一、學(xué)生在數(shù)的近似中解題困難引起思考

1.數(shù)的估計(jì)中，學(xué)生碰到的問題

在四年級(jí)上冊(cè)教學(xué)中，學(xué)生們會(huì)碰到這樣一種類型的問題：一個(gè)數(shù)改寫成萬作單位的數(shù)時(shí)約等于10萬，問這個(gè)數(shù)最大是多少？最小是多少？無論哪一屆學(xué)生在解決這個(gè)問題時(shí)都會(huì)遇到困難，我們教師在引導(dǎo)過程中也會(huì)有好幾種方法。但盡管教師講解過多遍，一些學(xué)生在碰到具體問題時(shí)還是會(huì)手足無措，也有一些學(xué)生只是記住了特點(diǎn)，最大的末尾是4999的形式，最小的末尾是5000的形式。其實(shí)學(xué)生對(duì)于約等于10萬這個(gè)近似數(shù)還是不夠理解的。

到了四年級(jí)下冊(cè)的時(shí)候，小數(shù)的近似數(shù)時(shí)，學(xué)生對(duì)于約等于2.7的二位小數(shù)最大是多少，最小是多少也會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生困難，如果問約等于2.7的三位小數(shù)最大值和最小值是多少學(xué)生更是感到麻煩，以及在理解近似數(shù)2與近似數(shù)2.0的差異上，多半學(xué)生并不能完全明白。

2.在詢問學(xué)生方法時(shí)，筆者碰到的困惑

問學(xué)生約等于10萬的最大值和最小值是多少，成績(jī)好的學(xué)生他能回答清幾個(gè)思路：①約等于10萬的數(shù)有可能比10萬大，也有可能比10萬小。②比10萬大的數(shù)四舍約等于10萬，所以是10萬多，比10萬小的數(shù)五入到10萬，所以是9萬多。③要看四舍和五入關(guān)鍵是千位，四舍最大填4，五入最小填5。④后面幾個(gè)數(shù)位不影響近似，所以這幾個(gè)數(shù)位上要最大就填9，要最小就填0。如果學(xué)生能有邏輯解決這個(gè)問題固然是很好，體現(xiàn)出了學(xué)生的邏輯推理能力，而給學(xué)生的是四舍五入的一種規(guī)則，但是我們?yōu)槭裁匆眠@個(gè)規(guī)則呢？難道生活中我們對(duì)于約等于10萬是一種推理嗎？筆者認(rèn)為這并不是約等于10萬的全部意義，近似數(shù)的認(rèn)識(shí)，應(yīng)該存在著概念教學(xué)，而不是變成了規(guī)則教學(xué)，數(shù)的概念教學(xué)就不應(yīng)該完全推理化，還應(yīng)該有數(shù)感的培養(yǎng)，學(xué)生不應(yīng)該完全恪守于規(guī)則化地解題。

3.以理解數(shù)的概念教學(xué)為目的，提出用數(shù)軸配合探究近似數(shù)的大小。

數(shù)（shù）的概念是從數(shù)（shǔ）開始的，由1開始，我們?cè)谡J(rèn)識(shí)1時(shí)是從實(shí)際一個(gè)物體開始的，可以是一個(gè)人、一只貓、一棵樹、一條船等等形象中抽象出數(shù)字1，那么近似數(shù)也是從生活中直接抽象出來的，比如有10多個(gè)人在打掃衛(wèi)生，學(xué)校大約有1000多名師生等概念。到了高年級(jí)我們把數(shù)的大小表示在數(shù)軸上，引出了負(fù)數(shù)、無理數(shù)等概念，基于這些原因，本人覺得在教學(xué)四年級(jí)近似數(shù)的過程中，可以嘗試?yán)脭?shù)軸進(jìn)行探究。

二、近似數(shù)教學(xué)中幾種方法的對(duì)比

對(duì)于同一個(gè)問題，我們可以對(duì)比不同的講解方式：

求近似到萬位約是10萬的整數(shù)最大和最小各是多少？

教法一：列舉法

師：請(qǐng)你寫出幾個(gè)近似到萬位約等于10萬的整數(shù)。

生寫出幾個(gè)

