周忠武

【摘要】首先，本文對當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中對數(shù)學(xué)難點教學(xué)處理中存在的兩種“極端方式”及其弊端進(jìn)行分析；然后，結(jié)合兩個具體案例對這兩種方式存在的不合理因素加以說明；最后，對數(shù)學(xué)教學(xué)難點的教學(xué)給出幾點具體的實施建議.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué)；難點；思維發(fā)展；認(rèn)知障礙

一、數(shù)學(xué)教學(xué)難點

數(shù)學(xué)教學(xué)的難點一般是指學(xué)生不易理解和接受的知識，或不易掌握的技能技巧，其本質(zhì)是數(shù)學(xué)任務(wù)的加工認(rèn)知障礙.按照維果斯基“最近發(fā)展區(qū)”理論分析，如果學(xué)生已有發(fā)展水平與教學(xué)要求之間的矛盾比較突出，這時的教學(xué)要求就成為教學(xué)的難點.[1]

在維果斯基提出的“最近發(fā)展區(qū)”理論中指出：學(xué)生的發(fā)展水平有現(xiàn)有水平和潛在水平兩種水平，兩種水平之間的差距就是學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，同時維果斯基還指出這個差距是動態(tài)的.所以，我們的教學(xué)要以“最近發(fā)展區(qū)”為基礎(chǔ)，走在學(xué)生發(fā)展的前面，設(shè)置適當(dāng)?shù)恼J(rèn)知障礙，使學(xué)生在通過自己主動努力的探索后，達(dá)到認(rèn)知發(fā)展的潛在水平，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力.

然而在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)教師處理數(shù)學(xué)難點的方式方法卻逐漸地走向了兩個極端，其一是視而不見，其二是過度弱化數(shù)學(xué)難點.兩種極端都會產(chǎn)生不良影響，下面筆者就針對這兩種極端談?wù)勛约旱挠^點.

第一，教學(xué)中不重視數(shù)學(xué)難點，對數(shù)學(xué)難點視而不見，沒有引導(dǎo)學(xué)生自主地突破數(shù)學(xué)難點的意識，甚至不相信學(xué)生具備解決難點的能力.于是采用一種極其野蠻的方式——視而不見，跳過數(shù)學(xué)難點的講解，最后學(xué)生在數(shù)學(xué)難點面前只知其然，而不知其所以然.學(xué)生不知道該如何去思考解決問題的方法，思維無法鍛煉，能力難以提升，久而久之則更容易造成難點積少成多，以至于在后繼的學(xué)習(xí)中困難重重.

第二，教學(xué)中過度追求簡單，教師以自己的方式將難點化簡切碎了，再將化簡之后的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)知識與技能用平淡的方式“喂”給學(xué)生，學(xué)生最后輕易地“掌握”了被教師切碎后的“難點”，這一過程看似達(dá)到了學(xué)生理解該知識難點的目標(biāo)，實則忽視了學(xué)生自身思維的發(fā)展以及在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的主體地位，能力同樣無法提升.學(xué)生在完成學(xué)習(xí)任務(wù)后仍處于原有的數(shù)學(xué)能力水平，長此以往更容易使學(xué)生產(chǎn)生思維和學(xué)習(xí)的惰性和依賴性.

在筆者看來，首先，難點是區(qū)分學(xué)生學(xué)習(xí)成績差異的分水嶺，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平和發(fā)展想象力、創(chuàng)造力的機遇.作為教師，我們不能忽視難點對學(xué)生學(xué)習(xí)和發(fā)展的重要性.此外，難點也是影響課堂教學(xué)的有效性的關(guān)鍵因素之一，在數(shù)學(xué)難點的教學(xué)中，應(yīng)該充分尊重學(xué)生的主體地位，盡可能地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探索，突破知識點障礙，而不是用教師自身的思維代替學(xué)生的思維.下面筆者分別以一道數(shù)學(xué)練習(xí)和一個數(shù)學(xué)概念為例，試著對數(shù)學(xué)難點進(jìn)行分析.

