陳貴磊 邊平勇

【摘要】 利用鞅論的方法得到了復(fù)合負(fù)二項(xiàng)模型中盈余首次和末次到達(dá)一給定水平的時(shí)間的分布特征，并導(dǎo)出了 幾個(gè)概率等式，同時(shí)也討論了其他一些相關(guān)變量的數(shù)字特征.

【關(guān)鍵詞】 負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)序列;盈余;鞅

【基金項(xiàng)目】 泰安市2016年科技計(jì)劃項(xiàng)目.

本文研究了離散的復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型，給出了初始資本為零、單位時(shí)間收取保費(fèi)為1的理想假設(shè)下，盈余首次達(dá)到給定水平時(shí)刻的矩母函數(shù)的兩種表示方法、盈余末次達(dá)到給定水平時(shí)刻的數(shù)字特征.

一、模型描述

定義1.1[2] ?設(shè)u≥0，c>0，假設(shè)：

（1）X1，X2，…是取值于（0，+∞）的獨(dú)立、同分布的隨機(jī)變量，共同分布為F（x）;（2）{N（n）}∞n=0服從參數(shù)為（n，p）的負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)序列;（3）{Xi}∞i=1與{N（n）}∞n=0相互獨(dú)立.

令U（n）=u+cn-S（n），S（n）=∑ N（n） i=1 Xi（n=0，1，2，…），則稱{U（n）}∞n=0為復(fù)合負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型，簡(jiǎn)記為CNBRM{U（n）}∞n=0.模型中，u表示保險(xiǎn)公司的初始資本，c表示單位時(shí)間收取的保費(fèi)，Xi表示第i次發(fā)生的理賠額，N（n）表示n個(gè)單位時(shí)間上總共發(fā)生的理賠次數(shù)，稱cn-∑ N（n） i=1 Xi為盈余過程，U（n）為保險(xiǎn)公司在時(shí)刻n的盈余.關(guān)于模型CNBRM{U（n）}∞n=0，假定c> q p p1（pi=E（Xi）），可定義安全系數(shù)θ，使c=（1+θ） q p p1成立.

二、主要結(jié)果

（一）盈余首次達(dá)到給定水平時(shí)刻的數(shù)字特征

為方便討論，假設(shè)初始資本為0，單位時(shí)間內(nèi)保險(xiǎn)公司按單位收取保費(fèi)，即：u=0，c=1，從而U（n）=n-S（n），S（n）=∑ N（n） i=1 Xi（n=0，1，…），為使保險(xiǎn)公司穩(wěn)定經(jīng)營，設(shè)1> qμ p ，其中，μ=E（X），p+q=1，所以模型{U（n）}∞n=0的盈余總保持為正，又由于盈余過程{U（n）}∞n=0總是自由向上跳動(dòng)的，所以對(duì)任意給定水平x，盈余過程將會(huì)不止一次達(dá)到，不妨假設(shè)T=min{n：U（n）=x}表示盈余首次達(dá)到給定水平x的時(shí)刻.

T的矩母函數(shù)可通過下列方法得到：對(duì)常數(shù)r，s，有

E（e-rU（n）+sn）=E（e-r（n-S（n））+sn）=e（s-r）nE（erS（n））=e（s-r）n ?p 1-qm（r）? n= es-r p 1-qm（r）? n，

其中m（r）=E（erX）為理賠量X的矩母函數(shù).令r，s滿足關(guān)系

s=r+ln（1-qm（r））-lnp， （2.1）

則過程{e-rU（n）+sn}∞n=0是一鞅.

假設(shè)s=s（r）滿足式（2.1），選擇時(shí)刻T為一停時(shí)時(shí)刻，利用可選時(shí)定理，得E（e-rU（T）+sT）=1.

由于U（T）=x，E（esT）=erx. （2.2）

式（2.2）即為T的矩母函數(shù).

令φ（s）=lnE（esT）表示T 的累積矩母函數(shù)，則φ（s）=rx，因?yàn)棣铡洌╯）= dr ds x= x s′（r） =? x（1-qm（r）） 1-qm（r）-qm′（r） ，

令s=r=0，得E（T）= xp p-qμ .

類似地，有

φ″（s）= 1 s′（r）? dφ′（s） dr

=x q（1-qm（r））（m″（r）+q（m′（r））2-qm（r）m″（r）） （1-qm（r）-qm′（r））3 .

令s=r=0，得Var（T）= xpq（p2+qμ2-qp2） （p-qμ）3 ，

其中p2=E（X2）.

令Ti表示第i次理賠發(fā)生的時(shí)刻，給定Sk，設(shè){U（n）}∞n=0將在第k次與第k+1次理賠之間即在區(qū)間[Tk，Tk+1]內(nèi)的時(shí)刻Sk+x達(dá)到水平x，其中Sk=∑ k i=1 Xi，注意N（Sk+x）=k，故

P{U（Sk+x）=x|Sk}=CkSk+x+k-1pSk+xqk（k=0，1，2，…）， （2.3）

所以P{T=Sk+x|Sk}= x Sk+x CkSk+x+k-1pSk+xqk（k=0，1，2，…）.

故得到T的矩母函數(shù)的另一種形式

E（esT）=x∑ ∞ k=0 E CkSk+k+x-1pSk+xqkes（Sk+x） 1 Sk+x? . （2.4）

（二）盈余末次達(dá)到給定水平時(shí)刻的數(shù)字特征

令T 表示{U（n）}∞n=0最后一次到達(dá)水平x的時(shí)刻，給定Sk，{U（n）}∞n=0在區(qū)間[Tk，Tk+1]內(nèi)達(dá)到給定水平x的條件概率由（2.3）式給出，由于{U（n）}∞n=0將不再返回水平x的概率為1-pμ，則P{T =Sk+x|Sk}=CkSk+x+k-1pSk+xqk（1-pμ）（k=0，1，2，…）.

由此，T 的矩母函數(shù)為

E（esT ）=（1-pμ）∑ ∞ k=0 E（CkSk+k+x-1pSk+xqkes（Sk+x）），

與式（2.4）比較，得E（esT ）= 1-pμ x · dE（esT） ds ，

由式（2.1）、式（2.2），得

E（esT ）= 1-pμ x? dE（esT） ds = 1-pμ x? 1 s′（r）? derx dr = 1-pμ x ·? 1-qm（r） 1-qm（r）-qm′（r） xerx= （1-pμ）（1-qm（r）） 1-qm（r）-qm′（r） erx，

設(shè)D=T -T表示首次和末次到達(dá)水平x的時(shí)間間隔，因T ，T相互獨(dú)立，故

E（esD）=E（es（T -T））=E（esT e-sT）=E（esT ）E（e-sT）= E（esT ） E（esT） = （1-pμ）（1-qm（r）） 1-qm（r）-qm′（r） .

令ψ（s）=lnE（esD）=ln（1-pμ）-ln 1- qm′（r） 1-qm（r）? .? （3.1）

為D的累積母函數(shù)，它的一階導(dǎo)數(shù)

ψ′（s）= 1 s′（r）? dψ（s） dr = qm″（r）（1-qm（r））+q2（m′（r））2 （1-qm（r）-qm′（r））2 ，

從而E（D）=ψ′（0）= pqp2+q2μ2 （p-qμ）2 ，對(duì)式（3.1）關(guān)于s兩次求導(dǎo)，并令s=r=0，得

Var（D）=ψ″（0）

= q2（p3p2-p3pqμ-q2μ2p2+3qp2pμ+2pqp22+2q2μ3+2q2μp2） （p-qμ）4 ，

其中p3=E（X3）.