王浩羽，廖艷華

(1湖北省黃石市第二中學(xué)， 湖北 黃石 435003;2湖北理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院， 湖北 黃石 435003)

幾何阻挫對(duì)自旋三角形格點(diǎn)的磁化與自旋關(guān)聯(lián)的影響

王浩羽1，廖艷華2*

(1湖北省黃石市第二中學(xué)， 湖北 黃石 435003;2湖北理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院， 湖北 黃石 435003)

利用反鐵磁三角形伊辛模型，引入熱力學(xué)配分函數(shù)，研究了幾何阻挫對(duì)自旋三角形格點(diǎn)的磁化與自旋關(guān)聯(lián)的影響。研究表明：由于外加磁場(chǎng)和格點(diǎn)間交換強(qiáng)度之間的競(jìng)爭(zhēng)，磁場(chǎng)在磁化三角形格點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生磁化臺(tái)階，且此臺(tái)階的長(zhǎng)度與交換強(qiáng)度大小有關(guān)；同時(shí)，幾何阻挫能減弱格點(diǎn)間的自旋關(guān)聯(lián)強(qiáng)度，使三角形格點(diǎn)在強(qiáng)交換強(qiáng)度的影響下仍然呈現(xiàn)鐵磁與反鐵磁的混合態(tài)。這與一維線性格點(diǎn)有較大不同。

阻挫；自旋關(guān)聯(lián)；磁化平臺(tái)

0 引言

一直以來，對(duì)量子自旋模型中的幾何阻挫研究是凝聚態(tài)物理[1]和量子信息領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[2-3]。特別是近年來，在具有三角形自旋鏈結(jié)構(gòu)的Ca3Co2O6[4]和伊辛磁鐵FeI2[5]中發(fā)現(xiàn)磁挫現(xiàn)象，再次激發(fā)了人們研究量子幾何阻挫的熱情。理論和實(shí)驗(yàn)研究者們通過研究具有多重自旋態(tài)的格點(diǎn)間的相互作用，獲得了該系統(tǒng)在各種微尺度和溫度下的量子相變與磁化性質(zhì)。理論工作者們習(xí)慣于采用精確求解[6]、數(shù)值重整化群[7]、模特卡羅模擬[8]和平均場(chǎng)理論[9]等方法研究材料的格點(diǎn)間因熱力學(xué)漲落與量子漲落所導(dǎo)致的各種相變與磁化性質(zhì)。研究者們對(duì)二元合金、固態(tài)He3以及氫鍵鐵電體(如PbHPO4與PbDPO4)等材料的熱學(xué)與光學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了廣泛研究，并從格點(diǎn)間的自旋相互作用的角度去解釋其中所發(fā)生的熱學(xué)與量子相變，以及其中廣泛存在的阻挫與磁化臺(tái)階現(xiàn)象[10]。

一段時(shí)間以來，科研工作者們熱衷于采用一維自旋量子系統(tǒng)來研究量子點(diǎn)中的幾何阻挫和量子漲落現(xiàn)象。因?yàn)樵撓到y(tǒng)不僅可以展現(xiàn)二聚化能帶中獨(dú)特的量子基態(tài)，還能呈現(xiàn)量子自旋系統(tǒng)中的自旋能隙[11]。在利用自旋三角形格子的反鐵磁伊辛模型來研究幾何阻挫問題過程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)系統(tǒng)最近鄰的格點(diǎn)間的相互作用能滿足系統(tǒng)能量最小時(shí)，幾何阻挫就會(huì)出現(xiàn)。同時(shí)，研究者們通過在銅氧化物中摻雜稀有元素的方式來研究三角晶格點(diǎn)陣中的幾何阻挫[12]。

