周波

摘 要：基于MPCK視角下的“函數(shù)概念”教學(xué)，旨在透過MK、PK、CK、TK四個(gè)維度整合教學(xué)。從引入函數(shù)概念的必要性入手，經(jīng)歷概念形成的過程，通過學(xué)生對(duì)概念的仔細(xì)判斷、邏輯分析、概括推理，并最終歸納得出概念，并能通過概念解決相關(guān)問題。再進(jìn)一步挖掘函數(shù)概念的內(nèi)涵與外延，讓學(xué)生真正理解函數(shù)概念的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的教學(xué)情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

關(guān)鍵詞：MPCK；函數(shù)概念；啟示

數(shù)學(xué)概念是客觀對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式本質(zhì)屬性的反映，它的產(chǎn)生與發(fā)展來源于生活實(shí)際，并最終應(yīng)用于生活實(shí)際。2016年3月筆者參加了貴州省省級(jí)重點(diǎn)課題《基于MPCK視角下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐研究》的研究。通過MPCK理論（MPCK（數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)）是由MK（數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)）、PK（一般教學(xué)法知識(shí)）、CK（有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)）以及TK（教育技術(shù)知識(shí)）融合而成，其本質(zhì)是教師如何將數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)）的學(xué)習(xí)，筆者認(rèn)為在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，教師可從MK、PK、CK、TK四個(gè)維度開展教學(xué)，讓學(xué)生從理解概念引入的必要性入手，通過相應(yīng)的教學(xué)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的發(fā)展過程；讓學(xué)生再進(jìn)一步對(duì)概念仔細(xì)判斷，邏輯分析，概括推理，并最終歸納得出概念，并能通過概念解決相關(guān)問題。

一、基于MPCK視角下“函數(shù)概念”的認(rèn)識(shí)

1.MK維度下的函數(shù)概念教學(xué)

從MK的視角出發(fā)，首先，教師要準(zhǔn)確把握教學(xué)大綱，知道函數(shù)概念在高中數(shù)學(xué)中的地位，弄清函數(shù)概念發(fā)展的歷史，明白用集合論定義函數(shù)概念的必要性；其次，教師要幫助學(xué)生從教材實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型；再次，教師要指導(dǎo)學(xué)生深度挖掘函數(shù)概念的內(nèi)涵與外延，從中體會(huì)概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法；最后，教師對(duì)概念之間的聯(lián)系以及整個(gè)數(shù)學(xué)概念體系要有全方位的了解，幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

2.PK維度下的函數(shù)概念教學(xué)

基于PK視角下的高中函數(shù)概念教學(xué)。首先，教師通過教材上的三個(gè)實(shí)例將概念融入現(xiàn)實(shí)生活中，提高學(xué)生建立函數(shù)模型的能力；其次，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性，幫助學(xué)生從對(duì)概念的感性認(rèn)識(shí)過渡到本質(zhì)認(rèn)識(shí)；再次，教師在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)概念本質(zhì)屬性后，要讓學(xué)生能夠敘述出具體的概念內(nèi)容，在學(xué)生敘述的基礎(chǔ)上，教師對(duì)概念進(jìn)行提煉，幫助學(xué)生由表象層面過渡到概念層面；再者，要和初中函數(shù)概念進(jìn)行對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的集合語言敘述函數(shù)概念，并能用規(guī)范的符號(hào)語言表示函數(shù)概念；最后，就是強(qiáng)化對(duì)函數(shù)概念的深層次認(rèn)識(shí)，識(shí)別函數(shù)概念的易錯(cuò)點(diǎn)和易混點(diǎn)，防止學(xué)生對(duì)概念一知半解。

3.CK維度下的函數(shù)概念教學(xué)

CK視角下的高中函數(shù)概念教學(xué)，教師要從各個(gè)測(cè)度了解所教學(xué)生的學(xué)習(xí)力和學(xué)習(xí)水平，以便在備課時(shí)真正把握學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)和思維水平，避免盲目拔高知識(shí)的難度和深度。在教學(xué)時(shí)，要對(duì)課堂可能出現(xiàn)的問題作必要的預(yù)設(shè)，要根據(jù)學(xué)生的反饋情況適時(shí)進(jìn)行教學(xué)策略的調(diào)整。課堂練習(xí)題的設(shè)計(jì)要有梯度，具有解決學(xué)生易錯(cuò)、易混淆問題的功能。此外，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，除教知識(shí)內(nèi)容外，還要幫助學(xué)生提升自信，提高學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的能力。

