母賀楠

(河北省唐山市樂(lè)亭縣第一中學(xué) 063600)

用構(gòu)造法巧解不等式問(wèn)題

母賀楠

(河北省唐山市樂(lè)亭縣第一中學(xué) 063600)

在高中三年的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)到了許多數(shù)學(xué)知識(shí).如何將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，成為我們解決問(wèn)題的工具，針對(duì)這一問(wèn)題，本文僅就不等式問(wèn)題的求解，談些認(rèn)識(shí)與體會(huì).

構(gòu)造法；不等式問(wèn)題；模型

構(gòu)造法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的開(kāi)拓性、創(chuàng)造性運(yùn)用，對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要的作用.本文僅就不等式(最值)的有關(guān)問(wèn)題，說(shuō)明構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的若干途徑.

一、構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)

點(diǎn)評(píng)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的主線.根據(jù)題目中式子的特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)模型，利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性，奇偶性，最值)解題，是最基本最重要的方法.

二、構(gòu)造方程

例2 設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為_(kāi)___.

解令2x+y=k,即y=k-2x，代入已知式，整理得6x2-3kx+k2-1=0.

點(diǎn)評(píng)根據(jù)解題需要構(gòu)造出相應(yīng)的方程，是常用方法.構(gòu)造的途徑有利用根的定義，韋達(dá)定理，判別式等.

三、構(gòu)造三角式

點(diǎn)評(píng)本題的常規(guī)解法是用直線方程與圓的方程聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)，再求面積的最大值，十分煩瑣.而上述解法恰當(dāng)引入角變量θ，轉(zhuǎn)化為三角式問(wèn)題，解法巧妙簡(jiǎn)捷.

四、構(gòu)造數(shù)列

點(diǎn)評(píng)將待證式變形后，逆向思維，觀察出分式是等比數(shù)列前n項(xiàng)和，通過(guò)構(gòu)造相關(guān)數(shù)列，使問(wèn)題簡(jiǎn)捷獲解.

五、構(gòu)造二項(xiàng)式

例5 求證2n>2n+1(n∈N*且n≥3).

由n≥3知展開(kāi)式至少有4項(xiàng)，故

點(diǎn)評(píng)以上證明不用常規(guī)的數(shù)學(xué)歸納法，而巧構(gòu)二項(xiàng)式，速證不等式.

六、構(gòu)造向量

例6 設(shè)x、y、z>0，xyz=1,求證

分析將左邊各分式看成某式的平方，來(lái)構(gòu)造兩個(gè)向量的模與數(shù)量積，然后利用模與數(shù)量積的不等式求解.

構(gòu)造法解題是以堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)為根基的，通過(guò)敏銳的觀察，廣泛的聯(lián)想來(lái)實(shí)現(xiàn)的.這需要平時(shí)的積累.

[1]張志兵.例談“構(gòu)造法”在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2013(7).

[2]蘇亦亞.淺談“構(gòu)造法”在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014(6)：62～63.

[3]孫春生.構(gòu)造法中的奇葩[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2010(11)：39～41.

G632

A

1008-0333(2017)31-0046-02

2017-07-01

母賀楠，河北省唐山市樂(lè)亭縣第一中學(xué)，高三學(xué)生.

楊惠民]