周順鈿

(浙江省杭州高級中學(xué) 310003)

2016年以來，“核心素養(yǎng)”成為教育界關(guān)注的一個焦點.在“基本運算、邏輯思維、空間想象”的“老”三大能力和“數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析”的“新”三大能力的基礎(chǔ)上，提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個要素：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析.章建躍先生指出：為培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，需要我們扎實開展數(shù)學(xué)教育的實踐研究，搞出一批“核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)案例”，使抽象的“核心素養(yǎng)”獲得具體事例的支撐[1].

“數(shù)學(xué)建?！卑Ｐ徒⒑湍Ｐ蛻?yīng)用兩大方面，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.單墫先生說：“模式教育容易產(chǎn)生定勢思維，束縛創(chuàng)造性，但完全沒有模式，也使初學(xué)者難以把握，正如圍棋中的定式，需要根據(jù)情況靈活應(yīng)用、不可拘泥.”[2]正方體就是一個極具價值的空間模型，掌握正方體的結(jié)構(gòu)特征，以正方體為模型可以“生成”許多優(yōu)美的空間問題，許多空間問題如果將它置于正方體模型之中，其結(jié)果甚至可以一望而解.

1 正方體模型的價值分析

1．正方體是空間圖形中最特殊且內(nèi)涵最豐富的幾何圖形，它享有“萬能模型”的美稱.正方體作為立體幾何教學(xué)的一個關(guān)鍵突破口，是因為它具有如下四個特征.

(1)正方體是學(xué)生最早接觸和最熟悉的空間圖形，具有很強的空間感.借用它進行立體幾何教學(xué)，有利于學(xué)生建立空間概念、克服畏難情緒，有助于學(xué)生觀察點、線、面位置，降低思維難度.

(2)正方體能完美體現(xiàn)立體幾何核心知識.正方體包含了眾多的空間中基本的線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系，基于正方體模型，即可把立體幾何中的基本概念與基本定理梳理清楚.

(3)對正方體進行切截、割補，可以得到多種多樣的柱體、臺體、錐體等，既可以拓展、豐富立體幾何的研究空間，又體現(xiàn)出圖形與知識間的內(nèi)在聯(lián)系.

(4)正方體是探索解題思路的重要突破口.很多立體幾何問題由于線面關(guān)系復(fù)雜或圖形不容易畫出，容易導(dǎo)致思路阻塞，借助正方體模型，可以把研究對象置于更大的背景之中，從而在整體上更好地看清各部分之間的關(guān)系.

2. 正方體包含了眾多的點、線、面及其相互關(guān)系，剖析正方體，有助于學(xué)生理解正方體，并高度重視正方體的作用.

(1)棱長為a的正方體有以下常見特征

(i)正方體有6個面、8個頂點、12條棱，滿足面數(shù)+頂點數(shù)-棱數(shù)=2(歐拉定理)；

(ii)正方體的12條棱可以組成24對異面直線；

(iii)正方體有13條對稱軸、9個對稱面；

(iv)由正方體的頂點組成的三角形中，銳角三角形8個，直角三角形48個；

(v)正方體繞其對角線旋轉(zhuǎn)120°后，與原正方體位置重合；

(vii)一個平面截正方體，其截面可以是：三角形、正方形、菱形、矩形、梯形、平行四邊形、五邊形、六邊形.

(2)正方體中具有特殊意義的線、面往往單獨形成研究系列.例如正方體的棱、面對角線、體對角線通常簡稱為正方體的三類線，正方體的底面、對角面、與同一頂點相鄰的三個頂點構(gòu)成的截面，通常簡稱為正方體的三類面，圍繞這些線與面可以編制出一系列有趣的空間問題.

(i)求三類線兩兩所成角的大小；

(ii)求三類線與三類面間線面所成角的大小；

(iii)求三類面間分別組成的二面角的大小；

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，所積累的知識經(jīng)驗經(jīng)過加工，會得出有長久保存價值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型――模式，將其有意識地記憶下來，并作有目的的簡單編碼，當(dāng)遇到一個新問題時，我們辨認它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個已經(jīng)解決的問題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應(yīng)的方法來加以解決，這就是模式識別的解題策略[3].在教學(xué)實踐中，教師可充分發(fā)揮正方體模型的價值，積極高效地引導(dǎo)學(xué)生進行立體幾何的學(xué)習(xí).

