江蘇省無(wú)錫市大橋?qū)嶒?yàn)學(xué)校 (214000)

吳 燕

江蘇省無(wú)錫市青山高級(jí)中學(xué) (214000)

張啟兆

解析幾何一輪復(fù)習(xí)中的難點(diǎn)教學(xué)的思考

江蘇省無(wú)錫市大橋?qū)嶒?yàn)學(xué)校 (214000)

吳 燕

江蘇省無(wú)錫市青山高級(jí)中學(xué) (214000)

張啟兆

高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)是整個(gè)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)，一輪復(fù)習(xí)以教材的知識(shí)體系作為復(fù)習(xí)的主要線索，幫助學(xué)生對(duì)學(xué)過(guò)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行全面的梳理，并對(duì)基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)、歸納，從而初步構(gòu)建高中數(shù)學(xué)的網(wǎng)絡(luò).解析幾何是歷年高考必考的知識(shí)點(diǎn)之一.然而學(xué)生在解析幾何學(xué)習(xí)中存在一系列難點(diǎn)：一是對(duì)解析幾何中的基本概念與基本公式理解不深刻；二是對(duì)平面解析幾何的基本思想理解不到位；三是代數(shù)運(yùn)算能力弱.本文談?wù)剬?duì)解析幾何一輪復(fù)習(xí)中難點(diǎn)的教學(xué)的實(shí)踐與思考.

1.實(shí)行問(wèn)題導(dǎo)思，激活知識(shí)梳理

一輪復(fù)習(xí)不是對(duì)已學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù)和強(qiáng)化，而是一個(gè)再學(xué)習(xí)、提高綜合運(yùn)用能力的過(guò)程.對(duì)于高三復(fù)習(xí)課，如何梳理基礎(chǔ)知識(shí)是高三數(shù)學(xué)老師必須解決的第一個(gè)問(wèn)題，我們的做法是：實(shí)行問(wèn)題導(dǎo)思，激活知識(shí)梳理，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò).課前，首先，教師要合理設(shè)計(jì)問(wèn)題，然后提供知識(shí)復(fù)習(xí)整理提綱(學(xué)案)，學(xué)生課前閱讀課本，這樣可以提高學(xué)生對(duì)課本知識(shí)和概念的參與度，避免課堂教學(xué)中因復(fù)習(xí)知識(shí)而占用大量的時(shí)間.接著，學(xué)生將課本中知識(shí)點(diǎn)整理到學(xué)案上進(jìn)行理解和記憶，教師課前檢查，目的是強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和概念的記憶，為后面的學(xué)習(xí)提供集中、全面的基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)材料.最后，教師將教學(xué)目的分解，以知識(shí)為線索編制4-5個(gè)題目，直接體現(xiàn)本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，學(xué)生獨(dú)立完成，要求題后總結(jié)所用知識(shí)點(diǎn)或方法，教師檢查，目的是不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和概念的應(yīng)用.

案例1 “拋物線”的教學(xué)片段.

課前筆者根據(jù)蘇教版2012年第三版第52頁(yè)內(nèi)容提出了下面的問(wèn)題：

圖1 圖2 圖3

設(shè)拋物線的軸和它的準(zhǔn)線交于點(diǎn)E，過(guò)焦點(diǎn)垂直于軸的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，如圖1所示.求證：EP⊥EQ.

經(jīng)過(guò)短暫的思考，筆者與學(xué)生進(jìn)行了以下交流：

教師：大家準(zhǔn)備從哪個(gè)角度來(lái)解決問(wèn)題，是幾何角度(即幾何綜合證明)還是代數(shù)角度(即通過(guò)計(jì)算來(lái)證明)？

學(xué)生：我準(zhǔn)備從代數(shù)角度，通過(guò)計(jì)算兩直線的斜率之積為-1.

教師：從代數(shù)角度是合適的，因?yàn)榻馕鰩缀蔚幕舅枷胧怯么鷶?shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題.

教師：從代數(shù)角度首先要做什么工作？

學(xué)生：建立平面直角坐標(biāo)系.

教師：你準(zhǔn)備怎樣建？

學(xué)生：以拋物線的軸為x軸，以線段EF的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，如圖2.

教師：拋物線的方程是什么？對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程呢？

教師：你設(shè)的方程中p有什么幾何意義？

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)：“一個(gè)專心且認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個(gè)有意義的但不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門(mén)戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”以問(wèn)題為載體梳理知識(shí)框架的好處在于既能達(dá)成系統(tǒng)梳理知識(shí)的目標(biāo)，又能以問(wèn)題為中心吸引學(xué)生積極參與其中，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，改變課堂上被動(dòng)接受的狀態(tài).

2.落實(shí)“四個(gè)重點(diǎn)”，打造靈動(dòng)課堂.