4.TK維度下的函數(shù)概念教學(xué)

TK視角下的高中函數(shù)概念教學(xué)，可以通過多媒體、微課等現(xiàn)代化的教學(xué)手段進(jìn)行教學(xué)，比如可以制作函數(shù)概念發(fā)展史的微課，在得出函數(shù)的概念后播放，讓學(xué)生了解函數(shù)概念的形成過程、“函數(shù)”一詞的由來等等，旨在幫助學(xué)生更直觀地了解函數(shù)概念的形成過程，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化方面的知識(shí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、基于MPCK視角下“函數(shù)概念”的解讀

1.情境引入

在引入函數(shù)（人教A版高中數(shù)學(xué)必修1）概念時(shí)，首先教師開門見山地提出本節(jié)課的中心話題——函數(shù)，本節(jié)課的重點(diǎn)也就是理解并掌握函數(shù)的概念。函數(shù)在初中己經(jīng)學(xué)過，學(xué)過的具體函數(shù)有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)，接著提出問題：在初中己經(jīng)學(xué)習(xí)過“函數(shù)”，你能敘述一下初中函數(shù)的概念嗎？關(guān)鍵詞有哪些？引導(dǎo)學(xué)生小組交流思考，鼓勵(lì)學(xué)生積極表達(dá)自己的觀點(diǎn)，最后總結(jié)得出初中函數(shù)的概念，并對(duì)概念進(jìn)行簡(jiǎn)要解讀。

通過課本三個(gè)實(shí)例：“炮彈發(fā)射距離”“臭氧層空洞面積”“我國(guó)城市居民恩格爾系數(shù)變化情況”，讓學(xué)生根據(jù)課本設(shè)計(jì)的問題進(jìn)行回答，學(xué)生在回答過程中，教師要認(rèn)真傾聽，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并糾正學(xué)生在表達(dá)上的不當(dāng)之處，適時(shí)給予學(xué)生恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)。在完成三個(gè)實(shí)例教學(xué)之后，讓學(xué)生找出其內(nèi)在聯(lián)系，最后師生一起歸納得出函數(shù)概念。

通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行解讀、思考和討論，形成對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的正確認(rèn)識(shí)和把握。學(xué)會(huì)用函數(shù)符號(hào)表示函數(shù)，教師要透徹地給學(xué)生講清楚函數(shù)符號(hào)的意義。另外通過觀看微課，讓學(xué)生了解函數(shù)概念的歷史演變過程，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)史知識(shí)，啟發(fā)學(xué)生課后進(jìn)一步搜集數(shù)學(xué)家們對(duì)函數(shù)的定義。讓學(xué)生感受到：自己對(duì)函數(shù)概念的疑惑之處，也正是當(dāng)初數(shù)學(xué)家們所經(jīng)歷過的。這樣可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和信心，并感受數(shù)學(xué)家對(duì)待科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)、追求完美的高貴品質(zhì)。

2.數(shù)學(xué)理解

函數(shù)概念是比較抽象的，要深刻認(rèn)識(shí)概念的內(nèi)涵與外延，必須引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞與關(guān)鍵語句，以及概念中容易產(chǎn)生誤解的地方。因此，教師可以根據(jù)函數(shù)概念提出如下問題：在函數(shù)概念中，你認(rèn)為哪些是關(guān)鍵詞？如何理解這個(gè)概念呢？

經(jīng)過和學(xué)生的對(duì)話與交流，總結(jié)出概念中需要注意的地方：

（1）A，B是非空數(shù)集，即函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的對(duì)應(yīng)，并且函數(shù)的定義域不能為空集。

