劉淑貞 曾大恒

(湖南安全技術(shù)職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)課部數(shù)理教研室 410151)

1 問題“I1sin(ωt+θ1)+I2sin(ωt+θ2) =？”的提出

以往教材中“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)”的研究主要是“圖像變換”，即參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖像的影響.由此，教師在教學(xué)中就把注意力集中放在三角函數(shù)圖像的平移和伸縮上，讓學(xué)生形式化地記住“左加右減，上加下減”，再進(jìn)行大量解題操練，而對(duì)這個(gè)函數(shù)的實(shí)際意義卻不加關(guān)注，結(jié)果是偏離了這一教學(xué)內(nèi)容的主題，學(xué)習(xí)效果不好而且負(fù)擔(dān)很重.[1]很多學(xué)生記住了大量的三角公式，能進(jìn)行單純的三角函數(shù)的計(jì)算，但卻不能從內(nèi)涵上去理解三角函數(shù)，在實(shí)際問題中運(yùn)用三角函數(shù).

我們?cè)谶M(jìn)行三角函數(shù)教學(xué)時(shí)就遇到這樣一個(gè)思考題“已知有三角函數(shù)y1=I1sin(ωt+θ1),y2=I2sin(ωt+θ2)請(qǐng)問y=y1+y2的周期、初相位、幅值有哪些變化？”這個(gè)問題難倒了很多的同學(xué)，從教學(xué)的反饋來看，其主要原因是，一方面很多同學(xué)思考的角度是從兩個(gè)三角函數(shù)的圖形出發(fā)，因此面對(duì)疊加之后是怎樣的圖形無從下手，也就無法分析相加之后幅值、周期及相位發(fā)生了什么改變；另一方面有些同學(xué)習(xí)慣用三角公式進(jìn)行推演，但由于參數(shù)較多，并且運(yùn)用三角公式展開之后式子較復(fù)雜，很難整合，因此未能解決問題.下面我們首先分析一下如何從三角函數(shù)本身代數(shù)運(yùn)算出發(fā)解決該問題.

2 運(yùn)用三角函數(shù)公式并構(gòu)建三角函數(shù)進(jìn)行邏輯演繹

首先運(yùn)用正弦函數(shù)的兩角和公式“sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB”展開進(jìn)行直接計(jì)算，大部分同學(xué)能做到下面一步：

由y=y1+y2=I1sin(ωt+θ1)+I2sin(ωt+θ2)

=I1(sinωtcosθ1+cosωtsinθ1)+

I2(sinωtcosθ2+cosωtsinθ2)

=sinωt(I1cosθ1+I2cosθ2)+

cosωt(I1sinθ1+I2sinθ2).

關(guān)鍵點(diǎn)及難點(diǎn)在于以下(1)式和(2)式的三角函數(shù)構(gòu)建，需要在老師引導(dǎo)下少部分學(xué)生可以做到：

設(shè)I1cosθ1+I2cosθ2=Imcosθ

(1)

I1sinθ1+I2sinθ2=Imsinθ

(2)

則y=y1+y2=sinωt·Imcosθ+cosωt·Imsinθ=Im·sinωtcosθ+Im·cosωtsinθ=Imsin(ωt+θ)，

其中Im和θ的取值可由前面的構(gòu)建的三角函數(shù)(1)和(2)式左右兩邊分別平方相加解出：

(I1cosθ1+I2cosθ2)2+(I1sinθ1+I2sinθ2)2

(3)

同時(shí)將(1)式比(2)式得

(4)

最終得出結(jié)論

y=y1+y2=I1sin(ωt+θ1)+I2sin(ωt+θ2)

=Imsin(ωt+θ)，

可知兩個(gè)同周期的三角函數(shù)相加后周期不發(fā)生改變，并且由(3)、(4)知新的幅值

以上的這種運(yùn)用三角公式、構(gòu)造三角函數(shù)來進(jìn)行邏輯演繹是解決三角函數(shù)有關(guān)問題的常用方法，通常情況下都會(huì)想到用這種方法直接對(duì)這兩個(gè)三角函數(shù)相加，然后來分析y1+y2的周期、初相位、幅值情況，但是假設(shè)構(gòu)建“I1cosθ1+I2cosθ2=Imcosθ(1)，I1sinθ1+I2sinθ2=Imsinθ(2) ”這兩個(gè)式子很難從代數(shù)角度想得到.

同時(shí)，用公式進(jìn)行邏輯演繹嚴(yán)謹(jǐn)抽象，思維缺少一個(gè)具體直觀的載體，學(xué)生很難將思想集中起來，對(duì)問題本身的理解和應(yīng)用都不是很深刻，如若借助一些實(shí)際背景、直觀形象的處理方法，則可收到較好的效果.

