CMGs驅(qū)動(dòng)空間機(jī)械臂的自適應(yīng)終端滑?？刂?/h1>
2018-01-04 07:50夏新會(huì)賈英宏徐世杰
空間控制技術(shù)與應(yīng)用 2017年6期
夏新會(huì)，馮 驍，賈英宏，徐世杰
(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191)
CMGs驅(qū)動(dòng)空間機(jī)械臂的自適應(yīng)終端滑?？刂?/p>
夏新會(huì)，馮 驍，賈英宏，徐世杰
(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191)
針對(duì)V構(gòu)型控制力矩陀螺(CMGs)驅(qū)動(dòng)的空間機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制問題，研究一種自適應(yīng)非奇異終端滑模(ANTSM)控制方法.利用基于Kane方程的遞推組集算法建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型.以跟蹤誤差為變量，構(gòu)造非奇異滑動(dòng)面，以保證跟蹤誤差在滑動(dòng)面上有限時(shí)間收斂.針對(duì)系統(tǒng)質(zhì)量特性參數(shù)與關(guān)節(jié)處干擾力矩的不確定性，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器用以調(diào)節(jié)控制增益.該控制方法無需不確定性的上界，且閉環(huán)系統(tǒng)具有最終一致有界性.仿真結(jié)果表明，該控制器可使系統(tǒng)準(zhǔn)確跟蹤期望軌跡，并對(duì)質(zhì)量特性參數(shù)不確定性和關(guān)節(jié)干擾力矩具有良好的魯棒性.
自適應(yīng)；終端滑模；空間機(jī)械臂；控制力矩陀螺；Kane方程
0 引 言
為增加航天器使用壽命，降低使用成本，空間在軌服務(wù)任務(wù)越來越受到重視[1-2]，而空間機(jī)械臂系統(tǒng)是在軌服務(wù)的主要工具之一，為完成燃料加注、模塊更換等空間操作，空間機(jī)械臂必須進(jìn)行高精度軌跡跟蹤控制.
傳統(tǒng)的空間機(jī)械臂通常采用關(guān)節(jié)力矩驅(qū)動(dòng)器作為執(zhí)行機(jī)構(gòu).各關(guān)節(jié)處的作用力矩/反作用力矩直接作用于關(guān)節(jié)的外接體和內(nèi)接體上，進(jìn)而導(dǎo)致各運(yùn)動(dòng)體之間的動(dòng)力學(xué)耦合十分顯著，對(duì)系統(tǒng)高精度控制不利.為降低系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)耦合，文獻(xiàn)[3-6]中利用CMGs代替關(guān)節(jié)電機(jī)作為空間機(jī)械臂的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，產(chǎn)生的控制力矩并非施加于關(guān)節(jié)處而是直接作用于運(yùn)動(dòng)體上，各關(guān)節(jié)可以自由運(yùn)動(dòng)，因而關(guān)節(jié)處不存在執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶來的作用力矩和反作用力矩，進(jìn)而可大大減小機(jī)械臂與平臺(tái)間的相互擾動(dòng)，但文中所建立的模型均為耦合型模型，即在動(dòng)力學(xué)方程中以顯式形式直接給出各運(yùn)動(dòng)變量的耦合關(guān)系，這樣直接導(dǎo)致仿真中的運(yùn)算量與系統(tǒng)自由度數(shù)成三次方關(guān)系，因此計(jì)算效率很低.為此胡權(quán)等針對(duì)多體系統(tǒng)提出了一種基于Kane方程的新型的自動(dòng)組集算法并應(yīng)用[7-8].
