石瑛瑩

摘要：在教學(xué)中如何培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是對一線教師提出的新要求，本文通過拓展課程的兩個不同設(shè)計--知識拓展課程設(shè)計和技能拓展課程設(shè)計的對比詳細介紹了如何做到拓展課程教學(xué)形式的多元化、內(nèi)容設(shè)計的合理性及課堂的高效性，對通過拓展課程發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效性做了深入的研究。

關(guān)鍵詞：拓展課程；知識拓展；技能拓展；發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2017）12-0129-03

1.背景介紹

筆者所在學(xué)校是區(qū)教育局直屬公辦初中，現(xiàn)有班級45個，在校學(xué)生2500余人。"讓每個學(xué)生有夢想有希望"是我校的辦學(xué)理念，作為公辦初中辦學(xué)行為必須規(guī)范，在私立學(xué)校狠抓成績的對比下，公辦學(xué)校既要出成績又要兼顧學(xué)生的特長發(fā)展，讓每個學(xué)生有夢想有希望，對學(xué)校管理者和一線教師就提出了挑戰(zhàn)。為了貫徹黨的教育方針，落地立德樹人，更好地幫助每一位初中生實現(xiàn)全面且有個性的發(fā)展，根據(jù)《教育部關(guān)于全面深化課程改革 落實立德樹人根本任務(wù)的意見》和《浙江省深化義務(wù)教育課程改革指導(dǎo)意見》等相關(guān)文件精神，校領(lǐng)導(dǎo)帶領(lǐng)一線教師著力進行深化課程改革的探索與實踐。

從培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)出發(fā)，對基礎(chǔ)性課程進行銜接、整合和拓展，架構(gòu)起我校課程的6大領(lǐng)域、11門基礎(chǔ)學(xué)科、11大MX拓展課程群。

"MX拓展課程"之名取自"讓每個學(xué)生有夢想有希望"中的"夢想"與"希望"的第一個字的大寫字母"M"和"X"。"M"代表興趣特長和社會實踐拓展課，"X"代表知識拓展課。

作為數(shù)學(xué)老師，面對的課題是開發(fā)X拓展課程中的數(shù)學(xué)與思維拓展課，經(jīng)過反復(fù)思考論證后按學(xué)生的學(xué)情開展了數(shù)學(xué)知識拓展與數(shù)學(xué)技能拓展兩部分拓展課。分階段實施，每周2節(jié)課，時間安排在周五下午第五節(jié)和第六節(jié)課，由學(xué)生自主報名選擇參加知識拓展課或技能拓展課，教師審核，學(xué)生自主選擇適合自己課程的前提是教師在學(xué)生的自我評價的銀行里存儲了足夠的資本，為學(xué)生能夠正確的選擇適合自己的拓展課做好了準備，以增加教師審核的通過率。實行年級組內(nèi)走班。老師根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，結(jié)合學(xué)生已有經(jīng)驗、發(fā)掘教學(xué)資源依托備課組的集體合作對教材進行二次開發(fā)，進行學(xué)科知識拓展與學(xué)科技能拓展以期望對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有較大提升。

2.《乘法公式》的知識拓展課與技能拓展課教學(xué)研究對比

2.1對于知識拓展課的教學(xué)研究。教學(xué)內(nèi)容分析：本文是依據(jù)浙教版《數(shù)學(xué)》七年級下冊3.4乘法公式第1課時"平方差公式"設(shè)計的拓展課程，本節(jié)課是在學(xué)習(xí)教材乘法公式第1節(jié)新課后設(shè)計的拓展課程，探索平方差公式的八種變化形式。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生仔細觀察、總結(jié)歸納規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

學(xué)生認知基礎(chǔ)：本節(jié)拓展課的學(xué)習(xí)主體是選報知識拓展課程的同學(xué)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過平方差公式的基礎(chǔ)上已經(jīng)掌握了基本的使用平方差公式進行計算和應(yīng)用公式的能力，為本節(jié)探索公式的變化做好準備。

教學(xué)目標：（1）在學(xué)生進行知識拓展的同時培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。（2）發(fā)展數(shù)學(xué)建模意識。（3）發(fā)展觀察的細致性，歸納的條理性。（4）培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

