李慶

【摘要】 高等代數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門核心基礎(chǔ)課程.由于代數(shù)學(xué)高度的抽象性和一般性加大了高等代數(shù)教學(xué)的難度，因此，本文著重分析了高等代數(shù)教學(xué)過程中的幾個重難點，并給出了相應(yīng)的教學(xué)策略.

【關(guān)鍵詞】 高等代數(shù);矩陣;線性空間

【基金項目】 西南民族大學(xué)教學(xué)改革項目（2018JK04）.

高等代數(shù)作為代數(shù)學(xué)的入門課程，是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)本科生的三門主要必修基礎(chǔ)課（分析、幾何、代數(shù)）之一.高等代數(shù)的基本任務(wù)是以線性空間這一代數(shù)系統(tǒng)為例來闡述代數(shù)學(xué)的基本思想和一般性方法[1].高等代數(shù)課程的教學(xué)內(nèi)容看上去似乎是一塊一塊的，不像數(shù)學(xué)分析課程那樣主線明確.實際上，高等代數(shù)的主線也是明確的：研究線性空間的結(jié)構(gòu)及其線性映射.這是古典代數(shù)學(xué)研究的問題（解方程和解方程組）和近世代數(shù)的革命性變革（研究代數(shù)習(xí)題的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射）所決定[2].那么，在高等代數(shù)的教學(xué)中該如何貫穿這條主線呢？怎樣讓每個新的概念和理論順其自然地產(chǎn)生呢？筆者對高等代數(shù)教學(xué)中的幾個重難點做了一些分析并給出相應(yīng)的教學(xué)對策.本文主要以文獻[3]這部教材為例展開分析.

一、矩陣和行列式概念的引入方法分析

我們知道在教學(xué)過程中對理論的闡述應(yīng)當符合人的認識規(guī)律，即由淺入深，從具體到抽象，由形象直觀到理性思維[1].經(jīng)典代數(shù)學(xué)的研究課題是各類代數(shù)方程的求解問題，因此，高等代數(shù)的引入也應(yīng)該從解方程問題入手，著重解決線性方程組的求解問題.通過分析線性方程組求解過程中的消元法，即方程之間系數(shù)和常數(shù)項的變化，提煉出消元法的本質(zhì).消元的過程實際上就是讓相應(yīng)的未知量的系數(shù)通過方程之間的加、減或數(shù)乘關(guān)系化為零.于是，我們就可以在消元的解題過程中不必寫出每個方程的未知量，而只需寫出每個方程的系數(shù)和常數(shù)項，并按行排列，同時方程組中每個未知量的系數(shù)按列對應(yīng)整齊，最后一列由常數(shù)項構(gòu)成，因此，形成一個按行列排列整齊的一個矩形數(shù)表，由此我們引出矩陣的概念.同時，消元法的實質(zhì)是這個矩形數(shù)表的行之間的加、減或數(shù)乘關(guān)系，由此引出矩陣的初等行變換的概念.消元法解線性方程組的過程本質(zhì)上就是對它對應(yīng)的這個矩陣（簡稱為增廣矩陣）實施初等行變換的過程.那么，變換到哪一步停止呢？此時，通過方程組的階梯形狀，引出階梯形矩陣的概念.這樣就給出了以矩陣理論的思維來解決線性方程組求解問題，引出高斯-約當算法.這樣的教學(xué)過程讓學(xué)生從熟悉的解線性方程組入手，呈現(xiàn)出通過現(xiàn)象抓住本質(zhì)的過程.

另外，在討論線性方程組無窮多解之間的關(guān)系時，引導(dǎo)出向量空間的基本理論，比如，向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān).此外，針對一類特殊的線性方程組，即方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等的線性方程組的求解除了高斯-約當算法外，能否直接通過該方程組的系數(shù)和常數(shù)項直接判斷其解呢？由此引入行列式這一記憶符號.應(yīng)特別注意，行列式的引入一開始是作為符號方便記憶建立起來的.由2階行列式到3階行列式，再猜測并建立n階行列式的概念，產(chǎn)生行列式理論.因此，這樣的教學(xué)過程讓學(xué)生以中學(xué)代數(shù)知識（即經(jīng)典代數(shù)學(xué)中方程的求解問題）為出發(fā)點將其逐步引導(dǎo)到現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的基本研究對象上來.具體來說，就是從研究線性方程理論入手，引導(dǎo)出向量空間和矩陣的基本理論.