為提高空間機(jī)械臂的性能，大批研究人員提出了針對(duì)不同任務(wù)和情況的控制算法.趙楠等[9]和賈英宏等[10]研究了基于三自由度球鉸連接的機(jī)械臂系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制方法，但并沒有考慮系統(tǒng)的不確定因素，如未知的外界擾動(dòng)、慣量參數(shù)的不確定性以及非線性不確定性等.針對(duì)系統(tǒng)的不確定因素，滑模變結(jié)構(gòu)控制因其魯棒性強(qiáng)，且可使系統(tǒng)在參數(shù)攝動(dòng)和外界擾動(dòng)的影響下具有不變形的特點(diǎn)受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的高度關(guān)注[11].然而傳統(tǒng)的滑模控制具有容易產(chǎn)生顫振以及狀態(tài)跟蹤誤差無限時(shí)間收斂的缺點(diǎn)，滿志紅等[12]首次提出一種MIMO的終端滑?？刂破?，于星火等[13]和馮勇等[14]對(duì)其作了改進(jìn)，分別提出了快速終端滑模變結(jié)構(gòu)控制和非奇異終端滑?？刂疲灿邢喈?dāng)多的學(xué)者對(duì)自適應(yīng)終端滑?？刂七M(jìn)行了研究[15-17]，但國(guó)內(nèi)外針對(duì)CMGs驅(qū)動(dòng)空間機(jī)械臂系統(tǒng)的控制研究尚不夠充分，如文獻(xiàn)[18]雖然對(duì)CMGs驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的自適應(yīng)滑?？刂七M(jìn)行了研究，但卻沒有考慮系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂問題.
因此本文以V構(gòu)型CMGs驅(qū)動(dòng)的空間機(jī)械臂為研究對(duì)象，考慮系統(tǒng)質(zhì)量特性參數(shù)與關(guān)節(jié)處干擾力矩的不確定性，且該不確定性的上確界先驗(yàn)知識(shí)未知，將自適應(yīng)律及終端滑模的相關(guān)成果結(jié)合起來對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行高精度軌跡跟蹤控制，完成了對(duì)閉環(huán)控制系統(tǒng)的仿真與分析.
1 系統(tǒng)描述
空間機(jī)械臂系統(tǒng)由衛(wèi)星平臺(tái)及多節(jié)臂桿構(gòu)成，為降低運(yùn)動(dòng)體間的動(dòng)力學(xué)耦合，每節(jié)機(jī)械臂上安裝一對(duì)V字構(gòu)型的CMGs作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，機(jī)械臂關(guān)節(jié)采用單自由度自由柱鉸連接，文獻(xiàn)[3]、[6]中已證實(shí)該設(shè)計(jì)可有效降低各運(yùn)動(dòng)體間的動(dòng)力學(xué)耦合，而本文重點(diǎn)在于設(shè)計(jì)機(jī)械臂系統(tǒng)自適應(yīng)滑模軌跡跟蹤控制器，因此假定平臺(tái)在慣性空間中的位置、姿態(tài)固定，CMGs驅(qū)動(dòng)的機(jī)械臂系統(tǒng)如圖1所示.將機(jī)械臂各臂桿由平臺(tái)向外編號(hào)為B0,B1,…,Bn，其中B0為平臺(tái)的編號(hào)，n為機(jī)械臂臂桿的數(shù)目.對(duì)系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)體Bi(i=1,2,…,n)，其內(nèi)接絞編號(hào)為Ji，其內(nèi)接體的編號(hào)為c(i)，其上安裝的CMGs的編號(hào)為ni.v構(gòu)型CMGs中兩個(gè)CMG的框架軸平行，均垂直于所在機(jī)械臂的旋轉(zhuǎn)軸，并通過同步機(jī)構(gòu)使兩個(gè)框架角相同，進(jìn)而使得CMGs的總角動(dòng)量hi始終沿機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)鉸鏈的轉(zhuǎn)軸方向，如圖2所示.
假定每個(gè)CMG的質(zhì)心位置不隨CMG繞其框架軸旋轉(zhuǎn)而改變；此外因剛體Bi上的CMGs旋轉(zhuǎn)引起的剛體Bi(含安裝在Bi上的CMGs)的慣量力矩的變化很小.則空間機(jī)械臂系統(tǒng)可視為由n個(gè)運(yùn)動(dòng)剛體(含平臺(tái)和鉸鏈)組成的樹形拓?fù)錁?gòu)型的多體系統(tǒng)，且每組CMGs均可認(rèn)為是對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)剛體中的一部分.
