安 然，王 敏，梁新剛

(中國空間技術研究院通信衛(wèi)星事業(yè)部,北京 100094)

基于Lyapunov最優(yōu)反饋控制的月球中繼衛(wèi)星轉移軌道設計

安 然，王 敏，梁新剛

(中國空間技術研究院通信衛(wèi)星事業(yè)部,北京 100094)

隨著電推進器及小推力轉移變軌的研究逐漸深入，在深空探測領域應用電推力器是必然的發(fā)展趨勢.文章基于以月球中繼衛(wèi)星的運行軌道地月L2點Halo軌道為目標軌道的軌道轉移任務，采用Lyapunov最優(yōu)反饋控制方法，計算單一軌道根數(shù)的局部最優(yōu)控制率，通過遺傳算法調整五個軌道根數(shù)的權重，得到時間最優(yōu)的月球中繼衛(wèi)星小推力軌道轉移方案，具有工程應用意義.

最優(yōu)控制原理; Lyapunov最優(yōu)反饋控制; 電推進; 小推力變軌; 不變流形

0 引 言

平動點是深空發(fā)展的研究基石，位于平動點附近的周期或擬周期軌道可為多種探測任務或中繼通信任務提供良好的工作場所.在深空探測中，由平動點連接的不變流形可以為深空轉移提供便利的“行星際高速公路”[1].地月L2的(擬)周期軌道是為位于月球背面的探測衛(wèi)星提供通信中繼的最佳場所，地—月L2點位于地月連線，并且一顆星可以實現(xiàn)對月球背面平均87.6%區(qū)域的覆蓋.

在深空探測任務中，采用電推進器小推力發(fā)動機能夠有效地提高探測器的有效載荷質量，但這也對轉移軌道的設計與優(yōu)化提出了新的挑戰(zhàn).由于深空探測的軌道要滿足初始軌道及目標軌道的邊界條件，推進器的推力恒定，推進器的俯仰角及偏航角可以作為控制量，使得小推力轉移軌道的設計與優(yōu)化問題可以歸結為最優(yōu)控制問題[2].

對于基于電推進的平動點軌道轉移任務，需要借助三體模型下平動點軌道的不變流形.不變流形與平動點周期軌道緊密相連，它是一族空間軌道的集合，在空間中形成管狀通道.不變流形分為穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形，穩(wěn)定流形上的質點會自發(fā)地趨近于周期軌道，所以利用穩(wěn)定流形進行軌道轉移可以節(jié)省燃料.通過利用地月L2點飛行軌道的不變流形，航天器在轉移軌道中，只要進入不變流形即可以熄火，所以小推力轉移弧段的末狀態(tài)即為不變流形中任一點的位置與速度.

目前最優(yōu)控制優(yōu)化方法的主要為直接和間接算法[3]，而啟發(fā)控制方法也同樣可以應用在小推力轉移軌道的優(yōu)化上[4-5].這種方法的優(yōu)點是收斂速度快.本文采取了啟發(fā)控制算法中的Lyapunov控制算法，也稱為Q-law算法.通過Lyapunov最優(yōu)反饋控制將小推力轉移優(yōu)化問題轉化成參數(shù)優(yōu)化問題后，通過遺傳算法優(yōu)化小推力轉移的5個權重即可得到時間最優(yōu)的轉移軌道.

1 不變流形設計及計算

由于小推力轉移段的設計末狀態(tài)在不變流形管道中，首先在限制性三體模型下對地月L2點Halo軌道的不變流形進行設計.不變流形與平動點周期軌道緊密相連，它是一族空間軌道的集合，在空間中形成管狀通道.不變流形分為穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形，穩(wěn)定流形上的質點會自發(fā)地趨近于周期軌道[6]，所以利用穩(wěn)定流形進行軌道轉移可以節(jié)省燃料.將Halo軌道上任一不動點積分一個周期后得到的狀態(tài)轉移矩陣稱為單值矩陣，通過計算單值矩陣中小于1的特征值對應的特征向量Vs，得到穩(wěn)定流形[7]，不變流形表達式為

(1)

其中，d為設計參數(shù)，對于月球中繼衛(wèi)星，可取50 km[8].Halo軌道上的不動點通過相位角描述，每一不動點對應兩條不變流形，Halo軌道所有不動點的穩(wěn)定流形及組成了周期軌道的穩(wěn)定流形管道.