課堂是教學(xué)的主陣地，高效課堂是實(shí)現(xiàn)高效教學(xué)的必要條件.高三一輪復(fù)習(xí)的課型主要是專題復(fù)習(xí)課和講評(píng)課，不管哪種課型，積極落實(shí)“四個(gè)重點(diǎn)”，打造靈動(dòng)課堂，努力使學(xué)生對(duì)平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想理解到位、代數(shù)運(yùn)算能力的提高到位.

2.1 重基礎(chǔ)，通概念，培養(yǎng)學(xué)生理解能力；

解析幾何的核心觀點(diǎn)就是恰當(dāng)運(yùn)用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，基本思想是數(shù)形結(jié)合思想，核心方法是坐標(biāo)法.數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法是統(tǒng)領(lǐng)全局的，解析幾何就是在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題的一門(mén)學(xué)科.

用解析法研究幾何圖形的性質(zhì)，須先將幾何圖形置于坐標(biāo)系下，讓“形”與“數(shù)”對(duì)應(yīng)起來(lái)，將“形”進(jìn)行翻譯轉(zhuǎn)化：把點(diǎn)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)、把曲線轉(zhuǎn)化為方程，把題目中明顯的或隱含的解題所需要的一切幾何特征，用數(shù)式和數(shù)量關(guān)系表示出來(lái).

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

根據(jù)以上問(wèn)題的求解過(guò)程，填寫(xiě)下表：

幾何條件本質(zhì)特征轉(zhuǎn)化成適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)關(guān)系(ⅰ)BE=BF等腰三角形，三線合一kEFkBN=-1(其中N是EF的中點(diǎn))(ⅱ)∠EAF的角平分線是x軸直線AE、AF關(guān)于x軸對(duì)稱kAE+kAF=0(ⅲ)以線段OE、OF為鄰邊作平行四邊形OEFP，頂點(diǎn)P在橢圓C上OE→+OF→=OP→xP=xE+xFyP=yE+yF{(ⅳ)若以EF為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)OE⊥OFOE→·OF→=0xExF+yEyF=0(ⅴ)直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形直線MA、MB關(guān)于x=xM對(duì)稱kMA+kMB=0

通過(guò)這道例題，在不同問(wèn)題情境中概括總結(jié)“幾何條件轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系”的核心方法：分析幾何條件的本質(zhì)特征，選擇適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式來(lái)表示.這種意識(shí)再提高就是“從現(xiàn)象到本質(zhì)，抓住事物的本質(zhì)認(rèn)識(shí)事物”.常見(jiàn)的幾何關(guān)系與幾何特征的代數(shù)化有：①線段的中點(diǎn)：坐標(biāo)公式；②線段的長(zhǎng)：弦長(zhǎng)公式；③三角形面積： 底×高，正弦定理面積公式；④夾角：向量夾角；兩角差正切；余弦定理；正弦定理面積公式；⑤面積之比，線段之比：面積比轉(zhuǎn)化為線段比，線段比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)差之比；⑥三點(diǎn)共線：利用向量或相似轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)差之比；⑦垂直平分：兩直線垂直的條件及中點(diǎn)坐標(biāo)公式；⑧點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，直線關(guān)于直線對(duì)稱；⑨直線與圓的位置關(guān)系；⑩等腰三角形，平行四邊形，菱形，矩形，正方形，圓等圖形的特征.

要防止一種誤區(qū)：基礎(chǔ)題不講，追求難題，背概念或公式，不提知識(shí)如何生成.教師應(yīng)重視常規(guī)基礎(chǔ)題的練習(xí)，從不起眼的解題細(xì)節(jié)抓起，利用“三種意識(shí)”打通解析幾何的思路，夯實(shí)學(xué)生的基本知識(shí)和技能，提高學(xué)生的理解能力，才能解決更難的問(wèn)題.

