徐懷壽

【摘要】 函數(shù)的零點是高中數(shù)學(xué)新課改后的新增內(nèi)容，在試題中.既會在選擇題和填空題中出現(xiàn)，還會在解答題中出現(xiàn)，多以求函數(shù)的零點個數(shù)、參數(shù)的取值與范圍問題的考查為主，由于在處理零點問題時經(jīng)常會涉及等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想和分類討論思想，所以函數(shù)的零點是高考的重點也是高考的熱點.

【關(guān)鍵詞】 函數(shù)零點;等價轉(zhuǎn)化;取值范圍

對函數(shù)y=f（x），我們把使f（x）=0的實數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）的零點，所以方程f（x）=0有實數(shù)根函數(shù)的圖像與x軸有交點函數(shù)y=f（x）有零點.在題目的考查中經(jīng)常會出現(xiàn)如下幾類題型：

一、確定函數(shù)的零點個數(shù)及利用零點個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍

要判斷函數(shù)的零點個數(shù)一般我們有如下的思路：（1）直接法：令f（x）=0，如果能求出解，解有幾個就有幾個零點.（2）利用零點存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)（如單調(diào)性）才能確定函數(shù)有幾個零點.（3）數(shù)形結(jié)合法：畫出兩個函數(shù)圖像，看其交點的個數(shù)有幾個，就有幾個不同的零點.同時對一些含參的相關(guān)問題，我們在處理的時候，有時需要先做大量的等價轉(zhuǎn)化，如要確定函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的零點可轉(zhuǎn)化為求f（x）=g（x）的根，也就是函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的交點問題.

例1 ??（2012年天津卷）函數(shù)f（x）==2x+x3-2在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點個數(shù)是（? ）.

A.0??

B.1??

C.2??

D.3

解析一 ?∵f（0）f（1）<0，且函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且連續(xù)，∴函數(shù)y=f（x）區(qū)間（0，1）內(nèi)有且只有1個零點，可知B正確.

解析二 ?該函數(shù)在區(qū)間（0，1）的零點可以等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2x和y=2-x3的交點問題，如圖所示，在區(qū)間（0，1）內(nèi)，兩圖像有一個交點，所以選B.

例2 ??（2015年湖南卷）函數(shù)f（x）=2sinxsin ?π 2 +x -x2的零點個數(shù) .

解析 ?函數(shù)y=f（x）的零點實際是函數(shù)y=2sinxsin ?π 2 +x =sin2x與y=x2的兩圖像的交點，如圖所示不難看出這兩個函數(shù)只有一個交點，所以函數(shù)y=f（x）只有一個零點.

例3 ??（2015年湖南卷）函數(shù)f（x）= ?x3（x≤a）， x2（x>a）， ?若存在實數(shù)b，使函數(shù)g（x）=f（x）-b有兩個零點，則a的取值范圍是 .

解析 ?函數(shù)y=x2和y=x3的交點是（0，0），（1，1），函數(shù)g（x）=f（x）-b有兩個零點，則f（x）-b=0有兩個根，即直線y=b和y=f（x）有兩個交點.做出y=x2和y=x3的圖像，可知當(dāng)a<0時，存在實數(shù)b，使f（x）-b=0有兩個根;當(dāng)a>1時，存在實數(shù)b，使f（x）-b=0有兩個根;當(dāng)0≤a≤1時，f（x）-b=0只有一個根或無根;當(dāng)a<0或a>1時，f（x）-b=0有兩個根，綜上我們可以確定a的取值范圍為a<0或a>1.這道題考查了數(shù)學(xué)分類討論思想，函數(shù)零點尤其是含參問題中經(jīng)?？疾榉诸愑懻撍枷?

二、確定函數(shù)的零點所在區(qū)間

確定函數(shù)零點位置是高考考查的重點和難點，不僅選擇填空直接考查，而且解答題當(dāng)中也經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)一起考查，確定函數(shù)零點所在的區(qū)間有如下的方案：（1）對應(yīng)函數(shù)的方程簡單時，直接求出方程的解，觀察解所在的區(qū)間即為零點的區(qū)間.（2）利用零點存在定理：如果函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)的零點就在區(qū)間（a，b）內(nèi).（3）通過做出函數(shù)的圖像，觀察圖像與x軸在所給的區(qū)間是否有交點來判斷.

例4 ??（2011全國新課標(biāo)）在下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）=ex+4x-3的零點所在的區(qū)間為（? ）.

A. - 1 4 ，0

B. 0， 1 4

C. ?1 4 ， 1 2

D. ?1 2 ， 3 4

解析1 ?由于函數(shù)y=f（x）為單調(diào)增函數(shù)，而f? 1 4? =e 1 4 +1-3=e 1 4 -2<0，f? 1 2? =e 1 2 +2-3=e 1 2 -1>0，根據(jù)零點存在定理，由于f? 1 4? ·f? 1 2? <0，所以y=f（x）零點所在區(qū)間為C.

解析2 ?函數(shù)f（x）=ex+4x-3的零點也就是方程ex+4x-3=0的根，也是函數(shù)y=ex和y=-4x+3的交點的橫坐標(biāo)，所以問題轉(zhuǎn)化為通過圖像觀察這兩個函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)所在的范圍，如圖所示可知答案為C.

例5 ??若a<b<c，則函數(shù)f（x）=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）兩個零點分別位于區(qū)間（? ）.

A.（a，b）和（b，c） B.（-∞，a）和（a，b）

C.（b，c）和（c，+∞） D.（-∞，a）和（c，+∞）

解析 ?∵a<b<c，∴f（a）=（a-b）（a-c）>0，∴f（b）=（b-a）（b-c）<0，∴f（c）=（c-b）（c-a）>0，由函數(shù)零點存在定理判斷可知：在區(qū)間（a，b）和（b，c）內(nèi)分別 存在一個零點，而函數(shù)y=f（x）是二次函數(shù)，最多有兩個零點，所以函數(shù)y=f（x）的兩個零點分別位于區(qū)間（a，b）和（b，c）.

另外利用零點相關(guān)問題還可以解決函數(shù)與方程關(guān)系的應(yīng)用的相關(guān)問題.利用兩者的關(guān)系，可以把方程有解的條件化為求函數(shù)的值域問題，把求函數(shù)的零點化為解方程或反之以解決相關(guān)問題.