重慶市榮昌區(qū)大成中學(xué) (402460)

熊福州

從2017年全國(guó)高考題看公式法求空間角的意義

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熊福州

圖1 圖2 圖3

公式①,②形式整齊，便于記憶，利用公式①,②就可不構(gòu)成角計(jì)算出立體幾何中的所有角其中，公式①解決二射線(包括異面射線)角和二面角計(jì)算，公式②專解決線面角計(jì)算，當(dāng)θ1,θ2,θ3,α3有特殊角時(shí)，用公式①,②就更簡(jiǎn)捷，當(dāng)θ1,θ2,θ3,α3有直角時(shí)尤為簡(jiǎn)捷，使用時(shí)根據(jù)公式①,②特別注意首先確定計(jì)算好θ3(去二面角棱射線后的另兩射線角)，再依次計(jì)算出θ1，θ2(二面角棱射線與另兩射線角).

圖1中把AB平移到虛線A1B1(圖2),則θ3就是異面射線A1B1與AC所成的角，異面直線A1B1與AC的夾角余弦值為|cosθ3|=|cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cosα3|.又如圖3，分別在二面角α-MN-β的兩個(gè)半平面內(nèi)的二射線AB,DC,只要知道∠BAD=θ1，∠CDN=θ2(AD為射線方向)，二面角α-MN-β=α3，就可由①計(jì)算出二射線AB,DC所成角的余弦值，這就是說(shuō)，空間二射線角的計(jì)算，除了用正、余弦定理解三角形外，都可用公式①直接計(jì)算，只是必須首先明確二射線分別在哪個(gè)已知二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，再確定二射線與二面角棱射線的角.

例1 (2017年全國(guó)高考卷Ⅱ理10)如圖4，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2,BC=CC1=1為,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為( ).

圖4

例2 (2017年全國(guó)高考卷Ⅲ理16)a,b為空間兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直，斜邊AB以AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論:①當(dāng)直線AB與a成60°時(shí),AB與b成30°；②當(dāng)直線AB與a成60°時(shí),AB與b成60°；③直線AB與a成的最小角為45°；④直線AB與a成的最大角為60°.其中正確的是________(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)).

圖5

例3 (2017年全國(guó)高考卷Ⅲ理19)如圖6,四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD,AB=BD.

圖6

(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；(2)過(guò)AC的平面交BD于E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D-AE-C的余弦值.

圖7

例4 (2017年全國(guó)高考卷Ⅰ理18)如圖7，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.證明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

總之，空間角都有三個(gè)通法，傳統(tǒng)幾何法(好做不好想)，坐標(biāo)向量法(好想不好做)，公式法(熟悉了，既好想又好做).

[1]熊福州.一個(gè)教科書結(jié)論的推廣及其應(yīng)用[J].河北理科教學(xué)研究，2011,4.