2 系統(tǒng)建模
2.1 坐標(biāo)系的建立
2.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)
(1)
采用文獻(xiàn)[7]的方法可得(1)中等號(hào)的左側(cè)項(xiàng)，即
(2)
(3)
(4)
鉸鏈運(yùn)動(dòng)學(xué)遞推的遞推公式為
(5)
采用文獻(xiàn)[8]的方法可得(1)中等號(hào)右側(cè)項(xiàng)中廣義主動(dòng)力的方程，即
(6)
(7)
至此，采用CMGs驅(qū)動(dòng)的空間機(jī)械臂系統(tǒng)的系統(tǒng)模型已經(jīng)得到.
3 非奇異終端滑?？刂?/h2>
考慮到系統(tǒng)質(zhì)量特性參數(shù)與干擾力矩的不確定性，根據(jù)式(1)可得機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程為
(8)
(9)
(10)
式中采用的范數(shù)均為向量的1-范數(shù)，δi(i=0,1,2)均為正常數(shù).
(11)
(12)
為設(shè)計(jì)系統(tǒng)的終端滑?？刂破?，首先需要選擇恰當(dāng)?shù)慕K端滑動(dòng)面，傳統(tǒng)的終端滑模面(Terminal sliding mode, TSM)[19]為
(13)
式中：S=[s1s2…sn]T∈Rn，Λ∈Rn為常對(duì)角矩陣，λ為待設(shè)計(jì)的正常數(shù)，p和q為正奇數(shù)，且滿足1(14)
對(duì)式(14)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得
(15)
滑動(dòng)面選定后，為滿足到達(dá)條件，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定，需要設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)滑?？刂坡?/p>
(16)
其中K=diag{k1,k2,…,kn}∈Rn×n(ki>0,i=1,2,…,n)，系統(tǒng)的名義系統(tǒng)的等效控制ueq為
(17)
非線性反饋控制uN用于克服外界擾動(dòng)與參數(shù)的不確定性，其方程為
(18)
(19)
(20)
但由于仿真過程中并不能保證滑動(dòng)面始終為零，因式(20)中自適應(yīng)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)會(huì)大于零，進(jìn)而導(dǎo)致式(20)中的自適應(yīng)參數(shù)持續(xù)遞增.為了避免這種情況，將式(20)中的自適應(yīng)律作如下改進(jìn)：
(21)
(22)
對(duì)式(22)求導(dǎo)，可以得到
(23)
根據(jù)式(11)、(15)～(21)可以得到
(24)
上述控制律中存在符號(hào)函數(shù)，在仿真過程中容易出現(xiàn)抖振，為避免這種情況，可用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，保證控制律的連續(xù)性，進(jìn)而消除抖振[21].
4 數(shù)值仿真與分析
本節(jié)通過數(shù)值仿真驗(yàn)證自適應(yīng)非奇異終端滑?？刂破鞯姆€(wěn)定性，仿真任務(wù)是使機(jī)械臂系統(tǒng)能夠準(zhǔn)確跟蹤指定軌跡.仿真中選用的模型是V構(gòu)型CMGs驅(qū)動(dòng)的平面機(jī)械臂系統(tǒng)，由三節(jié)臂桿通過單自由度自由柱鉸連接而成，每節(jié)臂桿長(zhǎng)1 m，其安裝參數(shù)如表1所示，各自由柱鉸均繞z軸旋轉(zhuǎn)，(z軸指向紙面外)，慣性參數(shù)如表2所示.
