【摘 要】本文探究圓錐曲線的最值問題，主要利用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法。通過具體實例，對橢圓中的常見最值問題進行分類破解。

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線 函數(shù) 橢圓 最值問題

有關(guān)圓錐曲線的最值問題，在近幾年的高考試卷中頻頻出現(xiàn)，在各種題型中均有考查，其中以解答題為重，在平時的高考復(fù)習(xí)需有所重視。要解決這類問題往往利用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，將它轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，以及利用函數(shù)單調(diào)性、各種平面幾何中最值的思想來解決。本文通過具體例子，對橢圓中的常見最值問題進行分類破解。

一、建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)

例1 設(shè)P（x，y）是橢圓上的一點，F(xiàn)1為橢圓的左焦點，求|PF1|的最大值和最小值。

分析：由于點F的坐標(biāo)為（-6，0），因此只須設(shè)出點P的坐標(biāo)（x，y），結(jié)合橢圓方程即可建立|PF1|關(guān)于橫坐標(biāo)x的目標(biāo)函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的即可求解。

解：橢圓的左焦點F1坐標(biāo)為（-6，0），根據(jù)兩點的距離公式，得

點撥：函數(shù)法是探求最值問題的常用方法，尤其是二次函數(shù)，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的確定不容忽視，同時通過本題的解答，可得結(jié)論：橢圓上的點到焦點的距離取得最大值和最小值的點就是橢圓的兩個端點。

二、利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化

例2 已知A（4，0）、B（2，2），M是橢圓9x2+25y2=225上的動點，求|MA|+|MB|的最大與最小值。

分析：由于A（4，0）是橢圓的焦點，因此可以利用橢圓的定義對|MA|+|MB|轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為求解橢圓上一動點到定直線上兩定點的距離之差的最值問題。

解析：如圖所示，由題意，知點A（4，0）恰為橢圓右焦點，則A關(guān)于O的對稱點A1（-4，0）（左焦點），由橢圓的第一定義，得|MA|+|MA1|=2a，|MA|=2a-|MA1|，∴|MA|+|MB|=（2a-|MA1|）+|MB|=2a+（|MB-|MA1|），

在△A1BM中，||MB|-|MA1||≤|A1B|=，-≤|MB|-|MA1|≤，

又2a=10.故|MA|+|MB|的最大值是10+，最小值為10-.

點評：（1）涉及橢圓的焦點問題，一般都可以利用定義引導(dǎo)思維，同時常起著轉(zhuǎn)化的作用；（2）注重使用平面幾何知識“三角形中的三邊關(guān)系”，三點共線為特例，從而確定最值。

三、利用三角函數(shù)有界性求范圍

例3已知橢圓C：（a>b>0）兩個焦點為F1，F(xiàn)2，如果曲線C上存在一點Q，使F1Q⊥F2Q，求橢圓離心率的最小值。

分析：根據(jù)條件可采用多種方法求解，但是若借用三角函數(shù)的有界性求解，會有不錯的效果。由于F1Q⊥F2Q，因此可設(shè)∠PF1F2=α，然后表示出相應(yīng)的焦半徑|QF1|、|QF2|，結(jié)合定義即可建立離心率關(guān)于α的三角函數(shù)。

點撥：對于此法求最值問題關(guān)鍵是掌握邊角的關(guān)系，并利用三角函數(shù)的有界性解題，真是柳暗花明又一村。

除了上述幾類之外，高考中還有數(shù)量積的最值問題、直線斜率（或截距）的最值問題等等，由此可見對于橢圓中的最值問題所涉及范圍較廣，從中也滲透了求最值的一些常規(guī)方法，運用定義、平面幾何知識可更有效地將最值問題轉(zhuǎn)化成形的最值問題。

參考文獻

[1]宋貴聰.圓錐曲線中一類最值問題的解法[J].咸寧學(xué)院學(xué)報，2009（6）.

[2]王成喜.圓錐曲線中最值問題的類型與解法[J].科技信息，2009（35）.