姜濤

【摘要】 極值點與拐點是高等數(shù)學研究函數(shù)性質的兩個重要概念，也是函數(shù)的重要特征.本文由極值存在的第二充分條件入手，并對其進行推廣，得出在更一般的情況下，極值點與拐點存在的充分條件.新充分條件較以往的條件更具普遍性，擴大了判斷范圍.

【關鍵詞】 極值點;拐點;導數(shù);充分條件

極值點和拐點是高等數(shù)學研究函數(shù)性質的兩個重要概念，它們對函數(shù)的圖形描繪起著重要作用[1，2].有文獻對函數(shù)的極值點和拐點進行了討論[3，4].一般來說，求函數(shù)的極值點和拐點是通過求函數(shù)的一階和二階導函數(shù)的零點，再通過判斷它們在零點兩側是否異號，從而判定是否為極值點和拐點[5].

從為了使本文完整可讀起見，在給出新的極值點與拐點充分性判別法之前，先將曲線拐點的定義及我們所熟知的定理寫在下面.

定義1 ?設函數(shù)y=f（x），在點x0及其附近有定義，若對點x0附近任一點x（x≠x0），均有

（1）f（x）<f（x0），則稱f（x0）為y=f（x）的極大值，x0為極大值點;

（2）f（x）>f（x0），則稱f（x0）為y=f（x）的極小值，x0為極小值點.

定義2 ?若連續(xù)曲線y=f（x）上的點P（x0，f（x0））的一邊是凹的，而另一邊是凸，則稱點P（x0，f（x0））是曲線y=f（x）的拐點.

定理1 （極值存在的第一充分條件） 設函數(shù)y=f（x），在點x0及其附近可導，且存在δ>0.

（1）若當x∈（x0-δ，x0）時，f′（x）>0，當x∈（x0，x0+δ）時，f′（x）<0，則x0為函數(shù)的極大值點;

（2）若當x∈（x0-δ，x0）時，f′（x）<0，當x∈（x0，x0+δ）時，f′（x）>0，則x0為函數(shù)的極小值點;

（3）若f′（x）的符號不變，則x0不是函數(shù)的極值點.

定理2 （極值存在的第二充分條件） 設函數(shù)y=f（x）在點x0處有一、二階導數(shù)，且f′（x0）=0，f″（x0）≠0.

（1）若f″（x0）<0，則x0為極大值點;

（2）若f″（x0）>0，則x0為極小值點.

定理3 （拐點存在的充分條件） 設y=f（x）在（a，b）內二階可導，x0∈（a，b），且f″（x0）=0，若在x0兩側附近f″（x0）異號，則點（x0，f（x0））為曲線的拐點.否則（即f″（x0）保持同號），（x0，f（x0））不是拐點.

一、新充分條件及證明

在定理2基礎上，提出新的極值與拐點存在充分條件的定理.

定理4 ?設函數(shù)y=f（x）在點x0處有連續(xù)n（n≥2）階導數(shù)，且f′（x0）=…=f（n-1）（x）=0，f（n）（x0）≠0.

（1）若n為偶數(shù)，則x0為f（x）的極值點，且當f（n）（x0）<0時，則x0為f（x）的極大值點，f（x）在x0處取得極大值f（x0）;

當f（n）（x0）>0時，則x0為f（x）的極小值點，f（x）在x0處取得極小值f（x0）.

（2）若n為奇數(shù)，則（x0，f（x0））為f（x）的拐點.

證明 ?① 證明當f（n）（x0）<0時，結論（1）成立.

當n=2時，由定理2可知，定理4結論（1）成立.

設當n=2k時，定理4結論（1）成立，

當n=2k+2時，因f（n）（x）=f（2k+2）（x）=[f（2）（x）]（2k），故

當f（n）（x0）<0時，則x0為f（2）（x）的極大值點，f（2）（x）在x0處取得極大值f（2）（x0）=0，

所以x∈（x0-δ，x0+δ）時，f（2）（x）≤0，f（1）（x）單調遞減，因此，當x∈（x0-δ，x0）時，f（1）（x）>f（1）（x0）=0;當x∈（x0，x0+δ）時，f（1）（x）<f（1）（x0）=0.