（2）對(duì)應(yīng)關(guān)系與唯一確定。比如，集合A={1，4，9}，B={±1，±2，±3}，對(duì)應(yīng)關(guān)系是開平方，這種對(duì)應(yīng)是不是函數(shù)？為什么？再如，A={±1，±2，±3}，B={1，4，9，16}，對(duì)應(yīng)關(guān)系是平方，這種對(duì)應(yīng)是不是函數(shù)？為什么？結(jié)合教師給的實(shí)例，通過生生交流的方式，讓學(xué)生反復(fù)對(duì)概念進(jìn)行推敲和識(shí)別，并最終達(dá)成共識(shí)。第一個(gè)例子不是函數(shù)，因?yàn)榧螦中的任意一個(gè)元素在集合B中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的概念；而第二個(gè)例子是函數(shù)，因?yàn)榧螦中的任意一個(gè)元素在集合B中都只有唯一一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)的概念?！拔ㄒ淮_定”即是說，允許“多對(duì)1，1對(duì)1”，但不允許“1對(duì)多”。A中的每一個(gè)數(shù)都要用到，但集合B中的數(shù)不需要全用到。所以，集合B中可以有多余元素，即值域是集合B的子集。通過這種正反例的教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)易混易錯(cuò)之處有了更深刻的理解與把握。

三、基于MPCK視角下的“函數(shù)概念”教學(xué)啟示

1.教師要不斷加強(qiáng)反思和學(xué)習(xí)，以形成自己的MPCK

正如葉瀾老師所說：一個(gè)教師寫一輩子教案不一定成為名師，如果一個(gè)教師堅(jiān)持寫三年的教學(xué)反思，有可能成為名師。的確，教學(xué)反思對(duì)一線教師來說，它是提高教師教學(xué)水平和教學(xué)效果的有力武器。教學(xué)反思可以幫助我們從每堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)方式、教學(xué)過程和教學(xué)效果當(dāng)中發(fā)現(xiàn)自身教學(xué)中存在的不足和需要改進(jìn)的地方，并針對(duì)具體情況提出改進(jìn)的方案，通過日復(fù)一日的教學(xué)反思，可以快速提升自身的PCK水平和教學(xué)效果。

好的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅需要過硬的MK，更需要良好的PCK，這已是不爭(zhēng)的事實(shí)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師對(duì)某一概念、定理不但要知其然，更重要的是知其所以然。為了使學(xué)生更準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念、定理，教師要站在學(xué)生的立場(chǎng)，通過恰當(dāng)?shù)姆绞较驅(qū)W生表征概念，能夠讓學(xué)生以最恰當(dāng)?shù)姆绞嚼斫夂桶盐崭拍畹男纬蛇^程及其本質(zhì)特征。要達(dá)到這一目標(biāo)，需要教師在豐富自己MK的同時(shí)，不斷學(xué)習(xí)教育教學(xué)理論知識(shí)，學(xué)習(xí)優(yōu)秀教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以拓寬自己的知識(shí)視野，豐富自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以便更好地在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)展和完善自身的MPCK，從而更進(jìn)一步提升自己的MPCK發(fā)展水平。

2.教材內(nèi)容的挖掘與豐富

教材是教學(xué)的第一資源，因此，教師要深入研讀教材，勤于鉆研教材，深刻領(lǐng)會(huì)課程標(biāo)準(zhǔn)，并對(duì)教材資源進(jìn)行合理的加工與整合，拓寬教學(xué)的渠道，豐富教材的意義，以彌補(bǔ)教材的缺陷。這樣能更好地促進(jìn)學(xué)生的有效學(xué)習(xí)，推動(dòng)教師的專業(yè)發(fā)展。教師尤其要注意在這一過程中教師對(duì)教材知識(shí)的挖掘要以學(xué)生的理解為基礎(chǔ)，不能盲目拔高知識(shí)的難度和廣度，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行合理整合。

概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重難點(diǎn)，在實(shí)際教學(xué)過程中，教師要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)概念不是枯燥乏味的，每個(gè)概念的形成和發(fā)展都是經(jīng)過千百年的演變而形成的，里面有著豐富的數(shù)學(xué)史知識(shí)，蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想和方法。因而教師自身要不斷發(fā)展和豐富自己的MPCK知識(shí)，在數(shù)學(xué)核心知識(shí)和思想方法方面下功夫，不斷學(xué)習(xí)和研究，才能有更多的涉獵，才能更好地為教學(xué)服務(wù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]李渺.數(shù)學(xué)專業(yè)師范生MPCK發(fā)展“五部曲”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013.

[2]李渺.MPCK視角下的“一次函數(shù)與一次不等式”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2011.