李秀梅??

摘要：向量的模是平面向量的重要概念，體現(xiàn)了平面向量“數(shù)”與“形”雙重性的重要特征。向量模的最值之問題是歷年高考的熱點(diǎn)，本文以一例最值問題探究常用的幾種解題思路。同時(shí)要教育學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，提高自己的思維能力；培養(yǎng)學(xué)生善于質(zhì)疑的習(xí)慣；養(yǎng)成解后反思的習(xí)慣；養(yǎng)成做筆記的習(xí)慣等。

關(guān)鍵詞：演算驗(yàn)算習(xí)慣；解題習(xí)慣；質(zhì)疑習(xí)慣；反思習(xí)慣；做筆記習(xí)慣

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是小學(xué)到高中甚至更高一級(jí)學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵期，我們要把握這個(gè)關(guān)鍵期，不斷提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率，使學(xué)生獲得終身學(xué)習(xí)的能力，促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，使學(xué)生終身受益。俗話說：“教育，就是培養(yǎng)習(xí)慣”。作為數(shù)學(xué)教師，培養(yǎng)學(xué)生怎樣的學(xué)習(xí)習(xí)慣，直接影響數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的高低。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題步驟是學(xué)生對(duì)題目深入思考的外在表現(xiàn)，是我們判斷學(xué)生解題能力強(qiáng)弱的依據(jù)，解答過程是否完整，思路是否清晰都能反應(yīng)出學(xué)生對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。因此我們在教學(xué)中應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，更要注意學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)。本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例，就數(shù)形結(jié)合解決向量模的最值問題談幾點(diǎn)做法和體會(huì)。

向量的模是平面向量的重要概念，體現(xiàn)了平面向量“數(shù)”與“形”雙重性的重要特征。向量模的最值之問題是歷年高考的熱點(diǎn)，本文以一例最值問題探究常用的幾種解題思路。

試題呈現(xiàn)：

若點(diǎn)A在圓C：（x-1）2+（y+2）2=4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)，則對(duì)定點(diǎn)P（3，2）而言，|PA+PB|的最小值為（）.

A. 3B. 5

C. 25-1D. 25+1

解法1：坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡

設(shè)A（x1，y1），B（0，y2），則PA+PB=（x1-6，y1+y2-4）.

若設(shè)r=|PA+PB|，則由題意可得（x1-6）2+（y1+y2-4）2=r2.即，點(diǎn)A在以D（6，4-y2）為圓心，以r為半徑的圓D：（x-6）2+（y+y2-4）2=r2上.

由圓C與圓D有公共點(diǎn)A可得r+2≥|CD|=（6-1）2+（6-y2）2≥5，從而r≥3.

故，答案為A.

點(diǎn)評(píng)：本法中利用坐標(biāo)法確定點(diǎn)A的軌跡方程D：（x-6）2+（y+y2-4）2=r2.

根據(jù)圓C與圓D有公共點(diǎn)A可得兩兩圓心距不大于兩半徑之和，所以有r+2≥|CD|=（6-1）2+（6-y2）2≥5，從而r≥3.

解法2：利用模的坐標(biāo)公式

設(shè)A（x1，y1），B（0，y2），則PA+PB=（x1-6，y1+y2-4）.

從而，|PA+PB|=（x1-6）2+（y1+y2-4）2≥（x1-6）2=6-x1≥3.

故，答案為A.

點(diǎn)評(píng)：本題方法與解法1的出發(fā)點(diǎn)相似，但該法是直接利用坐標(biāo)代入模的計(jì)算公式，根據(jù)公式特點(diǎn)確定最值，這是模的最值中常用的基本方法之一。

解法3：三角代換

由點(diǎn)A在圓C上可設(shè)A（1+2cosθ，-2+2sinθ），B（0，t），

則PA+PB=（2cosθ-5，t+2sinθ-6）.

故|PA+PB|=（2cosθ-5）2+（t+2sinθ-6）2

≥（2cosθ-5）2=5-2cosθ≥3.故答案為A.

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)A坐標(biāo)滿足圓的方程（x-1）2+（y+2）2=4故可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1+2cosθ，-2+2sinθ）然后借鑒解法2中的思路，表示出|PA+PB|的三角形式，利用三角函數(shù)最值方法得解。

解法4：數(shù)形結(jié)合法

設(shè)Q為AB的中點(diǎn)，則PA+PB=2PQ，過P，Q，A作y軸的垂線，垂足分別為P′，Q′，A′.

由于|PP′|≤|PQ|+|QQ′|=|PQ|+12|AA′|≤|PQ|+32，

因此|PQ|≥|PP′|-32=32，即|PA+PB|=2|PQ|≥3.

故，答案為A.

點(diǎn)評(píng)：本法中借助三角形中線的性質(zhì)，取AB中點(diǎn)Q，可得PA+PB=2PQ.

此題即轉(zhuǎn)化為線段|PQ|的最值問題，過點(diǎn)P作y軸線，垂足為P′，由圖可知P，Q，P′三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值。

解法5：利用對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定直線上的點(diǎn)與圓上點(diǎn)距離的最小值問題

設(shè)B′為點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，則|PA+PB|=|PA-PB′|=|B′A|.

由于點(diǎn)B′在直線x=6上，點(diǎn)A在圓C：（x-1）2+（y+2）2=4上，可得|B′A|≥5-2=3.故答案為A.

點(diǎn)評(píng)：取點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B′，則點(diǎn)B′在定直線x=6上，

故|PA+PB|轉(zhuǎn)化為直線x=6上與圓（x-1）2+（y+2）2=4上點(diǎn)的距離最小值問題，由圖可知其最小值為圓心到直線x=6的距離減去半徑可得。

以上方法看出解決向量模的最值問題的主要思路為“數(shù)”與“形”的結(jié)合，這是體現(xiàn)模的本質(zhì)的基本思想，解題時(shí)應(yīng)用坐標(biāo)、軌跡等工具進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，即可求得最值。

參考文獻(xiàn)：

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[2]夏鈺欽.實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的五大要領(lǐng)[J].課程·教材·教法，2016（8）：38-42.