師：有沒有比這個(gè)更大的？

生一次一次寫大來，直到寫出104999

師：還能再大么？

生：不能了，因?yàn)樵俅缶褪?05000，105000是約等于11萬的。

師：所以約等于10萬最大的是104999，我們可以記牢它是999結(jié)尾的，再多一就變5000了，會(huì)約等于11萬的。那么有沒有人能找到最小的呢？

然后生列舉，直到找到95000

師：還能再小么？

生：不能了，再小就約等于9萬了。

師總結(jié)，讓學(xué)生記憶最小數(shù)的特點(diǎn)，都是0結(jié)尾的。

評(píng)析：這樣的方法雖然也能解決問題，但是整個(gè)過程學(xué)生的思考是隨機(jī)散亂的，沒有形成系統(tǒng)的概括性的方法指導(dǎo)，學(xué)生碰到類似問題時(shí)還是會(huì)先毫無方向地試一試，很多學(xué)生不能有效地找到最大或最小的數(shù)，它需要學(xué)生過分地依賴自己的記憶能力。

教法二：推理法

師：約等于10萬的數(shù)，比10萬大還是比10萬??？

生：都有可能的，有可能比10萬大，也有可能比10萬小。

師：比10萬大，是怎樣的數(shù)？

生列舉幾個(gè)，師打斷：也就是10萬多的，那10萬多的數(shù)要約等于10萬后面的部分需要四舍還是五入？

生：要四舍的。

師：那四舍里最大是多少？

生：4，也就是千位上要4。

師：那后面幾位可以填什么？

生：可以填9

師：我們找到了最大的數(shù)，它是四舍得到的。那么最小的數(shù)怎么找？

生：應(yīng)該比10萬小，在9萬多，必須要五入，所以千位上應(yīng)該是5，最小就應(yīng)該95000。

師總結(jié)方法，最大的要四舍，所以下一位要求4，后面幾位要大就填9；最小的要五入，所以下一位是5，后面幾位要小就填0。

評(píng)析：利用推理的方法，避免了無目的的列舉，使思考變得有方向性，明確了最大應(yīng)該是比10萬多的，甚至是四舍得出來的；最小應(yīng)該是比10萬小的，需要五入進(jìn)位成10萬的，于是不難找到正確答案。但是它過分強(qiáng)調(diào)了約10萬的抽象意義，忽略了約等于10萬的形象概念，對(duì)于思維能力較弱的學(xué)生仍舊只依靠記憶的方式解決問題。

教法三：數(shù)軸法

出示數(shù)軸圖1，師：說說這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)大約是多少？

生：10萬（或者說10萬多的數(shù)）

師：怎么看出它約等于10萬的？

生：這個(gè)數(shù)比10萬多一點(diǎn)點(diǎn)，它沒有超過10萬后面的半格，相比于11萬它更接近與10萬。

出示數(shù)軸圖2，師：那么這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)大約是多少？

生：也是10萬

師：這個(gè)點(diǎn)與剛才那個(gè)點(diǎn)有什么不一樣？為什么都約等于10萬？

生：這個(gè)點(diǎn)雖然和剛才那個(gè)點(diǎn)不一樣，但是它也在靠近10萬的一側(cè)，所以也可以約等于10萬。

生：雖然這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)比10萬小，但它還是很接近10萬。

師：你們的意思是說靠近10萬這個(gè)范圍的都可以約等于10萬？你能在數(shù)軸上涂一涂約等于10萬的范圍么？

師：請(qǐng)一個(gè)同學(xué)上來說一說，涂色的這個(gè)框表示什么意思？

生：就是表示約等于10萬的一個(gè)范圍。

師：那么最右邊表示多少？最左邊表示多少？

生：最右邊表示10萬5000，最左邊是9萬5000。

生：約等于10萬的數(shù)是從95000到105000。

師：5000是怎么得出來的？

生：5000就是剛剛一半的地方（1萬的一半）

師：那如果是約等于11萬的數(shù)，應(yīng)該怎樣的范圍？

生：10萬5000到11萬5000。

師：那10萬5000剛剛不是約等于10萬的么？為什么現(xiàn)在約等于11萬了？10萬5000到底應(yīng)該約等于哪個(gè)呢？

生：我認(rèn)為都可以……

生：我認(rèn)為10萬5000已經(jīng)是一個(gè)整千數(shù)了，它既不能約等于10萬也不能約等于11萬。

生：我認(rèn)為四舍五入，5000應(yīng)該往大的方向估計(jì)，所以要約等于11萬的。

師：是的，因?yàn)?000多一點(diǎn)點(diǎn)的數(shù)都在接近于大的那個(gè)數(shù)那一邊，所以數(shù)學(xué)上把5開頭的包括5都往大的方向估，于是有了四舍五入。10萬5000一般規(guī)定它約等于11萬。