2 正方體模型的開發(fā)和利用

“生”和“成”是構(gòu)成“生成”的兩個方面.“生”是指事物從無到有的過程，含有產(chǎn)生、出現(xiàn)、創(chuàng)造之意；“成”為形成之“成”或成果之“成”，強調(diào)事物變化的過程和結(jié)果.“生成”指事物的出現(xiàn)、產(chǎn)生與形成過程，具有過程性、發(fā)展性和創(chuàng)造性的意義，它是一種既有起點又有終點的過程.教師要鼓勵學(xué)生成為生成性資源的發(fā)掘者，正方體模型具有很好的開發(fā)和利用的價值.

2．1 提取

“有效提取數(shù)學(xué)信息”是指學(xué)生能夠在有限的時間內(nèi)從文字、圖表等信息呈現(xiàn)方式中提取準(zhǔn)確、必需的數(shù)學(xué)信息．正確提取數(shù)學(xué)信息的能力是學(xué)生分析與解決問題的基本途徑，也是新課改理念下高中數(shù)學(xué)教學(xué)所必需關(guān)注的基本目標(biāo)．正方體具有豐富的點、線、面的關(guān)系，是一個很好的信息源，從中“提取”一部分加以研究，就可以“生成”許多優(yōu)質(zhì)的空間問題.

2．1．1 生成概念辨析問題

立體幾何中許多概念性問題，都可以從正方體中找到相應(yīng)的模型.

例1(1)三棱錐的四個面最多可以有多少個直角三角形？

(2)三個內(nèi)角為直角的四邊形一定是矩形？

(3)一個二面角的兩個面分別與另一個二面角的兩個面垂直，這兩個二面角的大小相等或互補？

圖1 圖2 圖3

分析：以正方體ABCD-A′B′C′D′為模型進行有效提取.(1)如圖1，三棱錐D′-ABD的四個面均為直角三角形，故三棱錐的四個面最多可以有4個直角三角形；(2)如圖2，空間四邊形ABB′D′有三個內(nèi)角為直角，但它不是矩形；(3)如圖3，二面角A′-AD-C的兩個面分別與二面角D′-CC′-M的兩個面垂直，這兩個二面角的大小沒有必然聯(lián)系.

2．1．2 生成三視圖的問題

三視圖問題常常是由幾何體提取部分后逆向編制而成的.

例2(1)(2014全國1理12題)如圖4，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為( )

圖4

圖5

分析：如圖5，從邊長為4的正方體中提取三棱錐D-ABC，再畫出三視圖就“生成”了這個高考題，其最長的棱長為DA=6，選B.

(2)某幾何體的三視圖如圖6所示，則該幾何體的體積為.

圖6

圖7

目前，全國各地設(shè)計的三視圖問題的難度都有上升趨勢，實際上要設(shè)計一個這樣的問題是容易的，但要學(xué)生逆向畫出直觀圖，的確有些強人所難.

2．1．3 生成角與距離的計算問題

角與距離的計算是立體幾何的核心問題，由正方體“生成”問題是一條討巧的捷徑.

例3(2016年天津理17題)如圖8，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2.

(1)求證：EG∥平面ADF；

(2)求二面角O-EF-C的正弦值；

圖8

圖9

分析：如圖9，在棱長為2的正方體中提取多面體EF-ABCD，就“生成”了2016年天津理17題，在這個正方體模型中，可輕松地解決相關(guān)問題.

(1)求證：ADBC；

(2)求二面角B-AC-D的大小的余弦值；

圖10

(3)在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由.

圖11

分析：如圖11，在單位正方體中提取三棱錐A-BCD，就“生成”了2006年江西理20題.

2．1．4 生成球的切接問題

正方體的內(nèi)切球和外接球都是很好的研究對象.

例5如圖12，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球，M、N分別為AB、CC1的中點，且MN與球交于E、F兩點，線段EF長為( )

圖12

例6(2007年復(fù)旦自主招生題)棱長為a的正方體內(nèi)有兩球互相外切，且兩球各與正方體的三個面相切，則兩球的半徑之和為( )

圖13

2．2 嵌入

“嵌入”的字面解釋是“牢固地或深深地固定或樹立”，如果一個空間問題的研究對象可以置于一個正方體中，那么可以從整體上更好地看清各部分之間的內(nèi)在關(guān)系.“嵌入”和“提取”是矛盾對立統(tǒng)一的兩個方面，是相輔相成的.