2.2 重過(guò)程，通思維，培養(yǎng)學(xué)生分析能力

面對(duì)問(wèn)題，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷審題、思考、解決、出現(xiàn)錯(cuò)誤、修改、調(diào)整方案等一系列過(guò)程，在每個(gè)環(huán)節(jié)都會(huì)出現(xiàn)疑惑、糾結(jié)，而經(jīng)過(guò)思考、實(shí)踐產(chǎn)生的糾結(jié)也恰恰是解題能力提高的一個(gè)增長(zhǎng)點(diǎn).教學(xué)中我們要重視過(guò)程，做到：①要合理展示教師的思維過(guò)程.學(xué)生的思維往往是在模仿教師的思維中逐漸形成的，所以教師在課堂教學(xué)時(shí)應(yīng)注意思維形式的“顯化”.教師要盡量設(shè)法使學(xué)生看到，面對(duì)一個(gè)新問(wèn)題，自己是怎樣尋求解決思路的？其依據(jù)是什么？特別是在思路受阻后是如何調(diào)整思路的？為什么這樣調(diào)整？等.千萬(wàn)不要給學(xué)生造成這樣的錯(cuò)覺(jué)：老師很神，無(wú)論問(wèn)題多難都能迎刃而解.要讓學(xué)生在“跟隨教師的思維過(guò)程”中學(xué)會(huì)思維，讓數(shù)學(xué)變得自然.②要充分展示學(xué)生的思維過(guò)程.課堂教學(xué)中應(yīng)給學(xué)生充分暴露和展示思維過(guò)程的機(jī)會(huì)，傳統(tǒng)教學(xué)中的口頭提問(wèn)、板演等都是展示學(xué)生思維的方式.只有這樣我們才能及時(shí)地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維“閃光點(diǎn)”和存在的問(wèn)題，并肯定正確、矯正錯(cuò)誤，才能讓學(xué)生在“過(guò)程”中有效地習(xí)得方法、達(dá)成技能、發(fā)展思維、建立思想、形成能力.

案例3 試卷講評(píng)片段.

(2)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，且3y1+y2=0，求當(dāng)ΔOBC面積最大時(shí)，直線l的方程.

教師：這道題你是怎樣思考的？先分析第(1)小題.

圖4

學(xué)生：由于本題沒(méi)有給圖，所以在讀題時(shí)應(yīng)該在草稿紙上先畫(huà)個(gè)圖(如圖4)，再?gòu)哪繕?biāo)出發(fā):要求ΔOBC面積的最大值，可以建立目標(biāo)函數(shù)，設(shè)直線BC的方程為y=kx+b，把直線與橢圓方程聯(lián)立，求出弦BC的長(zhǎng)，再求出點(diǎn)O到直線BC的距離，我忘記討論直線BC的斜率是否存在，被扣分了.

教師：這位同學(xué)的解題思路是常規(guī)方法，值得表?yè)P(yáng).如何表示ΔOBC面積是求解本題的關(guān)鍵，那么ΔOBC的面積還有其他表示方法嗎？

學(xué)生：由于ΔOBC中，OB是定長(zhǎng)，故以O(shè)B為底邊，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C到直線OB的距離的最大值.

教師：結(jié)合圖形和已知條件，選擇合適的解題路徑，可以簡(jiǎn)化解析幾何的運(yùn)算.

教師：下面我們請(qǐng)你談?wù)剬?duì)第(2)小題思考過(guò)程.

學(xué)生：我是仿照第(1)小題，設(shè)直線BC的方程為y=kx+b，把直線與橢圓方程聯(lián)立，求出弦BC的長(zhǎng)，……，然后做不下去了.

教師：那么ΔOBC的面積還有其他表示方法嗎？

學(xué)生：把ΔOBC分割成便于表示底邊與高的兩個(gè)三角形求面積(BC與y軸交于點(diǎn)A)，SΔOBC=SΔABO-SΔACO.

教師：這個(gè)思路值得大家借鑒，接下來(lái)請(qǐng)你嘗試做一下.

……

教師：下面請(qǐng)哪位同學(xué)和大家分享一下解題過(guò)程.

……

2.3 重訓(xùn)練，通算理，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力

如何來(lái)提高學(xué)生的運(yùn)算能力，我們?cè)谡n堂教學(xué)中做到以下四個(gè)方面：①要讓學(xué)生準(zhǔn)確理解和掌握基礎(chǔ)知識(shí)、公式和法則.②注重學(xué)生基本運(yùn)算技能的培養(yǎng)，課堂上要留出一定時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂訓(xùn)練.③注重?cái)?shù)學(xué)思想方法與運(yùn)算技能的有機(jī)結(jié)合.運(yùn)算能力發(fā)展到一定的水平，即形成了運(yùn)算的基本方法和技能，此時(shí)還需不斷運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，如運(yùn)算中的轉(zhuǎn)化意識(shí)，將要計(jì)算的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題，這也是運(yùn)算能力的一個(gè)重要組成部分.④重視算理算法，加強(qiáng)限時(shí)計(jì)算.注重積累，優(yōu)化解題方法.教學(xué)中需要對(duì)學(xué)生的解題方法進(jìn)行梳理、改造，讓學(xué)生明白每一種方法的優(yōu)點(diǎn)(適用面)和缺點(diǎn)(不適用面)，從而在解題時(shí)根據(jù)具體情況，選擇有效、便捷的方法解決問(wèn)題.