教學(xué)重點：平方差公式的八種變化形式。

教學(xué)難點：增因式變化及增項變化。

教學(xué)過程：

（一）復(fù)習(xí)引入新課

請同學(xué)們寫出平方差公式：___________。

（二）知識拓展：

（1）請同學(xué)們計算下列題組。

①（b+a）（-b+a）②（-a-b）（a-b）

③（2a+3b）（2a-3b）④（a2+b2）（a2-b2）

⑤（a+b）（a-b）（-a-b）（-a+b）

⑥（a-b-c）（a-b+c）⑦（a-b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）

⑧a2-b2

學(xué)生練習(xí)后到黑板板演。教師帶領(lǐng)學(xué)生校對批改后，請學(xué)生總結(jié)歸納規(guī)律。

平方差公式的8種變化形式

①位置變化：（b+a）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2

②符號變化：（-a-b）（a-b）=？（a+b）（a-b）=-（a2-b2）

③系數(shù)變化：（2a+3b）（2a-3b）=（2a）2-（3b）2=4a2-9b2

④指數(shù)變化：（a2+b2）（a2-b2）=（a2）2-（b2）2

⑤增因式變化：（a+b）（a-b）（-a-b）（-a+b）=（a2-b2）[（-a）2-b2 ]

⑥增項變化：（a-b-c）（a-b+c）= （a-b）2-c2

⑦連用公式變化：（a-b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）=a8-b8

⑧逆用公式變化：a2-b2=（a+b）（a-b）

（三）拓展習(xí)題

（1）下列運用平方差公式計算，錯誤的是（ ）。

A.（b+a）（a﹣b）=a2﹣b2

B.（m2+n2）（m2﹣n2）=m4﹣n4

C.（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1

D.（2﹣3x）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4

（2）下列各式中，運算結(jié)果是9m2﹣16n2的是（ ）。

A.（3m+2n）（3m﹣8n）

B.（﹣4n+3m）（﹣4n﹣3m）

C.（﹣3m+4n）（﹣3m﹣4n）

D.（4n+3m）（4n﹣3m）

（3）（﹣3x2+2y2）（_______）=9x4﹣4y4.

（4）定義運算a？b=a2﹣b2，下面給出了關(guān)于這種運算的四個結(jié)論：endprint

①2？（﹣2）=0；②a？b=b？a；③若a？b=0，則a=b；④（a+b）？（a﹣b）=4ab，

其中正確結(jié)論的序號是_____（填上你認為所有正確結(jié)論的序號）。

（5）（x+2）（x﹣2）（x2+4）的計算結(jié)果是（ ）。

A.x4+16 B.﹣x4﹣16 C.x4﹣16 D.16﹣x4

6.王紅同學(xué)在計算（2+1）（22+1）（24+1）時，將積式乘以（2﹣1）得：

解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）

=（22﹣1）（22+1）（24+1）

=（24﹣1）（24+1）

=28﹣1

根據(jù)上題求：①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的個位數(shù)字。

② （3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（332+1）的值。

有效教學(xué)意圖：作為知識拓展課，重點知識回顧和基本技能的強化成為必不可少的環(huán)節(jié)，是防止學(xué)生知識遺忘和內(nèi)化知識逐步系統(tǒng)化的過程，但學(xué)生對于某些公式、定理的記憶經(jīng)常是機械的、枯燥的，在回顧公式的過程中，如果只是單純的采取展示概念或一味地練習(xí)題目都會使學(xué)生產(chǎn)生心理疲勞，繼而產(chǎn)生厭倦感，體會不到學(xué)習(xí)和探索知識的樂趣，不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。課堂教學(xué)設(shè)計時采用將知識點"小題化"的教學(xué)策略，利用變式題組對拓展知識加以探索、鞏固和歸納。題組的設(shè)計認知源于教學(xué)起點的選擇是先從學(xué)生的熟悉的平方差公式出發(fā)，再到由課本習(xí)題改編加深的拓展題，符合學(xué)生學(xué)習(xí)知識的最近發(fā)展區(qū)，更能夠充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)與探索的主動性，在學(xué)生的活動過程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.2對于技能拓展課的教學(xué)研究。教學(xué)內(nèi)容分析：本節(jié)課是在學(xué)習(xí)浙教版《數(shù)學(xué)》七年級下冊3.4乘法公式第2課時"完全平方公式"后設(shè)計的技能拓展課程，探索對完全平方公式的變形所得到的二階衍生等式。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)活動，通過本節(jié)內(nèi)容對完全平方公式有新的更全面的認識并構(gòu)建數(shù)學(xué)模型以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

學(xué)生認知基礎(chǔ)：本節(jié)拓展課的學(xué)習(xí)主體是選報技能拓展課程的同學(xué)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過平方差公式、完全平方公式的基礎(chǔ)上已經(jīng)掌握了使用公式進行計算和應(yīng)用公式的能力，為本節(jié)探索公式的二階衍生等式做好準備。