表1 安裝參數(shù)Tab.1 Installation parameters
仿真過程中考慮系統(tǒng)質(zhì)量的不確定性，假定每個(gè)臂桿的質(zhì)量的不確定量為Δmi=3 kg(i=1,2,3)，則每個(gè)臂桿質(zhì)量的標(biāo)稱值為mi0=22 kg(i=1,2,3).假定機(jī)械臂系統(tǒng)所受的外干擾力矩是對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)角速度的函數(shù)，即：
(25)
給定關(guān)節(jié)角的期望軌跡為：
(26)
表3 自適應(yīng)律中的相關(guān)參數(shù)Tab.3 Parameters for the adaptation laws
圖4為機(jī)械臂系統(tǒng)中各臂桿所受的外干擾力矩.各臂桿的關(guān)節(jié)角誤差如圖5所示，可見在考慮系統(tǒng)質(zhì)量特性參數(shù)不確定性和系統(tǒng)外干擾以及不確定性上確界未知的情況時(shí)，系統(tǒng)仍能準(zhǔn)確跟蹤期望軌跡，且誤差的收斂速度也比較快.
為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的非奇異終端滑模面的有限時(shí)間收斂性，繪制滑模面隨時(shí)間變化的曲線圖，如圖6所示，可見滑動(dòng)面可在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)，且收斂速度很快.自適應(yīng)律(21)中的自適應(yīng)參數(shù)如圖7所示，可以看出自適應(yīng)參數(shù)有界，不存在持續(xù)遞增的情況.各臂桿CMGs的總角動(dòng)量隨時(shí)間的變化曲線如圖8所示.圖9與圖10分別表示采用傳統(tǒng)終端滑模面(13)與非奇異終端滑模面(14)所設(shè)計(jì)的控制器的控制輸入，對(duì)比可見，當(dāng)選用傳統(tǒng)終端滑模面時(shí)，控制輸入在第7 s時(shí)出現(xiàn)明顯抖動(dòng)，其根源就在于滑動(dòng)面的奇異性，而選用非奇異終端滑模面則有效避免了這一問題.
5 結(jié) 論
本文研究了V構(gòu)型CMGs驅(qū)動(dòng)的空間機(jī)械臂系統(tǒng)在關(guān)節(jié)空間的軌跡跟蹤控制問題.控制器的設(shè)計(jì)將非奇異終端滑模與改進(jìn)的自適應(yīng)律有效結(jié)合起來，形成了自適應(yīng)非奇異終端滑?？刂破?在設(shè)計(jì)過程中考慮系統(tǒng)質(zhì)量特性參數(shù)與關(guān)節(jié)處干擾力矩的不確定性，且不確定性上確界的先驗(yàn)知識(shí)未知.通過閉環(huán)控制系統(tǒng)的數(shù)值仿真，驗(yàn)證了控制器的有效性.
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AdaptiveTerminalSlidingModeControlofSpaceManipulatorsActuatedbyControlMomentGyroscopes
XIA Xinhui, FENG Xiao, JIA Yinghong, XU Shijie
(SchoolofAstronautics,BeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Beijing100191,China)
An adaptive non-singular terminal sliding mode (ANTSM) control method is proposed for trajectory tracking control of space manipulators actuated by scissored-pair control moment gyroscopes (CMGs). Equations of motion are derived by means of recursive algorithms based on Kane’s equations. The non-singular terminal sliding surface with the tracking error as the variable is constructed to ensure that the tracking error converges to zero in finite time on the sliding surface. The adaptive laws are also proposed for the control gain’s adjustment on account of the uncertainties of the system quality characteristic parameters and unknown disturbances. The control method does not need to know the upper bounds of the uncertainties and the closed loop system is uniformly ultimately bounded. Simulation results verify the effectiveness of the proposed controller combined with the accuracy of tracking expected trajectory and the robustness on the inertia parameter uncertainties and disturbance torque of joints.
adaptive; terminal sliding; space manipulators; CMGs; Kane equation
*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11272027).