二、例談數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中的難點教學(xué)

教師在如此給出這道問題的解答過程后，偶爾還會重點強調(diào)一下，我們在數(shù)學(xué)解題的時候?qū)Υ鷶?shù)式進(jìn)行加一個數(shù)和減一個數(shù)是常用的技巧之類的話語.至于為什么在整個式子前面先要加“1”，然后再減“1”？為什么加和減的數(shù)字是1，而不是其他數(shù)字？教師不做過多講解，甚至無法講解.整個教學(xué)環(huán)節(jié)看似教師達(dá)到了解決問題、突破難點的目標(biāo)，學(xué)生似乎也在為學(xué)會了一種新的解決問題的技巧和套路而驚喜.但是我們回過頭來細(xì)想，在整個教學(xué)環(huán)節(jié)結(jié)束后，學(xué)生到底學(xué)到了什么？教師是否真正有效啟發(fā)了學(xué)生的思維？學(xué)生的思維能力真正得到了提高嗎？是否真正讓學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”得到發(fā)展？

我們都知道數(shù)學(xué)解題教學(xué)的難點在于對解題思路的探尋，但是上述教學(xué)環(huán)節(jié)對解題思路的探索過程卻被蜻蜓點水般的一帶而過，教師甚至強行將自己的思維習(xí)慣施加在學(xué)生的意識中.的確，如此講解例題可能不會引起學(xué)生質(zhì)疑這種方法的科學(xué)性.但是學(xué)生心中那隱約存在的疑惑：“為什么要這樣做？我怎么就想不到這種方法？”這些最能提升學(xué)生思維能力的教學(xué)資源卻被教師的教學(xué)忽略了.直接傳授解題模型和套路，看似學(xué)生達(dá)到了“舉一反三”的水平，實則是“舉三反一”，如此簡單粗暴地對難點視而不見，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力其實并未得到提高.

在筆者看來，我們對該題的講解不妨從數(shù)學(xué)自身發(fā)展史這個角度去思考我們的教學(xué).我們知道幾乎所有的數(shù)學(xué)知識（雖然不是全部知識，但至少是重要的知識）都是由猜想開始然后經(jīng)過證明或反駁而構(gòu)成的.數(shù)學(xué)的歷史也可以說是證明或反駁猜想的歷史.猜想有時由反例否定，有時由新理論給予肯定的證明.[2]面對這道題大多數(shù)學(xué)生最初都處于一籌莫展的狀態(tài)，于是我們可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嘗試和猜想.如何嘗試？如何猜想？如何發(fā)現(xiàn)？我們認(rèn)識事物往往是由事物的部分估計事物的整體，這就是數(shù)學(xué)思想方法中的歸納推理.東北師范大學(xué)史寧中老師也曾經(jīng)說過：“就人對世界的認(rèn)識而言，歸納推理是一種比演繹推理更為‘自然的思維模式.”[3]

于是，首先考慮特殊的情況，從特殊到一般，當(dāng)n=1時，我們可以得出f（1）=1，然后繼續(xù)嘗試可以得到f（2）=5，f（3）=23，f（4）=119，f（5）=719，于是這道題就轉(zhuǎn)化成了一道找1，5，23，119，719，…這些數(shù)字規(guī)律的數(shù)學(xué)練習(xí)題.或許學(xué)生獨自面對這些數(shù)字，難以找出規(guī)律，但是我們可以發(fā)揮學(xué)生集體的智慧，讓學(xué)生之間相互討論，產(chǎn)生思想的交流和碰撞.高中的學(xué)生在經(jīng)歷多次小學(xué)和初中找數(shù)字規(guī)律的訓(xùn)練經(jīng)驗基礎(chǔ)上，會有部分思維活躍的學(xué)生知道2，6，24，120，720，…這些數(shù)字滿足n！的規(guī)律，不難得出答案的猜想應(yīng)該為（n+1）n！-1.