由定理1可知，x0為f（x）的極大值點，f（x）在x0處取得極大值f（x0），即定理4結論（1）成立.

綜上所述，若n為偶數(shù)，當f（n）（x0）<0時，結論（1）x0為f（x）的極大值點，f（x）在x0處取得極大值f（x0），即定理4結論（1）成立.

同理，當f（n）（x0）>0時，結論（1）x0為f（x）的極小值點，f（x）在x0處取得極小值f（x0）成立.

② 證明若n為奇數(shù)，則（x0，f（x0））為f（x）的拐點，

f（n）（x0）≠0，不妨設f（n）（x0）>0，

當n=3時，f（3）（x0）=lim x→x0 ?f（2）（x）-f（2）（x0） x-x0 >0.

因此，當x∈（x0-δ，x0）時，f（2）（x）<f（2）（x0）=0;

當x∈（x0，x0+δ）時，f（2）（x）>f（2）（x0）=0.

由定理3可得，（x0，f（x0））為f（x）的拐點，即定理4結論（2）成立.

設當n=2k+1時，定理4結論（2）成立，

當n=2k+3時，因f（n）（x）=f（2k+3）（x）=[f（3）（x）]（2k），故由定理4結論（1）可知，

f（3）（x）在x0處取極小值，所以x∈（x0-δ，x0+δ）時，f（3）（x）≥0，f（2）（x）單調遞增，

因此，當x∈（x0-δ，x0）時，f（2）（x）<f（2）（x0）=0;

當x∈（x0，x0+δ）時，f（2）（x）>f（2）（x0）=0.

由定理3可得，（x0，f（x0））為f（x）的拐點，即定理4結論（2）成立.

同理，f（n）（x0）<0時，定理4結論（2）成立.

綜上所述，若n為奇數(shù)，則（x0，f（x0））為f（x）的拐點，定理4結論（2）成立.

綜上所述，定理4結論得證.

二、應用舉例

例 ?已知函數(shù)f（x）在x=x0處n階可導，且滿足 lim x→x0 ?f（x）-2 （x-x0）n =k，討論函數(shù)f（x）在x=x0處的極值情況.

解 ?函數(shù)f（x）在x=x0處n階可導，

因 lim x→x0 ?f（x）-2 （x-x0）n =k，

故 lim x→x0 ?f（x）-2 （x-x0）n =lim x→x0 ?f（1）（x） n（x-x0）n-1 =…

=lim x→x0 ?f（n-1）（x） n（n-1）…2（x-x0） =lim x→x0 ?f（n）（x） n！ =k，

所以f（x0）=2，f（1）（x0）=…=f（n-1）（x0）=0，

f（n）（x0）≠0.

顯然，k>0時，f（n）（x0）>0;k<0時，f（n）（x0）<0.

由定理4可知，

當n為偶數(shù)且k>0時，f（x）在x=x0處取極小值，極小值為f（x0）=2;

當n為偶數(shù)且k<0時，f（x）在x=x0處取極大值，極大值為f（x0）=2;

當n為奇數(shù)時，f（x）在x=x0處無極值.

三、結 論

本文得出的結論更具普遍意義，定理4及相關推論為極值點與拐點的判斷提供了一種新的方法，擴大了適用范圍.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析：第2版[M].北京：高等教育出版社，1997.

[2]劉玉璉，付沛仁.數(shù)學分析講義：第3版[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3]毛一波.曲線的拐點和極值[J].重慶文理學院學報（自然科學版），2006（5）：13-15.

[4]明萬元，黃香蕉.一種判斷多項式函數(shù)極值點和拐點個數(shù)的簡單方法[J].大學數(shù)學，2011（6）：161-163.

[5]于淑蘭.關于曲線拐點的判別法[J].數(shù)學實踐與認識，2003（1）：99-101.