圓形限制性三體模型的會合坐標系定義如下：原點O為兩個大天體P1、P2的公共質心，OX軸在兩個大天體P1、P2的連線上，且指向質量較小的天體一側；OZ軸垂直于兩天體的軌道平面，且與兩天體系統(tǒng)角速度的方向一致；OY軸與OX軸、OZ軸構成右手系.其中P3代表飛行器，質量遠遠小于P1及P2的質量.

把會合坐標系中的不變流形轉換到地球J2000慣性坐標系中.在位置轉換時，首先求出飛行器在高精度會合坐標系下相對地球的位置，而后完成高精度星歷會合坐標系向慣性坐標系旋轉，最后將將歸一化單位轉化為國際單位制[9], 得到位置轉換關系：

(2)

式中，x、y、z為飛行器在會合坐標系中的位置坐標，xi、yi、zi為飛行器在地球J2000慣性坐標系中的位置坐標；i、Ω、ω、θ分別代表月球在地球J2000坐標系下的實時軌道傾角、升交點赤經、近地點角距、真近點角.D為圓型限制性三體模型中會合坐標系的歸一化長度單位，S為歸一化地月實時距離.μ為月球相對地月系統(tǒng)的質量占比，λ為歸一化單位下圓形限制性三體模型中L2點的位置.

計算速度轉換時，需要考慮牽連速度及飛行器相對地球的相對速度，再完成坐標系旋轉及單位轉化，得到速度轉換關系

(3)

2 Lyapunov最優(yōu)反饋控制率

2.1 動力學模型

在本文中考慮的動力學模型為軌道根數(shù)動力學模型，考慮月球引力攝動，小推力上升段的軌道動力學方程如下[10]：

(4)

式中，θ為真近點角，p=a(1-e2)為極軸，h為角動量，r=p/(1+ecosθ)，fr,ft,fn分別為中繼衛(wèi)星在徑向、切向、法向上除地球引力的所受力的大小，在模型僅考慮月球攝動力的模型下，為中繼衛(wèi)星所受的月球引力與推力：

(5)

式中，α、β分別為中繼衛(wèi)星推力方向的俯仰角及偏航角，pr、pt、pn分別為月球引力在三方向的分量，月球位置通過高精度月球位置模擬計算得到.

2.2 針對單一軌道根數(shù)的局部最優(yōu)控制率

在小推力轉移段，通過Lyapunov最優(yōu)反饋控制進行軌道優(yōu)化設計.Lyapunov最優(yōu)反饋控制率通過函數(shù)Q表示軌道狀態(tài)與目標軌道的差值關系，即：

(6)

式中，ζ為5個軌道根數(shù)變量，分別為半長軸a，偏心率e，軌道傾角i，升交點赤經a，近地點角距ω，Wζ是 5個軌道根數(shù)的權重，權重要求是始終大于零的值.當飛行器軌道與目標軌道重合時，Lyapunov函數(shù)值將會等于零.h(ζ,ζT)為對特定軌道根數(shù)而言當前軌道根數(shù)值與目標軌道根數(shù)的差值計算，表示為

(7)

(8)

b為常數(shù)，可以取0.01.

(9)

ω的最大變化率只考慮平面內，或只考慮改變平面時的情況.可以求得5個軌道根數(shù)的最大變化率.對于半長軸：

(10)

偏心率:

(11)

軌道傾角:

(12)

升交點赤經:

(13)

平面內的近地點角距變化率:

(14)

其中：

(15)

對平面間的近地點角距：

(16)

2.3 控制策略

Lyapunov函數(shù)對時間的變化率為：

(17)

最優(yōu)推力方向角α,β具有解析表達式，為了表示方便定義5個參數(shù)Ka,Ke,Ki,KΩ,Kω：

(18)

在Ka,Ke,Ki,KΩ,Kω5個參數(shù)中包含了Lyapunov函數(shù)中的5個權重.最優(yōu)推力方向角α,β可以表示為：

(19)

(20)

(21)

通過上述方程可以將最優(yōu)推力方向角轉化成5個軌道根數(shù)的權重，即將Wa,We,Wi,WΩ,Wω作為控制變量，最優(yōu)推力方向通過方程得出，既可以得到轉移軌道所需時間及推進劑與控制變量的非線性關系.通過遺傳算法進行非線性規(guī)劃求解，可以得到使目標量最優(yōu)的控制變量結果.