得出猜想后，如果要使得猜想成立就必須驗證猜想是否成立，是否有意義.我們都知道歸納推理有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識，而演繹推理有助于驗證知識.先通過歸納推理發(fā)現(xiàn)命題，再通過演繹推理驗證命題，也符合數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展.那么接下來的問題就是引導(dǎo)學(xué)生運用演繹推理去證明這個猜想，即證明1+2·2！+3·3！+…+n·n！=（n+1）·n！-1，從分析法的角度出發(fā)，學(xué)生應(yīng)該很自覺地想到把等號右邊的“1”轉(zhuǎn)移到等號左邊，這就是我們之前為什么要先加“1”后減“1”以及加的數(shù)字為什么是“1”的原因，接下來讓學(xué)生自行證明1+1+2·2！+3·3！+…+n·n！=（n+1）·n！也不是一件難事.在問題解決后，教師不妨再引導(dǎo)將利用答案f（n）=（n+1）n！-1驗算f（1）=1，f（2）=5，f（3）=23，f（4）=119，f（5）=719或者將n賦予其他的值.這樣我們的思維又變成了從一般轉(zhuǎn)回到了特殊的過程.如此還可以教育學(xué)生用辯證的眼光看數(shù)學(xué)，看世間事物.

上述教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計，不僅調(diào)動了學(xué)生思維的主動性和積極性，更讓學(xué)生掌握了探索知識的基本思維過程，即嘗試、歸納、猜想、驗證.因此，從這個角度看，我們數(shù)學(xué)教師有必要學(xué)習(xí)有關(guān)猜想和發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，掌握正確的猜想、發(fā)現(xiàn)和證明的基本方法.

三、例談數(shù)學(xué)知識教學(xué)中的難點教學(xué)

下面我們再以函數(shù)的單調(diào)性的概念教學(xué)為例談?wù)剶?shù)學(xué)難點的教學(xué).函數(shù)的單調(diào)性概念的本質(zhì)主要有兩個方面——“形”的變化和“數(shù)”的表達(dá)，整個概念的教學(xué)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象從現(xiàn)實到數(shù)學(xué)的過程，前者為數(shù)學(xué)抽象的第一階段，即基于現(xiàn)實到數(shù)學(xué)概念的抽象，是從感性具體上升到理性具體思維的過程；后者為數(shù)學(xué)抽象的第二階段，即基于數(shù)學(xué)邏輯的抽象，它使我們的數(shù)學(xué)概念符號化、形式化和公理化，這是從理性具體到理性一般的過程.第一次抽象體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，第二次抽象體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn).筆者聽過許多教師和師范生教學(xué)函數(shù)的單調(diào)性的概念時都或多或少存在一些問題.

首先，在函數(shù)單調(diào)性“形”的變化上，從函數(shù)圖像抽象出單調(diào)性的本質(zhì)“y隨x的增大而增大（或減?。钡慕虒W(xué)過程中，根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段論來說，高中生已經(jīng)具備了一定的經(jīng)驗型邏輯運算能力，能用自己的語言描述一個量隨另一個量的變化趨勢，也就是說學(xué)生已經(jīng)具備獨立完成從感性具體到理性具體的過渡能力，能抽象出函數(shù)單調(diào)性變化趨勢的本質(zhì)；而且高中生對這一性質(zhì)并不陌生，在初中學(xué)生們都已經(jīng)涉及這一變化特性.所以，這一“難點”對學(xué)生來說并沒多大障礙.然而，隨著現(xiàn)代教育工具的快速發(fā)展，許多教師過分追求教育工具對課堂教學(xué)帶來的美化效果，這就使得這一“難點”過分直觀化和形象化，以此來彰顯自己的“教學(xué)藝術(shù)”和計算機操作水平.其結(jié)果看似減輕學(xué)生思維負(fù)擔(dān)，突破學(xué)生思維障礙，卻無形之中剝奪了學(xué)生展開思維想象的機會.

