王尊

放縮問題是導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，也是高考?jí)狠S題中的常見題型，是沖刺高分、滿分所必須攻克的難關(guān)，其門目復(fù)雜，變種繁多，但仍然有章可循.

一、據(jù)題目信息放縮

例1 ??已知f（x）=e-x-ax（x∈ R ）.

（1）當(dāng)x≥0時(shí)，f（-x）-ln（x+1）≥1，求a范圍.

（2）求證e2- e ≤ 3 2 .

解 ?（1）略.答案：a∈[-2，+∞）.

（2）（分析：要證lne2- e ≤ln 3 2 ，只需證： e ≥2-ln 3 2 .）

由（1）得ex-2x+ln（x+1）≥1，

令x= 1 2 ，得 e -1+ln 3 2 ≥1，

∴l(xiāng)n 3 2 ≥2- e ，即e2- e ≤ 3 2 .

總結(jié)：目標(biāo)不等式與原不等式有較大的相似性，可考慮利用第一問結(jié)論加以證明.

例2 ??已知b∈[-1，0]，c∈[-2，0]，函數(shù)f（x）=x3+3bx2+3cx，求極值.

解 ?f（x1）∈ -10，- 1 2? ，x1∈[1，2]，

f′（x）=0 x21=-2bx1-c，

∴f（x1）=x31+3bx21+3cx1=- 1 2 x31+ 3c 2 x1.

又∵b∈[-1，0]，c∈[-2，0]，

∴f（x1）在[1，2]單調(diào)遞減，

f（2）≤f（x1）≤f（1），即4b+4c≤f（x1）≤b+2c，

即-10≤f（x1）≤- 1 2 .

總結(jié)：利用極值點(diǎn)的特殊性，f′（x）=0.不但可在所求問題中進(jìn)行代換，還能用于對(duì)數(shù)、指數(shù)互化，也用于本題中的降冪處理，之后再利用x1的范圍進(jìn)行求解.

二、常見放縮、不等式放縮

常見放縮多從泰勒公式出發(fā)，平時(shí)對(duì)常用的放縮形式記憶，考試中亦可根據(jù)所需形式用泰勒展開推導(dǎo)出想用的形式.

f（x）= f（x0） 0！ + f′（x0） 1！ （x-x0）+ f″（x0） 2！ （x-x0）2+…+ fn（x-x0）n n！ +Rn（x）.

常用形式： ex≥x+1， lnx≥1- 1 x ， lnx≤x-1， sinx≤x， cosx≥1- x2 2 .

注意：推導(dǎo)時(shí)注意舍去的項(xiàng)之和的正負(fù)，以判斷不等號(hào)方向.

如，欲證g（x）=ex+ 1 x+1 +a≥0;a≥-2，

可以證g（x）=ex+ 1 x+1 +a≥（x+1）+ 1 x+1 +a≥2 （x+1）· 1 x+1? +a=2+a≥0;x≥-1.

便是常見放縮與不等式放縮的綜合.

不等式放縮又可用于根式中，常與均值不等式結(jié)合.

如， x+1 =1× x+1 ≤ 12+（ x+1 ）2 2 = x+2 2 = x 2 +1.

如此化簡(jiǎn)題目中的根式，避免通過(guò)平方導(dǎo)致次數(shù)升高.

三、常數(shù)放縮

① 常數(shù)放縮：欲證ax2+bx≥clnx+1.792，x∈[m，n]，

可證：ax2+bx≥clnx+2.

可化簡(jiǎn)運(yùn)算，若欲證的不等式在處理過(guò)程中必須對(duì)復(fù)雜常數(shù)平方，開方的話，這種放縮就顯得更加優(yōu)越.

② 參數(shù)放縮：

例如，已知a≤1，證明x+1-a≥0，

即x2+1-a≥x2+1-1=x2≥0.

這是一個(gè)簡(jiǎn)單形式，但在具體題目中卻容易被忽視，是應(yīng)該格外注意的一種形式.

四、分步放縮

2x3-3x2-3lnx≥e2的證明，g（x）=2x3-4x2，h（x）=x2-3lnx.

再分別求最小值.注意，g（x），h（x）未必在相同x值處取最值，但必須保證g（x），h（x）存在最值，若無(wú)最值，則須對(duì)g（x），h（x）做進(jìn)一步處理，令其出現(xiàn)最值.

五、常見放縮推導(dǎo)其他放縮

① 換元：lnx≤x-1 ln（x+1）≤x+1-1=x.

② 不等號(hào)方向的扭轉(zhuǎn).

欲證ex+ax≤lnx，x∈（m，n），若欲用lnx≤x-1，則ex+ax≤x-1不能推出ex+ax≤lnx，這是因?yàn)榈忍?hào)方向不滿足證明要求.

調(diào)整不等號(hào)方向：lnx≤x-1，

∴l(xiāng)n 1 x ≤ 1 x -1，

∴-lnx≤ 1 x -1，∴l(xiāng)nx≥1- 1 x .

從而將“≤”換為“≥”，再利用ex+ax≤1- 1 x ?ex+ax≤lnx.

六、放縮失敗的處理方法

有時(shí)放縮過(guò)強(qiáng)會(huì)導(dǎo)致結(jié)果不嚴(yán)格，可縮小放縮的“步伐”.

例如，估計(jì)ln 3 2 的近似值， 2 3? x- 1 x? - 1 12? x2- 1 x2? ≤ lnx≤ 1 2? x- 1 x? ，

ln 3 2 ≤ 1 2?? 3 2 - 2 3? = 5 12 ≈0.4167，

ln 3 2 > 2 3?? 3 2 - 2 3? - 1 12?? 9 4 - 4 9? ≈0.4051.

結(jié)果不嚴(yán)格，于是縮小“步伐”：

ln 3 2 =ln 5 4 +ln 6 5 ≤ 1 2?? 5 4 - 4 5? + 1 2?? 5 6 - 5 6? <0.409，

ln 3 2 =ln 5 4 +ln 6 5 ≥? 2 3?? 5 4 - 4 5? - 1 12?? 25 16 - 16 25?? +

2 3?? 6 5 - 5 6? - 1 12?? 36 25 - 25 36?? >0.406.

用 6 5 ， 5 4 代入可使得偏差減小，削弱放縮的強(qiáng)度.

類似思想應(yīng)用于數(shù)列放縮的失敗中，可以保留前幾項(xiàng)，再對(duì)后面的項(xiàng)放縮，這也是削弱放縮的方法.