數定義為“除有理數以外的數”，研究者將這一類定義歸為“反向定義”，約占18%．研究者將它與“表示定義”區(qū)分開來，是由于他們對“有理數”的定義不同，導致對“無理數”的定義也不同，從中可以看出早期人們對數的認識的局限性．例如，Dickson（1902）給出的定義是“有理數是正的和負的整數和分數，其他數都稱為無理數．”根據這一定義，“0”應歸為無理數，所以該定義的問題在于忽略了“0”的定義．類似的定義還出現在Cajori & Odell（1916）、Hawkers（1918）中．

在今天看來，Marsh（1907）的定義相對完善：“所有的整數和分數稱為有理量，所有其它的數稱為無理量．”按照這個定義，很容易判斷應該將“0”歸為有理數一類．但這也僅是用今天的知識做出的判斷．有理由相信，在20世紀初期，人們對“0”的認識并不充分，常常忽略“0”的存在．如Lyman（1917）先定義虛數為“負數的偶次方根”，再定義實數“包括所有的正整數和負整數，正分數和負分數，除負數的偶次方根以外的所有方根數”，再定義有理數和無理數“實數分為有理數和無理數，能用整數或者兩個整數的商表示的數稱為有理數，其它實數稱為無理數．”從其“實數”定義中，無法確定“0”屬于哪一類，而從其有理數和無理數定義中，用現在的數學觀可以判斷“0”應歸為有理數類．前后的矛盾表明，作者在定義有理數時并沒有考慮“0”，更確切地說，早期教科書中存在“0是否是整數”的問題．

3.1.5 分割定義

其次，給出有理數的兩種不同分割．

最后，給出無理數的定義：

該教科書后續(xù)還指出，有理數和無理數統(tǒng)稱為實數，第一次建立實數理論體系，并證明了實數是有序的、稠密的、連續(xù)的數集．

3.1.6 幾何定義

圖5 Wilczynski & Slaught（1916）中的幾何表示

正無理數被定義為上線段的長度不是有理數的數．又指出，上線段對應的是正數（正有理數或正無理數），反過來每一個正數都對應上的線段．無理數可以看成對應不可公度線段的存在，并介紹了數的發(fā)展歷史．在另一章“線性函數和級數”中提到如果無理數表示成小數，則它的小數位不能循環(huán)也不是有限的．雖然早在17世紀，笛卡爾創(chuàng)立了坐標系，負數得到了幾何解釋和實際意義，但在約200年后的這本教科書中，依然忽視負無理數的存在和負無理數的幾何表示，僅定義了正無理數．

類似的定義方式還出現在Schultze（1925）中，但與上述定義有所不同，給出了負數的幾何表示．

3.1.7 混合定義

3.1.8 小數定義

“小數定義”是指應用小數表征的定義，代表了人們認識無理數的又一個新階段，約占13%．Merrill & Smith（1923）最早給出構造的無限不循環(huán)小數之例，將無理數定義為“形如0.313?113?111?311?113……，0.487?488?748?887……，這樣的數稱為無理數”，并指出這樣的數不是不合理的，而是不能用比來表征的數．易見，上述定義是不完善的．Miller & Thrall（1950）第一次正式用“無限不循環(huán)小數”來定義無理數．表2列舉了100種教科書中出現的各種形式的小數定義．

表2 不同形式的小數定義

從中可見，用“無限不循環(huán)小數”來定義無理數并非一蹴而就，從1923年第一次出現構造的無限不循環(huán)小數到“無限不循環(huán)小數”定義的出現，經歷了27年；而50年代末開始，“無限不循環(huán)小數”定義才被教科書廣泛采用，且凡是采用小數定義的教科書中都會另外加以說明無理數不能用分數和整數表示．

3.2 不區(qū)分數與式的定義

不區(qū)分數與式的定義主要分為兩類：“數值定義”和“形式定義”．與區(qū)分數與式的定義分類原則類似，不再贅述．其中，“數值定義”約占56%，而“形式定義”約占44%，兩者基本持平．

4 分布及討論

4.1 分布

除分割定義僅出現在大學教科書中外，其余定義在中學和大學教科書中均有出現．小數定義最早出現在中學教科書中，后陸續(xù)出現在大學教科書中，而在1960年后均出現在中學教科書中．反向定義均出現在1900年后，且若排除“0”的影響，反向定義基本等同于將無理數定義為“不能用整數或分數表示的數”，因此將“反向定義”歸為“表示定義”，而“幾何定義”、“分割定義”、“混合定義”這3類都出現在1900年后，且各自僅出現一次或兩次，故暫且不予考慮．若將“區(qū)分數與式的定義”和“不區(qū)分數與式的定義”兩種情形合在一起，以30年為單位，則其中的“表示定義”、“數值定義”、“形式定義”和“小數定義”的分布情況如圖6所示．

圖6 3類定義的時間分布

圖7給出教科書所呈現的無理數類型的演進過程．

圖7 教科書中無理數類型的演變

4.2 無理數理論的歷史

公元前470年左右，畢達哥拉斯學派發(fā)現無理數的存在，在此后的很長時間內，雖然數學家們對無理數的使用越來越廣泛，但對無理數究竟是不是真正的數一直存在分歧，直到18世紀，數學家們仍然沒有弄清楚無理數的概念．