3 電學(xué)背景中與數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)y=Imsin(ωt+θ)的關(guān)聯(lián)

從函數(shù)的本質(zhì)看，應(yīng)強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型的地位，因?yàn)椤叭呛瘮?shù)與其它學(xué)科的聯(lián)系與結(jié)合非常重要，最重要的是它與振動(dòng)和波動(dòng)的聯(lián)系，可以說，它幾乎是全部高科技的基礎(chǔ)之一”.[2]

比如生活中最簡單常用的交流電，其電流與電壓等物理量的大小和方向會(huì)隨時(shí)間按正弦函數(shù)的規(guī)律發(fā)生周期性的變化.因此，生活及電力工程中所用的電流與電壓，通常都采用正弦函數(shù)的形式來進(jìn)行電路電波的分析.[3]正弦交流電中，電流強(qiáng)度i隨時(shí)間t變化的規(guī)律可以用函數(shù)表示為i=Imsin(ωt+θ),(Im>0,ω>0,-π≤θ≤π)，其中Im是電流強(qiáng)度的最大值，稱為幅值(或峰值)；ω稱為角頻率，表示電流變化的快慢；θ稱為初相位，ωt+θ稱為相位，相位可以表示電流強(qiáng)度在某時(shí)刻的大小和方向.正弦交流電的幅值、頻率、初相位三要素對(duì)應(yīng)正弦三角函數(shù)的最值、周期、角度初值三個(gè)函數(shù)特征.如下表一：

表一 y=Imsin(ωt+θ)各指標(biāo)在數(shù)學(xué)與電學(xué)中對(duì)應(yīng)

4 電學(xué)背景下三角函數(shù)y=Imsin(ωt+θ)的向量表示

正弦交流電產(chǎn)生原理是：閉合線圈在勻強(qiáng)磁場中繞垂直于磁場的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，線圈里就產(chǎn)生大小和方向作周期性改變的正弦交流電.依據(jù)這樣的一個(gè)原理，我們可以在數(shù)學(xué)上用旋轉(zhuǎn)向量來對(duì)應(yīng)正弦波函數(shù)y=Imsin(ωt+θ)，具體如下圖1.

圖1

5 向量法求解問題“I1sin(ωt+θ1)+I2sin(ωt+θ2)=？”

問題“I1sin(ωt+θ1)+I2sin(ωt+θ2)=？”在生活中是指兩個(gè)同頻率的正弦交流電相疊加之后，角頻率、幅值和相位會(huì)有哪些變化？前面我們知道，可以用模為Im，初始角度為θ，角頻率ω的旋轉(zhuǎn)向量在縱軸上的投影來對(duì)應(yīng)一個(gè)形式為y=Imsin(ωt+θ)的正弦函數(shù)量.因此我們可以通過兩個(gè)對(duì)應(yīng)的向量相加來解決.

BIM技術(shù)的應(yīng)用實(shí)現(xiàn)了對(duì)整個(gè)施工過程的空間、時(shí)間和資源的動(dòng)態(tài)統(tǒng)一管理，提高了施工生產(chǎn)效率，降低了能耗，有效促進(jìn)了綠色施工。施工場地基坑平面布置如圖2所示。

圖2

圖3

也可以在△OPP2中利用余弦定理同樣可得到

因此可得到I1sin(ωt+θ1)+I2sin(ωt+θ2)的最大幅值

這種在實(shí)際電路背景下，借助向量加法在幾何上的意義，以及向量與三角函數(shù)的映射可以直觀具體地讓學(xué)生理解兩個(gè)正弦向量的疊加的深度含義，對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)有積極的作用.

6 總結(jié)

弗萊登塔爾在他的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”教學(xué)原則中就提出，數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，也必須扎根于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí).他強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育要引導(dǎo)學(xué)生了解周圍的世界，周圍的世界是學(xué)生探索的源泉.[5]思考和解決數(shù)學(xué)問題如若借助恰當(dāng)?shù)纳顚?shí)際背景去處理比單從數(shù)學(xué)邏輯出發(fā)會(huì)理解的更深入、更具體、更能培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，從而讓學(xué)生能直觀地體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值感.有許多人正是通過一種“非正規(guī)”的方法來接受來理解數(shù)學(xué)的概念、數(shù)學(xué)的公式、數(shù)學(xué)的思想方法，從而愛上數(shù)學(xué).不得不說以上的向量法解決三角函數(shù)問題放棄了邏輯的嚴(yán)格性，但卻更生動(dòng)形象并具有創(chuàng)造性思維.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬔堇[與直觀形象的幾何解釋相并存，從數(shù)學(xué)本身出發(fā)與從生活實(shí)際出發(fā)思考問題相輔助，才能讓學(xué)習(xí)者更深刻的、更豐富的、更全面的理解并掌握數(shù)學(xué).