多媒體和實體演示雖能幫助學(xué)生思考，看似降低了認(rèn)知難度，但同時也代替了學(xué)生思考，無形之中占用了學(xué)生獨立思考自身通過努力能解決問題的資源和機遇，整個概念的抽象概括過程完全被教師和教師的教學(xué)工具所包辦，數(shù)學(xué)難點的價值也喪失殆盡.心理學(xué)研究也表明：過分地依賴直觀形象材料，把一切抽象問題都形象化，不利于學(xué)生思維從抽象到具體的，從感性到理性的過渡.

其次，我們都知道高中函數(shù)單調(diào)性最大的難點在于把概念本質(zhì)“y隨x的增大而增大（或減?。庇脟?yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言和符號描述的過程，即數(shù)學(xué)的第二次抽象過程.然而，筆者觀摩大量公開課發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)教師都把這一難點所經(jīng)歷的障礙全給學(xué)生鋪平，學(xué)生不費吹灰之力地跟著教師的思維完成了這個概念的形成過程.這種方式固然使學(xué)生認(rèn)識函數(shù)單調(diào)性，然而在整個過程中學(xué)生沒有主動參與和經(jīng)歷數(shù)學(xué)形成過程，也沒有體驗整個數(shù)學(xué)形成過程中的各種情感.最后也只是單純地掌握了單調(diào)性的定義，增長了數(shù)學(xué)知識.至于學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，仍然停留在原有的基礎(chǔ)上.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（征求意見稿）》中在以前的基礎(chǔ)上再次提出了“四基”，即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗.在實際教學(xué)中，如果我們能讓學(xué)生自己去探究，適當(dāng)?shù)亓粝码y點“空白”讓學(xué)生去探索發(fā)現(xiàn)突破，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識形成過程中的各個階段和情感，那么筆者相信學(xué)生不僅在數(shù)學(xué)知識上得到提升增長，更能使數(shù)學(xué)能力得到鍛煉，還能感受來自數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探索過程中不同的數(shù)學(xué)情感，培養(yǎng)學(xué)生不屈不撓、敢于克服困難的生活態(tài)度.

四、數(shù)學(xué)難點教學(xué)的建議

在筆者看來，數(shù)學(xué)難點教學(xué)中不僅要考慮突破難點的方法，更重要的是考慮到突破難點的效果.所以，筆者試著對數(shù)學(xué)難點的教學(xué)提出如下建議與讀者共勉.

（一）重視難點，正視難點

數(shù)學(xué)難點經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識綜合、思想方法豐富的地方，所以數(shù)學(xué)教學(xué)中合理引導(dǎo)學(xué)生突破難點是提升學(xué)生思維能力的契機.教師應(yīng)該把數(shù)學(xué)難點視為鍛煉學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生能力、提升學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的不可多得的資源來看待.

（二）學(xué)生主體，教師引導(dǎo)

教師必須要突出學(xué)生在難點探究中的主體地位，不輕易揭示方法和答案，給學(xué)生提供充分的思考時間和空間.教師也需要在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，適當(dāng)?shù)卦O(shè)置障礙，對難點適當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn).

（三）把握時機，循序漸進(jìn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》要求：“教材的呈現(xiàn)應(yīng)為引導(dǎo)學(xué)生自主探索留有比較充分的空間，有利于學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等過程.”[4]孔子也曾經(jīng)說過：“不憤不啟，不悱不發(fā).”所以，教師不要急于越位“開講”，化解難點，使學(xué)生輕易突破；應(yīng)將難點留給學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)行自主探究，把握學(xué)生興趣產(chǎn)生時的最佳動機，待到學(xué)生思維無法前行時，再適度引導(dǎo)、點撥，形成有效遷移.

【參考文獻(xiàn)】

[1]韓飛.高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)難點突破的路徑[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)：教師教育，2015（8）：30.

[2]吳東興.數(shù)學(xué)猜想與歸納[J].江西教育學(xué)院學(xué)報，1985（2）：30-32.

[3]史寧中.數(shù)學(xué)思想概論·第4輯·數(shù)學(xué)中的歸納推理[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2015.

[4]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.