張宗余

(浙江省象山中學(xué) 315700)

1 問題的提出

“使高考復(fù)習(xí)成為好數(shù)學(xué)教學(xué)”,其具體體現(xiàn)在使學(xué)生學(xué)會思考,進(jìn)而學(xué)會學(xué)習(xí).例題變式探究教學(xué)是在教師的指導(dǎo)下,以例題為載體,以學(xué)生自主學(xué)習(xí)和合作討論為前提,以變式為主要學(xué)習(xí)手段,為學(xué)生提供自由表述、質(zhì)疑、探討問題的機(jī)會,強(qiáng)調(diào)多向互動,教學(xué)相長的一種教與學(xué)的操作體系. 教學(xué)中教師有意識地對數(shù)學(xué)例題作多層面、多角度的變式與探究,引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求規(guī)律，將教學(xué)活動營造為開放、寬松、愉悅、和諧的師生探究與合作交流的過程，逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的創(chuàng)新思維品質(zhì)，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題和探索創(chuàng)新的能力。但在實(shí)踐過程中,如何把握變式探究的節(jié)奏,使其真正發(fā)揮教育功能,是一個(gè)值得不斷探討的話題.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)及意圖

引例在△ABC中,若c2=a2+b2,則△ABC是直角三角形. 若cn=an+bn(n∈N*,n>2),問△ABC為何種三角形,為什么?

設(shè)計(jì)意圖問題是課堂活動的載體,本題是一道難得的好題,綜合性強(qiáng),內(nèi)涵豐富,橫跨幾何、三角、代數(shù)三學(xué)科.而且結(jié)論是開放的,給學(xué)生思考與探討的空間.

分析本例條件抽象,先取一些特殊值試探一下.令n=3,a=1,b=1,則c≈1.26,畫以(1,1,1.26)為邊的三角形草圖,易觀察知是銳角三角形.上述用特殊值試驗(yàn)的結(jié)論具有一般性,師生一起用分析證法.

解因?yàn)閏n=an+bn(n>2),所以c>a,c>b.由c是△ABC的最大邊,需證明C為銳角,只要cosC>0就行了,即證a2+b2>c2.(*)

再注意到條件an+bn=cn,于是將(*)等價(jià)變形為(a2+b2)cn-2>cn.

因?yàn)閏>a,c>b,n>2，

所以cn-2>an-2,cn-2>bn-2,

從而

(a2+b2)cn-2-cn=(a2+b2)cn-2-an-bn

=a2(cn-2-an-2)+b2(cn-2-bn-2)>0,

說明(*)式成立,故cosC>0,C是銳角,△ABC為銳角三角形.

設(shè)計(jì)意圖由特殊到一般的探究法是一種重要的解題思維方法, 與學(xué)生一起分析題意,交流解題思路,教師在適當(dāng)時(shí)機(jī)給點(diǎn)睛之筆.在分析過程中要注重知識的橫向聯(lián)系,及例題具有的延伸性,挖掘其潛在的內(nèi)容,進(jìn)一步一題多變,讓變式“順勢而為”.

變式1已知△ABC中,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C對應(yīng)的邊,且a2+b2=c2,求證an+bn

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生向更廣的范圍、更深層次去聯(lián)想、縱橫引申,通過一題多解促進(jìn)學(xué)生知識融會貫通,促進(jìn)解題能力和思維能力不斷提高,形成解題方法和策略.

證1不等式放縮

因?yàn)閍2+b2=c2,所以c>a,c>b.

又因?yàn)閚≥3,所以n-2≥1，

所以cn-2>an-2,cn-2>bn-2.

所以c2·cn-2=(a2+b2)·cn-2>a2an-2+b2bn-2,

即cn>an+bn.

證2進(jìn)行三角換元適當(dāng)放縮

所以0

所以cnsinnA

所以cnsinnA+cncosnA

即an+bn

證3利用二項(xiàng)式定理的展開式

因?yàn)?/p>

因?yàn)閍2+b2=c2,

又因?yàn)?/p>

所以an+bn

證4構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性

因?yàn)閍2+b2=c2,所以c>a,c>b；

因?yàn)閚≥3,所以f(n)

證5與自然數(shù)有關(guān)的命題,用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=3時(shí),(因?yàn)閍2+b2=c2，a>0,b>0,c>0,所以c>a,c>b).

a3+b3=a·a2+b·b2

=c·(a2+b2)=c3.

②假設(shè)若當(dāng)n=k時(shí)成立,即ak+bk

則當(dāng)n=k+1時(shí),

ak+1+bk+1=a·ak+b·bk

=c(ak+bk)

即ak+1+bk+1

綜合①②可知當(dāng)n≥3時(shí)，an+bn

設(shè)計(jì)意圖啟發(fā)同學(xué)們從不同角度思考問題,五種解法跨越三角函數(shù),排列組合,函數(shù)單調(diào)性,數(shù)學(xué)歸納法等知識板塊,起到了很好的復(fù)習(xí)作用. 同時(shí)通過對變式題探討激發(fā)同學(xué)們的思維,此時(shí)教師要“順勢而動”,讓變式探究再進(jìn)行.

變式2已知 △ABC的三邊a,b,c滿足

設(shè)計(jì)意圖變式教學(xué)誘發(fā)一題多解,但解題教學(xué)的最終目的是讓學(xué)生學(xué)會思考,通過解法的展示與評價(jià),讓學(xué)生總結(jié)各種方法的優(yōu)劣,以學(xué)會合理地選擇,從而快速地、有效地解題.讓學(xué)生對變式1的多種解法重新審視,找出其中本質(zhì)的、核心的方法.顯然變式1中的證法1、2、3、5都有其局限性,證法4是自然、簡單的.