2017-07-26
V448. 22+3
A
1674-1579(2017)06-0032-08
10.3969/j.issn.1674-1579.2017.06.006
夏新會(huì)(1992—)，女，碩士研究生，研究方向?yàn)槎囿w航天器動(dòng)力學(xué)與控制；馮驍(1991—)，男，博士研究生，研究方向?yàn)槎囿w航天器動(dòng)力學(xué)與控制；賈英宏(1976—)，男，副教授，研究方向?yàn)榭臻g機(jī)器人/多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制、航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制以及滑?？刂疲恍焓澜?1951—)，男，教授，研究方向?yàn)樯羁仗綔y(cè)中的非線性軌道動(dòng)力學(xué)與控制、航天器動(dòng)力學(xué)與控制以及魯棒控制理論與應(yīng)用.
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(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191)
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夏新會(huì)，馮 驍，賈英宏，徐世杰
(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191)
針對(duì)V構(gòu)型控制力矩陀螺(CMGs)驅(qū)動(dòng)的空間機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制問題，研究一種自適應(yīng)非奇異終端滑模(ANTSM)控制方法.利用基于Kane方程的遞推組集算法建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型.以跟蹤誤差為變量，構(gòu)造非奇異滑動(dòng)面，以保證跟蹤誤差在滑動(dòng)面上有限時(shí)間收斂.針對(duì)系統(tǒng)質(zhì)量特性參數(shù)與關(guān)節(jié)處干擾力矩的不確定性，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器用以調(diào)節(jié)控制增益.該控制方法無需不確定性的上界，且閉環(huán)系統(tǒng)具有最終一致有界性.仿真結(jié)果表明，該控制器可使系統(tǒng)準(zhǔn)確跟蹤期望軌跡，并對(duì)質(zhì)量特性參數(shù)不確定性和關(guān)節(jié)干擾力矩具有良好的魯棒性.
自適應(yīng)；終端滑模；空間機(jī)械臂；控制力矩陀螺；Kane方程
0 引 言
為增加航天器使用壽命，降低使用成本，空間在軌服務(wù)任務(wù)越來越受到重視[1-2]，而空間機(jī)械臂系統(tǒng)是在軌服務(wù)的主要工具之一，為完成燃料加注、模塊更換等空間操作，空間機(jī)械臂必須進(jìn)行高精度軌跡跟蹤控制.
傳統(tǒng)的空間機(jī)械臂通常采用關(guān)節(jié)力矩驅(qū)動(dòng)器作為執(zhí)行機(jī)構(gòu).各關(guān)節(jié)處的作用力矩/反作用力矩直接作用于關(guān)節(jié)的外接體和內(nèi)接體上，進(jìn)而導(dǎo)致各運(yùn)動(dòng)體之間的動(dòng)力學(xué)耦合十分顯著，對(duì)系統(tǒng)高精度控制不利.為降低系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)耦合，文獻(xiàn)[3-6]中利用CMGs代替關(guān)節(jié)電機(jī)作為空間機(jī)械臂的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，產(chǎn)生的控制力矩并非施加于關(guān)節(jié)處而是直接作用于運(yùn)動(dòng)體上，各關(guān)節(jié)可以自由運(yùn)動(dòng)，因而關(guān)節(jié)處不存在執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶來的作用力矩和反作用力矩，進(jìn)而可大大減小機(jī)械臂與平臺(tái)間的相互擾動(dòng)，但文中所建立的模型均為耦合型模型，即在動(dòng)力學(xué)方程中以顯式形式直接給出各運(yùn)動(dòng)變量的耦合關(guān)系，這樣直接導(dǎo)致仿真中的運(yùn)算量與系統(tǒng)自由度數(shù)成三次方關(guān)系，因此計(jì)算效率很低.為此胡權(quán)等針對(duì)多體系統(tǒng)提出了一種基于Kane方程的新型的自動(dòng)組集算法并應(yīng)用[7-8].