師：想一想，約等于10萬的最大的整數(shù)是多少？

生：104999，約等于10萬的整數(shù)應(yīng)該是95000——104999。

三、利用數(shù)軸進(jìn)行近似數(shù)教學(xué)的積極意義

相對(duì)于前兩種教學(xué)，用數(shù)軸法進(jìn)行教學(xué)有以下幾點(diǎn)作用：

1.利用數(shù)軸可以有效地讓學(xué)生明白近似數(shù)的概念。

與準(zhǔn)確數(shù)相比，準(zhǔn)確數(shù)只是數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，而近似數(shù)表示了以10萬作為中心的一個(gè)數(shù)值范圍，是點(diǎn)的集合。這種集合思想講明了多個(gè)準(zhǔn)確數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)近似數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系，更有利于學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)與形成。同時(shí)，這樣的方法也適合與四年級(jí)下冊(cè)小數(shù)的近似數(shù)，解決約等于2.7的二位小數(shù)、三位小數(shù)的最大最小值的時(shí)候，同樣可以讓學(xué)生在數(shù)軸上觀察分析。

這時(shí)可以進(jìn)一步分析，約等于2.7的數(shù)是2.65到2.75之間，哪一邊不能取到呢？學(xué)生根據(jù)四舍五入的法則，會(huì)明確2.75是不能取到的，這個(gè)教學(xué)其實(shí)就是中學(xué)的閉區(qū)間和開區(qū)間的認(rèn)識(shí)，那可以引導(dǎo)學(xué)生用實(shí)心點(diǎn)標(biāo)左邊的2.65，用空心點(diǎn)標(biāo)右邊的2.75，也就是約等于2.7的數(shù)應(yīng)該是2.65≦2.7﹤2.75的范圍內(nèi)，非常接近于2.75但不到2.75，也就是中學(xué)里的【2.65，2.75）。

于是約等于2.7的二位小數(shù)是2.65～2.74，三位小數(shù)是2.650～2.749，甚至可以繼續(xù)思考約等于2.75的四位小數(shù)是2.6500～2.7499。

2.數(shù)軸法的教學(xué)過程中明確了四舍五入規(guī)則的原因，讓學(xué)生明白了數(shù)學(xué)是合乎情理的。

很多教師在規(guī)則教學(xué)過程中都帶著一些強(qiáng)制性，因?yàn)檫@是一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)則，甚至有時(shí)候教師都沒有去思考過為什么必須是這樣的規(guī)則。如果像前兩種教法，學(xué)生對(duì)于四舍五入只是一個(gè)規(guī)則化認(rèn)識(shí)，非自己意愿的。這樣就違背了數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)是講理的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)是存在客觀規(guī)律的。

3.數(shù)軸本身作為一種工具，有利于學(xué)生產(chǎn)生知識(shí)遷移，內(nèi)化知識(shí)網(wǎng)。

人教版新教材下，對(duì)于數(shù)軸的利用有所增多，在很多數(shù)的認(rèn)識(shí)和量的認(rèn)識(shí)中潛移默化地在引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)軸。同時(shí)數(shù)軸對(duì)于學(xué)生感知數(shù)的大小，利用數(shù)形結(jié)合解決問題都有很好的作用。在關(guān)于數(shù)和量的教學(xué)中，結(jié)合數(shù)軸在學(xué)生的認(rèn)知模式中構(gòu)建元認(rèn)知，形成知識(shí)網(wǎng)，能讓學(xué)生更扎實(shí)地學(xué)好知識(shí)。就以四年級(jí)下冊(cè)約等于2與約等于2.0為例：

通過對(duì)比，可以感受到近似數(shù)2.0應(yīng)該在1.95到2.05這個(gè)范圍內(nèi)（不能取2.05），這個(gè)范圍明顯小多了，那么也就表示保留到十分位比保留到整數(shù)更加精確。

四、問題與總結(jié)

實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生對(duì)于利用數(shù)軸理解數(shù)還是不熟練的，用這個(gè)研究近似數(shù)的方法也沒有能讓學(xué)生完全掌握，所以我覺得利用數(shù)軸對(duì)學(xué)生的近似數(shù)教學(xué)中還有很多需要注意和改進(jìn)的地方。①要讓學(xué)生在低學(xué)段加強(qiáng)數(shù)軸的教學(xué)，讓孩子看到這樣的標(biāo)有數(shù)的線不陌生。②用推理法配合教學(xué)，學(xué)生對(duì)于方法的掌握更牢固。③近似數(shù)應(yīng)該與生活有關(guān)，問題的呈現(xiàn)還要配合生活情景性。

隨著教學(xué)研究的深入，數(shù)軸法可以應(yīng)用到數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域，必然能產(chǎn)生更多的積極意義。