基于以上工作，本文考慮準(zhǔn)二維的自旋三角形反鐵磁伊辛模型，結(jié)合熱力學(xué)函數(shù)性質(zhì)，研究準(zhǔn)二維的三角形格點(diǎn)中近鄰格點(diǎn)間交換項(xiàng)與外加磁場(chǎng)的競(jìng)爭(zhēng)過程，展現(xiàn)了磁化臺(tái)階、局域磁矩、格點(diǎn)間自旋關(guān)聯(lián)與系統(tǒng)熵隨外加磁場(chǎng)的變化情況。因?yàn)楦顸c(diǎn)間的自旋所導(dǎo)致的相互作用受到能量最低原理?xiàng)l件的限制，三角形格點(diǎn)中兩近鄰格點(diǎn)間的自旋關(guān)聯(lián)與磁化過程、一維線性格點(diǎn)模型存在較大差異。

1 模型與方法

H=J1SZ(1)SZ(2)+J2SZ(2)SZ(3)+J3SZ(1)SZ(3)-B(S1Z+S2Z+S3Z)

(1)

式(1)中，當(dāng)格點(diǎn)間交換強(qiáng)度J>0時(shí)，格點(diǎn)間為反鐵磁關(guān)聯(lián)；當(dāng)交換強(qiáng)度J<0時(shí)，格點(diǎn)間為鐵磁關(guān)聯(lián)。為了更方便討論三角形中的幾何阻挫對(duì)系統(tǒng)的熱力學(xué)和量子現(xiàn)象的影響，選取J1=J2=J3=J。本文約定能量表達(dá)方式為εi[S1(Z),S2(Z),S3(Z)]。

圖1 三角形格點(diǎn)示意圖

首先，根據(jù)格點(diǎn)模型的哈密頓量，結(jié)合三角形格點(diǎn)8種自旋組合模式，寫出能量本征值：

(2)

根據(jù)能量本征值，給出系統(tǒng)配分函數(shù)，見公式(3)。根據(jù)磁矩與配分函數(shù)間關(guān)系，可得磁矩與外加磁場(chǎng)和格點(diǎn)間交換強(qiáng)度關(guān)系，見公式(4)。格點(diǎn)間自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)見公式(5)。系統(tǒng)熱力學(xué)熵表達(dá)式見公式(6)。

(3)

(4)

(5)

(6)

式(6)中，k為玻爾茲曼常數(shù)；Ω為系統(tǒng)微觀態(tài)數(shù)。為了便于物理規(guī)律的觀察，下文的作圖中，統(tǒng)一取k=1。

2 數(shù)值結(jié)果與討論

根據(jù)公式(4)～(6)，繪制了三角形格點(diǎn)磁矩隨相應(yīng)參數(shù)的變化曲線如圖2所示。 圖2(a)為格點(diǎn)間交換強(qiáng)度取一定值時(shí)，磁矩隨外加磁場(chǎng)的關(guān)系；圖2(b)為磁矩在一定的磁場(chǎng)下隨交換強(qiáng)度的變化關(guān)系。

從圖2(a)中可以看出：當(dāng)格點(diǎn)間交換強(qiáng)度J較小時(shí)(如J/kT=1)，隨著磁場(chǎng)的正向增強(qiáng)，磁矩會(huì)快速增大，當(dāng)磁場(chǎng)增大到一定值時(shí)，磁矩趨于飽和，達(dá)到1.5，此后隨著磁場(chǎng)繼續(xù)增大，磁矩值不再改變；隨著交換強(qiáng)度增大到某一值時(shí)(如J/kT=10),磁矩隨磁場(chǎng)的變化曲線會(huì)出現(xiàn)一平臺(tái)，且該平臺(tái)的寬度會(huì)隨著交換強(qiáng)度的增大而變寬。結(jié)合本模型的哈密頓量分析認(rèn)為這是磁場(chǎng)與交換強(qiáng)度間競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果所致，該現(xiàn)象與Chen等人在具有幾何阻挫的格點(diǎn)中所觀察到的現(xiàn)象與結(jié)論一致[10]。

