黃盛清

(西南交通大學 610031)

《數(shù)學通報》 2015 年 10 月號問題 2268：

試證明

(1)

對該問題，問題提供人柳冉在《數(shù)學通報》2015 年第 11 期 “2015 年10 月號問題解答”[1]中反復利用正弦、余弦的積化和差等公式及一定的運算技巧給出了證明.

1 由余弦7倍角公式得到一個一元七次方程的解

余弦7倍角公式為

cos7θ=64cos7θ-112 cos5θ+56cos3θ-

7cosθ

(2)

令x=cosθ，a= cos7θ=cosφ，則式(2)可變形為

定理1方程fa(x)= 0的解為

證明因為a=cosφ=cos(2π±φ)

=cos(4π±φ)=cos(6π±φ)，

所以據(jù)式(2)定理1得證.

推論1取a=-1，則方程

的解為

證明a=-1，即 cosφ=-1，故可取φ=π，則由定理1 得推論1.

2 幾個一元三次方程的解

將f-1(x)變形為

(3)

證明(a) 由式(3)，根據(jù)推論1即可證明此結(jié)論.

則由結(jié)論1(a)即可證明此結(jié)論.

證明(a) 將結(jié)論1(a)的方程

(4)

令x2=y，將式(4)變形為

并化簡可得到

(5)

由結(jié)論1(a)知方程(5)的解為

(b) 對方程(5)，令y=1-u得

則由結(jié)論2(a)，結(jié)論2(b)得證.

3 應用

例1《數(shù)學通報》2015年10月號第2268號問題：試證明

證明根據(jù)一元三次方程3個根與系數(shù)的關系，由結(jié)論2(b)有

例2試證明

證明根據(jù)一元三次方程3個根與系數(shù)的關系，由結(jié)論1(b)即可得證.

顯然，根據(jù)例2的3個等式，柳冉在文獻[1]中所給的證明可以簡單許多.關于正弦、余弦多倍角公式的應用，人們研究的更多的是2倍角和3倍角的情況，希望本文對余弦7倍角公式應用方面的研究能起到拋磚引玉的作用，期望有更多的數(shù)學愛好者對正弦、余弦多倍角公式的應用有更多的研究并產(chǎn)生更好、更漂亮的結(jié)論.