19世紀是無理數理論體系從模糊到逐漸清晰的時期．1821年，柯西（A. L. Cauchy，1789—1897）用有理數序列的極限定義無理數，但根據他的定義，該無理數應是預先給定的數．1872年，康托爾（G. Cantor，1845—1918）引入實數的概念，用有理數的“基本序列”來定義無理數，他證明了每一基本序列都存在極限，該極限若不是有理數，則定義了無理數．戴德金則吸取了柯西的教訓，避免采用極限方法，在直線劃分的啟發(fā)下采用分割有理數來定義無理數．魏爾斯特拉斯（F. Weierstrass，1815—1897）同樣避免使用極限概念，用遞增有界數列定義無理數．斯托爾茲（O. Stolz，1842—1905）證明了“每一個無理數均可表示成不循環(huán)小數”，并認為可用這一事實來定義無理數．

4.3 討論

綜上，數值定義和形式定義對無理數的認識均停留在表層，體現了早期人們對無理數認識的局限性，而表示定義是無理數發(fā)現和定義的起源，小數定義是實數理論體系完備后新出現的定義，從表示定義到小數定義也體現了數學發(fā)展從潛無窮到實無窮的轉變．在漫長的一個半世紀里，無理數始于數值定義而終于小數定義，反映了人們對無理數的認識，經歷了從模糊到逐漸清晰的過程．“形式定義”由于其表征直觀而出現于每一個時期，“數值定義”曾一度占據上風，但隨著無理數理論體系的建立而逐漸銷聲匿跡．19世紀早期，雖然無理數的“表示定義”相對比重最高，但人們對無理數的認識依然停留在“不盡根”，基本上將無理數與不盡根混為一談．在后續(xù)的一百年間，該定義所占比重有下降趨勢．直到19世紀末，實數理論體系建立，重新占據主要地位，并與小數定義并駕齊驅．教科書對無理數的定義及表征的發(fā)展，雖有一定的滯后性，但與無理數理論的發(fā)展基本一致．無理數表征的演進歷史表明，今日學生對無理數的認識具有較為顯著的歷史相似性．

5 結論與啟示

無理數并非“沒有道理”，只是“不能用整數或分數表示”，歷史上人們對無理數的認識，最早是從“根號型”開始，后續(xù)陸續(xù)發(fā)現其他類型的無理數的存在，如：π、e等．而學生對無理數的認識與無理數的發(fā)展具有歷史相似性，已有研究表明，雖然高中階段和大學階段會學習很多除“根號型”和π以外的無理數，但學生最為熟悉的還是最初的這兩種類型．現代教科書中均采用“無限不循環(huán)小數”來定義無理數，這已完全脫離了無理數最初的起源，是“深加工”的結果，學生對無理數的理解往往停留在表面，僅會從形式上判斷是不是無理數，而不能從知識的本質上理解無理數的定義．而早期教科書無理數定義從不完善到完善的過程，為今日的教科書編寫和課堂教學均帶來啟示．

5.1 對教科書編寫的啟示

首先，教科書是我們向前延續(xù)傳輸知識的有力工具，教科書中無理數定義的演變過程基本反映了數學研究領域無理數定義的演進過程．但一些教科書中也出現了錯誤和倒退現象，如前述所提對“0”的忽略和幾何定義中對負無理數的忽略．所以這就要求教科書編寫者對當下的數學學科領域的發(fā)展有一定的了解，才能把握教材知識內容的正確性和適切性．

5.2 對教學設計的啟示

可以借鑒無理數定義的發(fā)展過程，運用重構歷史的方式來設計無理數概念的教學，讓學生從現實問題中體會無理數存在的必要性和無理數與有理數的區(qū)別，在此基礎上給無理數下定義——不能用分數或整數表示，再根據有理數的小數表征，揭示無理數的小數表征，加深學生對無理數概念和表征的理解．同時可以附加式運用歷史知識，介紹無理數發(fā)展的歷史，讓學生了解數學并非無中生有，而是從現實生活中產生．歷史上無理數概念的曲折發(fā)展，也可以滲透數學學科的德育功能，讓學生體會人們對任何新事物的認識都是伴隨著曲折往復而螺旋上升，同樣學習也是螺旋上升的過程．雖高中及后續(xù)不再專門學習無理數，但在認識新類型的無理數時，需要教師幫助學生進一步理解無理數的類型．同時，鑒于初中知識的深度，不可能詳細講述無理數其他更多的定義，教師可以設下伏筆，以備學生在后續(xù)學習中完善對無理數以及實數的認識．

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[責任編校：周學智]

Concept of Irrational Numbers in Early Western Textbooks

LI Xiao-ni, WANG Xiao-qin

(College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

During the period 1820--1969, one hundred algebra textbooks in America’s middle schools and colleges had given eight definitions of irrational numbers. The definition that irrational numbers were infinite non-repeating decimals began at 1920s. The previous evolution of the concept of irrational numbers provided reference for the present textbook compiling and teaching. The newly-compiled textbook should reflect the diversity of definitions of irrational numbers and reveal that irrational numbers couldn’t be expressed by integers and fractions. Furthermore, drawing on the development of irrational number, we could reconstruct the history in class to design the concept teaching of irrational numbers to promote students’ overall understanding and grasping of irrational numbers as well as the real numbers.

irrational numbers; irrational expressions; surds; definitions

G40–059.3

A

1004–9894（2017）06–0086–06

栗小妮，汪曉勤．美國早期教科書中的無理數概念[J]．數學教育學報，2017，26（6）：86-91．

2017–06–26

上海市教育科學研究重大項目——中小學數學教科書的有效設計子課題——中小學數學教科書中數學文化素材的案例設計（D1508）

栗小妮（1984—），女，山西晉城人，博士生，主要從事數學史與數學教育研究．