探究1若△ABC的三邊長a,b,c滿足aα+bα=cα,則a>1或α<0.

證明顯然α=0不合題意.

假設(shè)0<α≤1,則由已知得cα>aα且cα>bα.

因?yàn)閥=xα是(0,+)上的增函數(shù),

所以,c>a且c>b.

所以f(1)≤f(α),

亦即a+b≤c.

這與a,b,c是△ABC的三邊長矛盾.

所以a>1或α<0.

探究2若△ABC的三邊長a,b,c滿足aα+bα=cα(α>1),則

1°當(dāng)1

2°當(dāng)a=2時(shí),△ABC是直角三角形;

3°當(dāng)a>2時(shí),△ABC是銳角三角形.

證明因?yàn)閍>1,aα+bα=cα,

所以c>a,c>b.

已知f(x)是R上的減函數(shù),于是有：

1°當(dāng)1

所以a2+b2-c2<0,從而cosC<0,

所以C是鈍角.故△ABC是鈍角三角形；

2°當(dāng)a=2時(shí),顯然cosC=0,所以C是直角,故△ABC是直角三角形；

3°當(dāng)a>2時(shí),

所以a2+b2-c2>0,從而cosC>0,

所以C是銳角. 故△ABC是銳角三角形.

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)解題勿忘自然、簡單的原則,在探究1、2始終圍繞證法4展開,從一題多解到多題一法,深化理性的認(rèn)識.在例題變式探究教學(xué)過程中,“多題一法”是在“一題多解”、“一題多變”基礎(chǔ)上的一次提升,更是對核心問題和核心方法的一次提煉.所以也可以引導(dǎo)學(xué)生自行解決探究3.

探究3若△ABC的三邊長a,b,c滿足aα+bα=cα(α<0),則△ABC既可以是銳角三角形,又可以是直角三角形或鈍角三角形．(證略)

3 幾點(diǎn)教學(xué)建議

3.1 變式教學(xué)誘發(fā)一題多解

變式探究應(yīng)“因地制宜”，不能為變式而變式，為探究而探究，要“順勢而為”。

這里的“地、勢”是指學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與思維方式,這是變式探究教學(xué)的根本.本節(jié)課例題選擇了開放的視角，從特殊到一般，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生自主參與分析與研討。此時(shí)學(xué)生探究意識已被激發(fā)，教師要把原來的題目變成“長流活水”,順著學(xué)生思維發(fā)展的方向,利用變式的手段挖掘不斷例題的內(nèi)涵.變式1的設(shè)計(jì)起點(diǎn)低，卻視角豐富，顯然為學(xué)生進(jìn)一步探究提供了“把練場”，使學(xué)生在引例中引發(fā)的思維之花得以盡情綻放，變式誘發(fā)了一題多解，這才是課堂教學(xué)的魅力所在。

3.2 解題勿忘自然、簡單的原則

對變式1的解法中引導(dǎo)學(xué)生一題多解， 一題多解能重構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，認(rèn)清知識內(nèi)在聯(lián)系，提煉不同的數(shù)學(xué)思想方法. 而一題多解的目的并不在于“多解”，而在于思維的“多層次”，在于學(xué)生從多解中分析出解法的優(yōu)劣，獲得高水平的思維訓(xùn)練，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.時(shí)時(shí)不忘提醒學(xué)生，是否有更為自然、簡單的解題方法呢？探究1與探究2的設(shè)計(jì)看似從“一題多解”到“多題一法”的跨越，其背后是培養(yǎng)學(xué)生從發(fā)散思維到聚斂思維，收到“解一題，會一類，同一片”的效果.這樣的教學(xué)不但培養(yǎng)學(xué)生問題意識,發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維能力,更重要的是通過變式和自我探究引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)和掌握科學(xué)方法.

3.3 讓探究成為一種習(xí)慣

將數(shù)學(xué)探究活動植根于例題教學(xué)活動中，讓更多的教學(xué)環(huán)節(jié)滲透探究的元素、探索方法、探究思想，讓數(shù)學(xué)探究真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的習(xí)慣.這樣才能真正改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.當(dāng)然探究學(xué)習(xí)過程不是強(qiáng)加于學(xué)生，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生研究探究對象背景、形成過程及與其他對象之間的聯(lián)系.讓學(xué)生真正經(jīng)歷探究的過程，這樣探究活動才是真實(shí)且自然的.要把握探究內(nèi)容的難度，創(chuàng)設(shè)探究的情境，“惑學(xué)生所惑，難學(xué)生所難，錯(cuò)學(xué)生所錯(cuò)”設(shè)身處地地揣摩學(xué)生的認(rèn)知狀態(tài)，在此基礎(chǔ)上因勢利導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)師生“思維共振”，有效地促進(jìn)了學(xué)生的思維的參與，讓整個(gè)探究過程顯得更自然、流暢，讓學(xué)生在探究中學(xué)會探究.

“讓學(xué)生帶著問題輕松步入課堂,在愉快且又適度緊張中學(xué)習(xí)(探究);又要讓學(xué)生帶著新的、更高層次的問題走出課堂,在自由自在中研究(學(xué)習(xí))、發(fā)展.”這是例題變式探究教學(xué)理想化追求，也是實(shí)現(xiàn)使高三例題教學(xué)成為好數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵所在。教師要讓變式“因地制宜”，學(xué)生的探究“水到渠成”，使變式探究教學(xué)這朵絢麗的奇葩，在數(shù)學(xué)教學(xué)的百花園爭奇斗艷.