為提高空間機(jī)械臂的性能，大批研究人員提出了針對(duì)不同任務(wù)和情況的控制算法.趙楠等[9]和賈英宏等[10]研究了基于三自由度球鉸連接的機(jī)械臂系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制方法，但并沒有考慮系統(tǒng)的不確定因素，如未知的外界擾動(dòng)、慣量參數(shù)的不確定性以及非線性不確定性等.針對(duì)系統(tǒng)的不確定因素，滑模變結(jié)構(gòu)控制因其魯棒性強(qiáng)，且可使系統(tǒng)在參數(shù)攝動(dòng)和外界擾動(dòng)的影響下具有不變形的特點(diǎn)受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的高度關(guān)注[11].然而傳統(tǒng)的滑模控制具有容易產(chǎn)生顫振以及狀態(tài)跟蹤誤差無限時(shí)間收斂的缺點(diǎn)，滿志紅等[12]首次提出一種MIMO的終端滑?？刂破?，于星火等[13]和馮勇等[14]對(duì)其作了改進(jìn)，分別提出了快速終端滑模變結(jié)構(gòu)控制和非奇異終端滑?？刂疲灿邢喈?dāng)多的學(xué)者對(duì)自適應(yīng)終端滑?？刂七M(jìn)行了研究[15-17]，但國(guó)內(nèi)外針對(duì)CMGs驅(qū)動(dòng)空間機(jī)械臂系統(tǒng)的控制研究尚不夠充分，如文獻(xiàn)[18]雖然對(duì)CMGs驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的自適應(yīng)滑?？刂七M(jìn)行了研究，但卻沒有考慮系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂問題.
因此本文以V構(gòu)型CMGs驅(qū)動(dòng)的空間機(jī)械臂為研究對(duì)象，考慮系統(tǒng)質(zhì)量特性參數(shù)與關(guān)節(jié)處干擾力矩的不確定性，且該不確定性的上確界先驗(yàn)知識(shí)未知，將自適應(yīng)律及終端滑模的相關(guān)成果結(jié)合起來對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行高精度軌跡跟蹤控制，完成了對(duì)閉環(huán)控制系統(tǒng)的仿真與分析.
1 系統(tǒng)描述
空間機(jī)械臂系統(tǒng)由衛(wèi)星平臺(tái)及多節(jié)臂桿構(gòu)成，為降低運(yùn)動(dòng)體間的動(dòng)力學(xué)耦合，每節(jié)機(jī)械臂上安裝一對(duì)V字構(gòu)型的CMGs作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，機(jī)械臂關(guān)節(jié)采用單自由度自由柱鉸連接，文獻(xiàn)[3]、[6]中已證實(shí)該設(shè)計(jì)可有效降低各運(yùn)動(dòng)體間的動(dòng)力學(xué)耦合，而本文重點(diǎn)在于設(shè)計(jì)機(jī)械臂系統(tǒng)自適應(yīng)滑模軌跡跟蹤控制器，因此假定平臺(tái)在慣性空間中的位置、姿態(tài)固定，CMGs驅(qū)動(dòng)的機(jī)械臂系統(tǒng)如圖1所示.將機(jī)械臂各臂桿由平臺(tái)向外編號(hào)為B0,B1,…,Bn，其中B0為平臺(tái)的編號(hào)，n為機(jī)械臂臂桿的數(shù)目.對(duì)系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)體Bi(i=1,2,…,n)，其內(nèi)接絞編號(hào)為Ji，其內(nèi)接體的編號(hào)為c(i)，其上安裝的CMGs的編號(hào)為ni.v構(gòu)型CMGs中兩個(gè)CMG的框架軸平行，均垂直于所在機(jī)械臂的旋轉(zhuǎn)軸，并通過同步機(jī)構(gòu)使兩個(gè)框架角相同，進(jìn)而使得CMGs的總角動(dòng)量hi始終沿機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)鉸鏈的轉(zhuǎn)軸方向，如圖2所示.