二、抓住矩陣乘法運算與矩陣初等變換之間的關(guān)系的應(yīng)用

在高等代數(shù)的教學(xué)過程中，矩陣的乘法運算與其初等變換之間關(guān)系密切，即對一個矩陣實施一次初等行（列）變換將相當于在這個矩陣的左（右）邊乘一個相應(yīng)的初等矩陣.在這一理論中，初等矩陣起著重要的橋梁作用，同時也在后面的矩陣理論及其應(yīng)用中有著重要的地位.因此，首先讓學(xué)生透徹理解初等矩陣的概念，特別是三類初等變換與三類初等矩陣之間的對應(yīng)，要注意初等行變換和初等列變換對應(yīng)的三類初等矩陣的記號不能混淆.例如，文獻[3]中第187頁和第188頁，無論是通過初等行變換形成的初等矩陣還是初等列變換形成的初等矩陣，這些初等矩陣的記號分別是 P （i，j）， P （i（k））， P （i，j（k））.前兩類初等矩陣都是表示一個單位矩陣通過交換第i，j兩行（或兩列）形成的初等矩陣 P （i，j），以及一個單位矩陣通過第i行（或列）乘數(shù)k形成的初等矩陣 P （i（k））.而第三類初等矩陣 P （i，j（k））這個記號對應(yīng)的初等行變換和初等列變換在描述上有一點差異. P （i，j（k））表示為一個單位矩陣通過第i行加上第j行的k倍形成的初等矩陣，或一個單位矩陣通過第j列加上第i列的k倍形成的初等矩陣.因此，在這個教學(xué)過程中需要讓學(xué)生通過這些符號明白其背后隱藏的初等變換.

此外，矩陣的乘法運算和它的初等變換的關(guān)系在矩陣的逆矩陣的求法和二次型化為標準形中的合同變換法中起到重要的作用.在文獻[3]中第五章的第二節(jié)中著重提到了用配方法化二次型為標準形.在該教材的第219頁例2主要根據(jù)例1配方的過程寫出對應(yīng)的矩陣形式.自然需要思考，如果不用配方法化二次型為標準形，該如何利用直接矩陣理論實現(xiàn)化二次型為標準形的過程呢？在文獻[3]中第219頁例2解答中，一開始就給出一個線性替換的系數(shù)矩陣.如果沒有文獻[3]中第214頁例1的解答過程，這樣很容易讓初學(xué)者摸不著頭腦.實際上它把合同變換的每一個過程用矩陣形式表達出來，但是對于初學(xué)者來說是不容易理解的.因此，在這個教學(xué)過程中教師要著重強調(diào)矩陣的乘法運算和它的初等變換的關(guān)系在這里的應(yīng)用，也就是通常所說的合同變換法.下面以文獻[3]中第219頁例2為例，不同于該例的解答過程，筆者利用矩陣的合同變換法來解答.

例? [3] 化二次型f（x1，x2，x3）=2x1x2+2x1x3-6x2x3成標準形.

解 ?二次型矩陣 A =? 0 1 1 1 0 -3 1 -3 0? ，

構(gòu)造矩陣

A ??E??? ??對 A 子塊實施初等行變換，再對?? A ??E?? 實施相應(yīng)的初等列變換 ?????Λ ??C

注：當 A 對應(yīng)的子塊是對角陣，就可以停止計算，而下面的矩陣 C 就是所做的非退化的線性替換? x1 x2 x3? = C?? y1 y2 y3? 的系數(shù)矩陣.