從圖2(b)中可以看出，當(dāng)J/kT<0時(shí)，系統(tǒng)在正向磁場(chǎng)的作用下，鐵磁性最強(qiáng)(如B/kT=1曲線)，隨著J/kT正向增大，磁矩減小，說明正向的交換強(qiáng)度能減弱正向外加磁場(chǎng)的影響，也證明了圖2(a)中磁化平臺(tái)的產(chǎn)生是使格點(diǎn)間形成反鐵磁關(guān)聯(lián)的交換強(qiáng)度(J/kT>0)與使格點(diǎn)間形成鐵磁關(guān)聯(lián)的磁場(chǎng)(B/kT>0)的競(jìng)爭(zhēng)結(jié)果，交換強(qiáng)度越大，競(jìng)爭(zhēng)的弛豫區(qū)間越大,平臺(tái)越長(zhǎng)。

為了展現(xiàn)三角形格點(diǎn)之間關(guān)聯(lián)關(guān)系與磁化的微觀機(jī)制，本文研究了不同交換強(qiáng)度下系統(tǒng)的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)與熱力學(xué)熵。不同交換強(qiáng)度下系統(tǒng)的自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)與熱力學(xué)熵(S)隨磁場(chǎng)的變化曲線如圖3所示，下角標(biāo)L代表一維線性格點(diǎn)量，下角標(biāo)T代表三角形格點(diǎn)量，且圖3(a)～(d)中交換強(qiáng)度的變化參數(shù)相同。

3 結(jié)論

本文利用反鐵磁伊辛模型研究了幾何阻挫對(duì)三角形格點(diǎn)的磁化機(jī)制與格點(diǎn)間自旋關(guān)聯(lián)的影響。在磁場(chǎng)對(duì)三角形格點(diǎn)的磁化過程中，觀察到了被文獻(xiàn)[10,13]報(bào)道的磁化平臺(tái)，且指出該平臺(tái)的產(chǎn)生實(shí)質(zhì)是格點(diǎn)間交換強(qiáng)度與磁場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果，其長(zhǎng)度與交換強(qiáng)度的大小成正比。通過與一維線性格點(diǎn)模型中近鄰格點(diǎn)間的自旋關(guān)聯(lián)比較，發(fā)現(xiàn)三角形格點(diǎn)間兩近鄰格點(diǎn)的自旋關(guān)聯(lián)無法達(dá)到反鐵磁關(guān)聯(lián)的理論值。通過對(duì)熵圖中臺(tái)階處對(duì)應(yīng)的數(shù)值研究，指出其關(guān)聯(lián)強(qiáng)度遠(yuǎn)小于反鐵磁關(guān)聯(lián)理論值(-0.25)的實(shí)質(zhì)是三角形格點(diǎn)會(huì)受到幾何阻挫調(diào)控，它能削弱格點(diǎn)間的反鐵磁關(guān)聯(lián)。

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Influence of Geometrical Frustration on Magnetization Behaviors and Spin Correlation of Triangular Lattice

WangHaoyu1,LiaoYanhua2*

(1No.2 Senior High School of Huangshi,Huangshi Hubei 435003;2School of Mathematics and Physics,Hubei Polytechnic University,Huangshi Hubei 435003)

Based on the antiferromagentic Ising model and partition function,the effect of frustration on the magnetization behaviors and spin correlation of the triangular lattice was investigated.The results showed that the magnetization plateaus occurred in the magnetic field due to the strength competition between the applied magnetic field and exchange interaction,and its length related to the strength of exchange interaction.In addition,the geometrical frustration weakened the strength of spin correlation between nearest neighbor lattices.Thus the triangle lattices presented the mixing state of the ferromagnetism and antiferromagnetism,which was different from one-dimensional lattice greatly.

frustration;spin correlation;magnetization plateau

2017-09-26

湖北理工學(xué)院創(chuàng)新人才項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)16xjz01c)；湖北理工學(xué)院校級(jí)科研重點(diǎn)項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)16xjz03A)。

*

廖艷華，副教授，博士，研究方向：強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)。

10.3969/j.issn.2095-4565.2017.06.011

O482.51

A

2095-4565(2017)06-0047-05

(責(zé)任編輯張銀鳳)