假定每個(gè)CMG的質(zhì)心位置不隨CMG繞其框架軸旋轉(zhuǎn)而改變；此外因剛體Bi上的CMGs旋轉(zhuǎn)引起的剛體Bi(含安裝在Bi上的CMGs)的慣量力矩的變化很小.則空間機(jī)械臂系統(tǒng)可視為由n個(gè)運(yùn)動(dòng)剛體(含平臺(tái)和鉸鏈)組成的樹形拓?fù)錁?gòu)型的多體系統(tǒng)，且每組CMGs均可認(rèn)為是對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)剛體中的一部分.
2 系統(tǒng)建模
2.1 坐標(biāo)系的建立
2.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)
(1)
采用文獻(xiàn)[7]的方法可得(1)中等號(hào)的左側(cè)項(xiàng)，即
(2)
(3)
(4)
鉸鏈運(yùn)動(dòng)學(xué)遞推的遞推公式為
(5)
采用文獻(xiàn)[8]的方法可得(1)中等號(hào)右側(cè)項(xiàng)中廣義主動(dòng)力的方程，即
(6)
(7)
至此，采用CMGs驅(qū)動(dòng)的空間機(jī)械臂系統(tǒng)的系統(tǒng)模型已經(jīng)得到.
3 非奇異終端滑?？刂?/h2>
考慮到系統(tǒng)質(zhì)量特性參數(shù)與干擾力矩的不確定性，根據(jù)式(1)可得機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程為
(8)
(9)
(10)
式中采用的范數(shù)均為向量的1-范數(shù)，δi(i=0,1,2)均為正常數(shù).
(11)
(12)
為設(shè)計(jì)系統(tǒng)的終端滑?？刂破?，首先需要選擇恰當(dāng)?shù)慕K端滑動(dòng)面，傳統(tǒng)的終端滑模面(Terminal sliding mode, TSM)[19]為
(13)
式中：S=[s1s2…sn]T∈Rn，Λ∈Rn為常對(duì)角矩陣，λ為待設(shè)計(jì)的正常數(shù)，p和q為正奇數(shù)，且滿足1 (14) 對(duì)式(14)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得 (15) 滑動(dòng)面選定后，為滿足到達(dá)條件，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定，需要設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)滑?？刂坡?/p> (16) 其中K=diag{k1,k2,…,kn}∈Rn×n(ki>0,i=1,2,…,n)，系統(tǒng)的名義系統(tǒng)的等效控制ueq為 (17) 非線性反饋控制uN用于克服外界擾動(dòng)與參數(shù)的不確定性，其方程為 (18) (19) (20) 但由于仿真過程中并不能保證滑動(dòng)面始終為零，因式(20)中自適應(yīng)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)會(huì)大于零，進(jìn)而導(dǎo)致式(20)中的自適應(yīng)參數(shù)持續(xù)遞增.為了避免這種情況，將式(20)中的自適應(yīng)律作如下改進(jìn)： (21) (22) 對(duì)式(22)求導(dǎo)，可以得到 (23) 根據(jù)式(11)、(15)～(21)可以得到 (24) 上述控制律中存在符號(hào)函數(shù)，在仿真過程中容易出現(xiàn)抖振，為避免這種情況，可用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，保證控制律的連續(xù)性，進(jìn)而消除抖振[21]. 本節(jié)通過數(shù)值仿真驗(yàn)證自適應(yīng)非奇異終端滑?？刂破鞯姆€(wěn)定性，仿真任務(wù)是使機(jī)械臂系統(tǒng)能夠準(zhǔn)確跟蹤指定軌跡.仿真中選用的模型是V構(gòu)型CMGs驅(qū)動(dòng)的平面機(jī)械臂系統(tǒng)，由三節(jié)臂桿通過單自由度自由柱鉸連接而成，每節(jié)臂桿長(zhǎng)1 m，其安裝參數(shù)如表1所示，各自由柱鉸均繞z軸旋轉(zhuǎn)，(z軸指向紙面外)，慣性參數(shù)如表2所示. 表1 安裝參數(shù)Tab.1 Installation parameters 仿真過程中考慮系統(tǒng)質(zhì)量的不確定性，假定每個(gè)臂桿的質(zhì)量的不確定量為Δmi=3 kg(i=1,2,3)，則每個(gè)臂桿質(zhì)量的標(biāo)稱值為mi0=22 kg(i=1,2,3).