比如，要兩手抓：一手抓基礎(chǔ)：基本概念、基本方法、常見(jiàn)問(wèn)題，“弦長(zhǎng)公式”，“圖形面積的計(jì)算”，“軌跡方程”，“定點(diǎn)定值——先猜后證”，“最值問(wèn)題——目標(biāo)函數(shù)”，“存在性問(wèn)題——從特殊出發(fā)”，運(yùn)算基本功.一手抓思考：知其然更需知其所以然，帶著思考去解題而不是帶著套路去解題；幫助學(xué)生掌握處理解析幾何問(wèn)題的一般思維方法；給學(xué)生以“鍛煉”思維的機(jī)會(huì).

圖5

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)A作AP∥OM交橢圓C于點(diǎn)P，求證：BP∥ON.

(2)教師：談?wù)勀銓?duì)第(2)小題的理解，問(wèn)題出在哪里？

學(xué)生：題目問(wèn)題為求證：BP∥ON，但是我找不到所需證明的等價(jià)代數(shù)條件，因此無(wú)從下手.

教師：對(duì)于本題而言，需求證結(jié)論看起來(lái)確實(shí)突兀，我們來(lái)挖掘題目已有信息.

教師：題目中的條件AP∥OM意味著什么？

學(xué)生：意味著kAP=kOM.

教師：很好！因此，要驗(yàn)證kBP=kON,除了直接計(jì)算外，還可以如何進(jìn)行驗(yàn)算？學(xué)生有所悟，但不是十分明確，教師進(jìn)行第二次引導(dǎo).

對(duì)于圓而言，在圓周上找一點(diǎn)P與兩點(diǎn)A,B連線斜率乘積為定值-1，即kAP·kBP=-1.對(duì)于橢圓而言，是否有相似結(jié)論？

教師：對(duì)本題而言意味著什么？

教師：很好！對(duì)于本題而言，我們接下來(lái)只需驗(yàn)證什么條件？

教師：我們研究解析幾何問(wèn)題可分為三步：生點(diǎn)、定點(diǎn)、譯點(diǎn).大家如何進(jìn)行這三步？

教師：很好！還有其它思路嗎？

教師：很好！下面請(qǐng)1、2小組按思路1計(jì)算，3、4小組按思路2計(jì)算.

2.4 重小結(jié)，通思想，培養(yǎng)學(xué)生遷移能力

行為派心理學(xué)認(rèn)為，初步形成的行為必須適時(shí)強(qiáng)化，不強(qiáng)化就會(huì)消退.高三復(fù)習(xí)通過(guò)課堂小結(jié)和單元小結(jié)對(duì)知識(shí)概括提煉，有利于學(xué)生建立良好的認(rèn)知圖式，強(qiáng)化知識(shí)，促進(jìn)遷移.通過(guò)知識(shí)間的聯(lián)系把知識(shí)進(jìn)行整合，將難于理解的知識(shí)規(guī)律化，使學(xué)生零散的知識(shí)穿成串，結(jié)成網(wǎng)，變成“集成電路”印在學(xué)生的腦海里.此外，要重視解題過(guò)程中思想方法的提煉與運(yùn)用，如①坐標(biāo)法；②方程思想；③函數(shù)思想；④分類討論；⑤數(shù)形結(jié)合；⑥對(duì)稱思想；⑦參數(shù)思想.

案例5 解析幾何中變量的取值范圍問(wèn)題.

問(wèn)題1 點(diǎn)P是拋物線C:y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R，N在y軸上，圓(x-1)2+y2=1內(nèi)切于ΔPRN，求ΔPRN的面積的最小值.

圖6

待學(xué)生嘗試解決了三個(gè)問(wèn)題后，歸納概括出解決解析幾何中變量的取值范圍(最值)問(wèn)題的常見(jiàn)策略：

3個(gè)問(wèn)題，方法各異，需要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，合理選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑢W(xué)生在方法的比較中領(lǐng)悟各種方法的本質(zhì)及適用的情境，從而實(shí)現(xiàn)突破瓶頸，以不變應(yīng)萬(wàn)變.

總之，在解析幾何一輪復(fù)習(xí)教學(xué)過(guò)程中，教師要以新課標(biāo)理念為指導(dǎo)，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，進(jìn)行單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，重基礎(chǔ)、重過(guò)程、重訓(xùn)練、重小結(jié)，注意站在學(xué)生的角度，想學(xué)生之所想，難學(xué)生之所難，疑學(xué)生之所疑，降低學(xué)生的認(rèn)知難度，把課堂變成師生共同探索發(fā)現(xiàn)、共同提出問(wèn)題、共同解決問(wèn)題的陣地.從而使學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生積極地參與課堂探究活動(dòng)，讓學(xué)生在親身體驗(yàn)中了解數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的興趣，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的方法，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[1]章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013,6.

[2]徐德同.以本為本，合理探究，自然生成，提高復(fù)習(xí)效率[J].數(shù)學(xué)通訊，2014,7.

[3]張啟兆.有意義學(xué)習(xí)：素質(zhì)教育在課堂教學(xué)中的落腳點(diǎn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2000，12.