陸信明

(湖南省常德市第三中學(xué) 415000)

2016年11月，筆者參加了湖南省第二屆數(shù)學(xué)教師解題大賽，遇到了這樣一道有趣的試題．

題目8位乘客乘坐兩輛小汽車從山區(qū)趕往火車站乘車，可是不巧，其中一輛汽車在距離火車站20千米的地方出了故障，不能行駛，此時(shí)離火車站停止檢票上車的時(shí)間只剩下52分鐘．這時(shí)唯一可以乘坐的交通工具只有一輛小汽車連同司機(jī)在內(nèi)一次限乘5人，小汽車的平均速度為60千米/小時(shí)，乘客步行的平均速度為6千米/小時(shí)．

(1)如果小汽車送第一批乘客的同時(shí)，第二批乘客先步行，小汽車把第一批乘客送到火車站后立即返回接送在步行中的第二批乘客，這8乘客是否能全部趕上火車(忽略上下車時(shí)間)？

(2)是否還有比(1)更省時(shí)的方案(不改變?nèi)撕蛙嚨乃俣?？若有，請(qǐng)你設(shè)計(jì)更省時(shí)的方案，并求出該方案所需的時(shí)間；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

下文對(duì)這道試題作一些研究，首先給出這個(gè)問(wèn)題的解答，然后作一般性的推廣．

1 原問(wèn)題的解答

(2)先求出最省時(shí)的方案：

則汽車從相遇點(diǎn)送第二批乘客到終點(diǎn)的時(shí)間為

以下分兩種情況討論：

(1)當(dāng)?shù)诙丝偷浇K點(diǎn)時(shí)，第一批乘客已到終點(diǎn)或恰好到終點(diǎn)，則有

兩批乘客到站所需的總時(shí)間為

(2)當(dāng)?shù)诙丝偷浇K點(diǎn)時(shí)，第一批乘客未到終點(diǎn)，則有

在該情況下，汽車還需再去接送第一批乘客．

在(t2+t3)時(shí)間段，第一乘客已走的路程為

汽車從終點(diǎn)返程與第一批乘客相遇的時(shí)間為

汽車從相遇點(diǎn)送第一批乘客到終點(diǎn)還需的時(shí)間為

兩批乘客到站所需的總時(shí)間為

T=t1+t2+t3+t4+t5

綜上，

2 問(wèn)題的推廣

推廣1通過(guò)上述解法，我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩批乘客同時(shí)到站時(shí)，所用的總時(shí)間最短．也就是說(shuō)，若有一批乘客先到站，到站后速度變?yōu)?，不能為人和車這套系統(tǒng)貢獻(xiàn)速度，時(shí)間將會(huì)變長(zhǎng)．不禁思考，對(duì)于一般的情況：汽車與兩批乘客距離終點(diǎn)s千米，汽車速度為a千米/時(shí)，乘客步行速度為b千米/時(shí)，且a>b，汽車接送乘客到站的最短時(shí)間是多少呢？

汽車送完第一批乘客后與第二批乘客相遇的時(shí)間為

此時(shí)相遇點(diǎn)與終點(diǎn)的距離為

則汽車從相遇點(diǎn)送第二批乘客到終點(diǎn)的時(shí)間為

由前面的分析可知，當(dāng)兩批乘客同時(shí)到站時(shí)，所需的總時(shí)間最短，而第一批乘客步行到站的時(shí)間為

兩批乘客到站所需的總時(shí)間為

推廣2若把推廣1中的兩批乘客變?yōu)槿?其余條件不變)，那么，汽車接送三批乘客所需的最短時(shí)間呢？

解通過(guò)前面的分析我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)三批乘客同時(shí)到站時(shí)，所用的總時(shí)間最短．

我們把第二、三批看成一個(gè)整體，由前面的解答有

汽車送完第一批乘客后與第二、三批乘客相遇的時(shí)間為

相遇點(diǎn)與終點(diǎn)的距離為

由推廣1中的結(jié)論可知，第二、三批乘客到站所需的最短時(shí)間為

且第二、三批乘客到站時(shí)第一批乘客也剛好到站所需的總時(shí)間最短，

即t1′=t2+t，

三批乘客到站所需的總時(shí)間為

一般性推廣對(duì)于更一般的問(wèn)題：一輛汽車送n批乘客到距離s千米的車站，汽車速度為a千米/時(shí)，乘客步行速度為b千米/時(shí)，且a>b，汽車接送乘客到站的最短時(shí)間是多少呢？

解設(shè)一輛汽車送n批乘客到站的最短時(shí)間為Tn，汽車送第一批乘客的路程為xn，則有

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

即一批乘客直接乘車到站，符合題意．

假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)，

當(dāng)n=k+1時(shí)，把后k批乘客看成一個(gè)整體，

汽車送完第一批乘客后與后k批乘客相遇的時(shí)間為

相遇點(diǎn)與終點(diǎn)的距離為

①

由假設(shè)可知，后k批乘客到站所需的最短時(shí)間為

且后k批乘客到站時(shí)第一批乘客也剛好到站所需的總時(shí)間最短，即

把①代入有

綜上，命題得證．