3 仿真分析

設月球中繼衛(wèi)星質量為2 000 kg，電推進系統(tǒng)的推力設為600 mN，即初始加速度為0.000 3 m/s2時，設定電推進器持續(xù)點火工作，選擇不變流形相位角為160°時的不變流形，選擇如下不變流形中的入口點作為電推進器的熄火點，熄火點的位置與速度為：

R=[1.273 9 0.232 0 0.202 7]×105km
v=[-615.3 1 466.9 586.2] m/s

熄火點的軌道根數(shù)為：

a=1.242 2×105km,e=0.155 9,i=23.78°,
Ω=349.515 7°,ω=141.389°,θ=241.163 7°.

為了減少中繼衛(wèi)星在小推力轉移中的燃料消耗，選擇一條軌道傾角及升交點赤經與熄火點所對應的軌道的軌道傾角及升交點赤經相同的規(guī)定，具體軌道根數(shù)如下：

i=23.78°,Ω=349.515 7°,ω=180°,θ=0°.

表1 最優(yōu)權重Tab.1 Optimal scalar weights

小推力轉移弧段的軌道半長軸、偏心率、軌道傾角及質量等狀態(tài)量隨時間變化如圖4所示.

地球J2000坐標系下的軌道轉移方案如圖5所示：

圖5中，綠色實線代表小推力轉移軌道的初始軌道，藍色實線為小推力轉移弧段，紅色虛線為地球慣性坐標系下的部分不變流形.

當推進裝置采用化學推進器時，飛行器經過兩次脈沖變軌進入不變流形，求解消耗燃料最少的轉移方案，與采用電推進器的轉移方案對比如表2所示：

表2 化學推進器與電推進器轉移最優(yōu)轉移方案對比Tab.2 Comparison of optimal transfer design

4 結 論

本文針對位于地月L2點平動點飛行任務的轉移軌道設計，通過最優(yōu)控制原理中的Lyapunov最優(yōu)反饋控制，求解小推力弧段的最優(yōu)轉移方案.得到飛行器質量為2 t時，從地球大橢圓軌道出發(fā)時的時間最優(yōu)轉移方案并給出中繼衛(wèi)星推力方向的俯仰角及偏航角隨時間的變化關系，為獲得工程上切實可用的月球中繼衛(wèi)星轉移軌道提供了有益借鑒.

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TransferTrajectoryDesignforLunarRelaySatelliteBasedonLyapunovOptimalFeedbackControl

AN Ran, WANG Min, LIANG Xingang

(InstituteofTelecommunicationSatellite,Beijing100094，China)

Electric thruster will play a more and more important role with the development of electric thrusters and low-thrust-based orbital transfer. The transfer trajectory optimal design is focused on for Lunar Relay Satellite, which works on the Halo orbit around translunar Libration point L2. Local optimal control for each of the orbit elements is calculated based on Lyapunov feedback control algorithm, and genetic algorithm is chosen to calculate the scalar weights for five orbit elements of transfer trajectory. The result shows the optimal control strategy of transfer trajectory for Lunar Relay Satellite has important engineering meaning.

optimal control theory; Lyapunov feedback control; electric thruster; low-thrust transfer trajectory; invariant manifolds

2017-03-19

V412.4+1

A

1674-1579(2017)06-0020-05

10.3969/j.issn.1674-1579.2017.06.004

安然(1993—)，女，碩士研究生，研究方向為航天器動力學；王敏(1978—)，男，研究員，研究方向為飛行器總體設計；梁新剛(1979—)，男，高級工程師，研究方向為航天器軌道設計與仿真.