范偉熠

摘要：本文分析了函數(shù)方程f（x）展開成傅里葉級數(shù)的收斂性問題，給出了傅里葉級數(shù)的相關(guān)證明，并且在本文中也揀選了它的起源，有助于讀者來了解傅里葉級數(shù)。傅里葉級數(shù)用簡單的三角函數(shù)的線性組合來代替那些看起來很復(fù)雜的函數(shù)，通過研究那些線性組合后的三角函數(shù)，來達(dá)到理解那些復(fù)雜函數(shù)的關(guān)系的目的，本文中給出了一些例子來加以說明。

關(guān)鍵詞：傅里葉級數(shù)；收斂性；應(yīng)用；數(shù)學(xué)

一、 引言

在我們無法進(jìn)行理論證明的時候，采用直觀推斷的研究方法其實(shí)在早期的科學(xué)研究中，已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用，因此也帶來了很多的重要發(fā)現(xiàn)，傅里葉級數(shù)就是其中之一。他的研究促進(jìn)了函數(shù)概念的發(fā)展，他解決了關(guān)于弦振方程問題的解的爭論，同時還拓展了函數(shù)概念的發(fā)展，讓人們覺得函數(shù)必須要有一個表達(dá)式來進(jìn)行說明，人們可以從泰勒公式之中解放出來，而且傅里葉的結(jié)論展示了強(qiáng)大的生命力，比以前人們使用三角函數(shù)正交要簡單明了一些，這是很偉大的舉動。傅里葉將其發(fā)展成了內(nèi)容豐富的理論，從而開創(chuàng)了數(shù)學(xué)物理學(xué)的一個時代。

二、 傅里葉級數(shù)的收斂性

同理，當(dāng)f（x）在x的右鄰域也為單調(diào)函數(shù)也是成立的。研究工作者們得出結(jié)論，連續(xù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)在某些點(diǎn)是發(fā)散的，而且級數(shù)在算術(shù)平均和的意義下總是收斂該函數(shù)，同時有函數(shù)在任意給定的零測集上，存在連續(xù)的周期函數(shù)在該點(diǎn)都是發(fā)散的，所以傅里葉級數(shù)的收斂性問題就清楚了。

三、 傅里葉級數(shù)的應(yīng)用

（一） 利用傅里葉級數(shù)斂散性證明等式

傅里葉級數(shù)的等式方面的證明是傅里葉級數(shù)收斂性的主要應(yīng)用之一，也是高等數(shù)學(xué)的證明等式的基礎(chǔ)，證明兩個等式相等方法有很多，利用傅里葉級數(shù)只是其中的一種而已，由級數(shù)的收斂性就可以證明。通常的做法就是將其中的一個等式變成傅里葉級數(shù)，由級數(shù)的收斂性就可以比較清晰，下面舉例證明。

四、 結(jié)語

傅里葉級數(shù)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個十分重要的學(xué)科，是處理很多科學(xué)和工程問題必不可少的工具，本文通過這些內(nèi)容希望給讀者這方面的啟示。

在實(shí)際中如果遇到十分復(fù)雜的事物，傅里葉級數(shù)就是這樣的數(shù)學(xué)思考方式的體現(xiàn)，它的主要體現(xiàn)是把復(fù)雜函數(shù)化為簡單的三角函數(shù)的線性組合，通過研究三角函數(shù)的線性組合來達(dá)到研究復(fù)雜函數(shù)的目的。本文簡單地介紹了傅里葉級數(shù)的收斂性和一些方面的應(yīng)用，即在純數(shù)學(xué)應(yīng)用中來解決問題。

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