圖14

評注：本題考查球與正三棱錐的切接問題，若直接利用三棱錐來考慮難度較大,注意到條件中的垂直關(guān)系,把三棱錐轉(zhuǎn)化為正方體來考慮就容易多了.

例8(2009年江西理9題)如圖15，正四面體ABCD的頂點A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線Ox，Oy，Oz上，則在下列命題中，錯誤的為( )

A．O-ABC是正三棱錐

B．直線OB∥平面ACD

C．直線AD與OB所成的角是45°

D．二面角D-OB-A為45°

圖16

分析：如圖16，將正四面體ABCD“嵌入”正方體中，則正四面體的棱為其所在正方體的面對角線，從正方體中觀察此圖，易知直線OB∥平面ACD是不可能的.選B.

評注：利用正方體與正四面體之間的“蘊含”關(guān)系，借助正方體模型可輕松解決正四面體中點、線、面之間的位置關(guān)系.

例9(2006年江蘇9題)兩相同的正四棱錐組成如圖17所示的幾何體，可放在棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有( )

A．1個 B．2個 C．3個 D．無窮多個

圖17

圖18

分析：如圖18，由于兩個正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心為正四棱錐底面正方形ABCD中心，由對稱性知正四棱錐的高為正方體棱長的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積，于是問題轉(zhuǎn)化為考察邊長為1的正方形可以有多少個內(nèi)接正方形，顯然有無窮多個.選D.

評注：正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內(nèi)接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學(xué)會將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化.

2．3 運動

“動態(tài)”立體幾何問題由于注入了某些變化的點、線、面、體等元素，常常集“知識的交匯性與綜合性、方法的靈活性與多向性、思維的變通性與深刻性”于一體，使立體幾何問題更富思辨性、開放性和挑戰(zhàn)性，這與“以能力立意”的高考命題指導(dǎo)思想和“將知識、能力與素質(zhì)的考查融為一體，全面檢測考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的高考數(shù)學(xué)命題原則相吻合.將正方體中的某些要素“動”起來，甚至將整個正方體“動”起來，是一個很“時髦”的“生成”手段.

例10(2017年4月金華十校?？碱})如圖19，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點M、N分別是直線CD、AB上的動點，點P是△A1C1D內(nèi)的動點(不包括邊界)，記直線D1P與MN所成角為θ，若θ的最小值為則點P的軌跡是( ).

圖19

A.圓的一部分 B.橢圓的一部分

C.拋物線的一部分 D.雙曲線的一部分

例11如圖20，直線l⊥平面α，垂足為O，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點A是直線l上的動點，點B1在平面α內(nèi)，則點O到CD1中點P的距離的最大值為( )

圖20

圖21

圖22

圖23

如圖23，為了便于觀察，我們將OE下移至O′E′.當(dāng)正方體ABCD-A1B1C1D1繞著OA旋轉(zhuǎn)一周時，平面C1D1DC的法線OE(也即O′E′)繞著OA旋轉(zhuǎn)一周時形成一個圓錐的側(cè)面.記平面C1D1DC的法線O′E′與平面α的法線OH所成角的最小值為β，平面C1D1DC與平面α所成

教學(xué)是在資源的不斷“生成”與“利用”的反復(fù)交替過程中進行的，是在學(xué)生已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，推動學(xué)生的認知發(fā)展和知識建構(gòu).教師作為教學(xué)信息的重組者，在開發(fā)和利用動態(tài)生成性資源時，應(yīng)努力激發(fā)學(xué)生的動機、尊重學(xué)生的興趣、把握信息的價值、推動信息的增值，實現(xiàn)課堂教學(xué)的動態(tài)生成.

從雙基教學(xué)的產(chǎn)生，到素質(zhì)教育、情感態(tài)度價值觀、學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)等一系列理念的提出、研究和實施，不難發(fā)現(xiàn)，在這個變化發(fā)展的過程中，教育教學(xué)目標(biāo)的實施一步步具體、明確、可操作，充分體現(xiàn)了基礎(chǔ)教育研究的不斷深入，體現(xiàn)了教育研究水平的不斷提高.布魯納曾經(jīng)指出：“我們教師的目的在于：我們應(yīng)當(dāng)盡可能使學(xué)生牢固地掌握學(xué)科內(nèi)容.我們還應(yīng)當(dāng)盡可能使學(xué)生成為自主而自動的思想家.這樣的學(xué)生，當(dāng)他們在正式學(xué)校教育結(jié)束之后，將會獨立地向前邁進.”