教學(xué)目標：（1）在學(xué)生深入探索數(shù)學(xué)問題的技能拓展課程中培養(yǎng)發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。（2）構(gòu)建數(shù)學(xué)建模意識。（3）提高化繁為簡的能力，發(fā)展思考的條理性。（4）解決復(fù)雜計算問題時，經(jīng)歷猜測、探索、計算、驗證等主動數(shù)學(xué)活動過程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

教學(xué)重點：二階衍生等式的探索。

教學(xué)難點：二階衍生等式所對應(yīng)的練習(xí)題。

教學(xué)過程：

（一）復(fù)習(xí)引入新課

兩數(shù)和的完全平方公_______，即兩數(shù)和的平方于_______。

兩數(shù)差的完全平方公_______，即兩數(shù)差的平方于_______。

（二）技能拓展：

（1）請同學(xué)們把兩個公式豎著對齊寫，并在公式后面標好①②，按如下三個指令探索。

（a+b）2=a2+2ab+b2①

（a-b）2=a2-2ab+b2②

指令1：①②兩式分別移項可得哪些式子；指令2：①-②可得什么式子；

指令3：①+②可得什么式子。

學(xué)生活動后得到如下結(jié)果：

①②兩式分別移項可得a2+b2=（a+b）2-2ab；a2+b2=（a-b）2+2ab

①-②可得（a+b）2=（a-b）2+4ab；

①+②可得（a-b）2=（a+b）2-4ab

學(xué)生小結(jié)：由（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2變形可得a+b，a-b，ab，a2+b2四者之間的相互關(guān)系。

（2）教師出示完全平方公式的一些其他常用的等式關(guān)系。請學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位每組選擇兩個等式進行證明，并板演。

①（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）

②（a+b）2-（a-b）2=4ab

③ab=（a+b2）2-（a-b2）2

④a2+1a2=（a+1a2）2-2

⑤a2+b2+c2+ab+bc+ac=12[（a+b）2+（b+c）2+（c+a）2]

⑥a2+b2+c2-ab-bc-ac=1a2[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]

3.拓展習(xí)題

（1）已知a+b=4，a﹣b=3，則求a2-b2。

（2）若a﹣b=1，則求代數(shù)式a2﹣b2﹣2b的值。

（3）若a+b=5，ab=2，則求a2+b2的值。

（4）若a+b=3，a﹣b=7，求ab。

（5）若a-b=5，ab=2，則分別求（a-b）2，（a+b）2，a+b， a2+b2，a2﹣b2的值。

（6）己知實數(shù)a、b滿足a+b=5，ab=3，則求a﹣b。

（7）若a+1a=4，分別求a2+1a的值和a-1a的值。

有效教學(xué)意圖：作為技能拓展課，在使用公式的過程中應(yīng)該充分體公式應(yīng)用的靈活性，根據(jù)學(xué)生對公式的掌握情況，以及具體的熟練程度在課堂中及時微調(diào)內(nèi)容安排。在引導(dǎo)學(xué)生對公式總體把握與應(yīng)用的同時，還要注重帶領(lǐng)學(xué)生把公式各種變形的來源和相互之間的聯(lián)系通過探索和體會等課堂活動生成自己的數(shù)學(xué)技能，比如探索求解過程中書寫的嚴密性、規(guī)范性，條件使用的完整性都必須落實到位，通過有效的數(shù)學(xué)活動發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

4.收獲與反思

以上僅是我們開展數(shù)學(xué)拓展課程中的一例。通過一學(xué)年數(shù)學(xué)拓展課程的開發(fā)和教學(xué)，有效彌補了學(xué)生學(xué)業(yè)水平參差不齊導(dǎo)致的課堂效率不高、抽測成績不理想的情況。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性都很活躍，對于不同程度學(xué)生都有個性化發(fā)展目標和課程內(nèi)容，帶領(lǐng)學(xué)生在參與數(shù)學(xué)拓展課程活動的過程中培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

綜上，不論是知識拓展課還是技能拓展課，作為教師在拓展課程的設(shè)計中，要學(xué)會給學(xué)生幾個問題，讓他們自己去探索、解決；給學(xué)生幾個條件，讓他們自己去思考、添加；給學(xué)生一個舞臺，讓他們?nèi)フ故咀约鹤蠲赖奈枳?。教師要甘做幕后?dǎo)演，設(shè)計有效的拓展課程，成為學(xué)生起航數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之路的護航者。

參考文獻：

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[3]王絢主編.初中新學(xué)案優(yōu)化與提高[Z].天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社，2017：57.endprint