A ??E?? =? 0 1 1 1 0 -3 1 -3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1?? r1+r2? ??1 1 -2 1 0 -3 1 -3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

c1+c2 ??2 1 -2 1 0 -3 -2 -3 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1

r2+r1× - 1 2? ，r3+r1

2 1 -2 0 - 1 2? -2 0 -2 -2 1 0 0 0 1 0 0 0 1??? c2+c1× - 1 2? ，c3+c1 ??2 0 0 0 - 1 2? -2 0 -2 -2 1 - 1 2? 1 0 1 0 0 0 1

r3+r2×（-4）? ??2 0 0 0 - 1 2? -2 0 0 6 1 - 1 2? 1 0 1 0 0 0 1??? c3+c2×（-4）

2 0 0 0 - 1 2? 0 0 0 6 1 - 1 2? 3 0 1 -4 0 0 1? ?.

故令非退化的線性替換? x1 x2 x3? =? 1 - 1 2? 3 0 1 -4 0 0 1??? y1 y2 y3? ，

從而二次型f=2y21- 1 2 y22+6y23.

這個解答過程進一步體現(xiàn)了矩陣的乘法運算和初等變換之間的關(guān)系.

三、理解線性空間的概念，實現(xiàn)從具體到抽象的過渡

線性空間概念的引入，意味著數(shù)學(xué)從經(jīng)典代數(shù)學(xué)向近代的代數(shù)學(xué)邁出了關(guān)鍵性的一步，已經(jīng)擺脫了數(shù)及其四則運算的局限性，進入了一類不是由普通的數(shù)構(gòu)成的集合.在這個集合中給出了不同于普通數(shù)的兩種新的運算，意味著研究對象從具體上升到了抽象.數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)，它的任務(wù)就是要從感性上升到理性，從具體上升到抽象，只有這樣，才有理論上的實質(zhì)性進展，我們對該理論的認識才能深入，該理論的應(yīng)用領(lǐng)域才能更加寬廣[1].之前我們單獨研究多項式、研究矩陣、研究連續(xù)函數(shù)等，直到線性空間的產(chǎn)生，使得這些具體的研究對象，都可以統(tǒng)一到線性空間中去研究.特別在線性空間的概念的引入過程中，教師需要向?qū)W生充分展示數(shù)學(xué)思維方式的全過程，即觀察客觀現(xiàn)象，從具體的研究對象出發(fā)，抓住它們的主要特征，抽象出概念，或者建立數(shù)學(xué)模型.這樣讓學(xué)生不僅了解什么是線性空間，更讓學(xué)生從中受到數(shù)學(xué)思維方式的熏陶和訓(xùn)練.另外，在文獻[3]中第六章線性空間的最后一節(jié)為何會提到同構(gòu)映射呢？實際上通過同構(gòu)映射又將抽象的線性空間轉(zhuǎn)化到具體的有序數(shù)組構(gòu)成的向量空間中，使得線性空間中抽象的向量可以用坐標這樣的有序數(shù)組來表示，又實現(xiàn)了從抽象到具體的一個思維過程.事實上，從具體到抽象，再從抽象到具體，這樣循環(huán)下去，就是一個基本的代數(shù)研究方法.此外，同構(gòu)映射的提出也為高等代數(shù)后面研究線性映射埋下了鋪墊.

四、小 結(jié)

本文筆者從高等代數(shù)的教材中提取了一些重難點來分析，同時給出在教學(xué)過程中相應(yīng)的教學(xué)策略.總體而言，高等代數(shù)的教學(xué)過程中需注重“觀察—抽象—探索—猜測—論證”的思維方式[2]，使學(xué)生感受到從具體到抽象，再從抽象到具體的循環(huán)的研究過程，使學(xué)生從中受到數(shù)學(xué)思維方式的熏陶.

【參考文獻】

[1]藍以中.高等代數(shù)簡明教程（上、下冊）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2013.

[2]邱維聲.高等代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2014.

[3]王萼芳，石生明.高等代數(shù)：第4版[M].北京：高等教育出版社，2013.