假定機(jī)械臂系統(tǒng)所受的外干擾力矩是對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)角速度的函數(shù)，即： (25) 給定關(guān)節(jié)角的期望軌跡為： (26) 表3 自適應(yīng)律中的相關(guān)參數(shù)Tab.3 Parameters for the adaptation laws 圖4為機(jī)械臂系統(tǒng)中各臂桿所受的外干擾力矩.各臂桿的關(guān)節(jié)角誤差如圖5所示，可見在考慮系統(tǒng)質(zhì)量特性參數(shù)不確定性和系統(tǒng)外干擾以及不確定性上確界未知的情況時(shí)，系統(tǒng)仍能準(zhǔn)確跟蹤期望軌跡，且誤差的收斂速度也比較快. 為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的非奇異終端滑模面的有限時(shí)間收斂性，繪制滑模面隨時(shí)間變化的曲線圖，如圖6所示，可見滑動(dòng)面可在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)，且收斂速度很快.自適應(yīng)律(21)中的自適應(yīng)參數(shù)如圖7所示，可以看出自適應(yīng)參數(shù)有界，不存在持續(xù)遞增的情況.各臂桿CMGs的總角動(dòng)量隨時(shí)間的變化曲線如圖8所示.圖9與圖10分別表示采用傳統(tǒng)終端滑模面(13)與非奇異終端滑模面(14)所設(shè)計(jì)的控制器的控制輸入，對(duì)比可見，當(dāng)選用傳統(tǒng)終端滑模面時(shí)，控制輸入在第7 s時(shí)出現(xiàn)明顯抖動(dòng)，其根源就在于滑動(dòng)面的奇異性，而選用非奇異終端滑模面則有效避免了這一問題. 本文研究了V構(gòu)型CMGs驅(qū)動(dòng)的空間機(jī)械臂系統(tǒng)在關(guān)節(jié)空間的軌跡跟蹤控制問題.控制器的設(shè)計(jì)將非奇異終端滑模與改進(jìn)的自適應(yīng)律有效結(jié)合起來，形成了自適應(yīng)非奇異終端滑?？刂破?在設(shè)計(jì)過程中考慮系統(tǒng)質(zhì)量特性參數(shù)與關(guān)節(jié)處干擾力矩的不確定性，且不確定性上確界的先驗(yàn)知識(shí)未知.通過閉環(huán)控制系統(tǒng)的數(shù)值仿真，驗(yàn)證了控制器的有效性. 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The control method does not need to know the upper bounds of the uncertainties and the closed loop system is uniformly ultimately bounded. Simulation results verify the effectiveness of the proposed controller combined with the accuracy of tracking expected trajectory and the robustness on the inertia parameter uncertainties and disturbance torque of joints. adaptive; terminal sliding; space manipulators; CMGs; Kane equation *國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11272027). 2017-07-26 V448. 22+3 A 1674-1579(2017)06-0032-08 10.3969/j.issn.1674-1579.2017.06.006 夏新會(huì)(1992—)，女，碩士研究生，研究方向?yàn)槎囿w航天器動(dòng)力學(xué)與控制；馮驍(1991—)，男，博士研究生，研究方向?yàn)槎囿w航天器動(dòng)力學(xué)與控制；賈英宏(1976—)，男，副教授，研究方向?yàn)榭臻g機(jī)器人/多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制、航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制以及滑?？刂疲恍焓澜?1951—)，男，教授，研究方向?yàn)樯羁仗綔y(cè)中的非線性軌道動(dòng)力學(xué)與控制、航天器動(dòng)力學(xué)與控制以及魯棒控制理論與應(yīng)用.4 數(shù)值仿真與分析
5 結(jié) 論
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