潘龍生

函數(shù)作為基本的數(shù)學(xué)工具，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，合理地構(gòu)造函數(shù)，往往能夠找到巧妙的解法，但是由于函數(shù)構(gòu)造思維難度較大，不少同學(xué)對(duì)此無(wú)從下手，因此它又成為高中數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的一個(gè)難點(diǎn).本文擬以實(shí)例從不同角度探究構(gòu)造函數(shù)的策略，以期能對(duì)同學(xué)們以后的問(wèn)題解決起到引導(dǎo)作用，供參考.

一、類(lèi)比結(jié)構(gòu)特征，整體構(gòu)造函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性等性質(zhì)是函數(shù)的重要特征，在研究的問(wèn)題中如果有這些性質(zhì)的呈現(xiàn)或變形顯現(xiàn)，則可以利用問(wèn)題特性，整體構(gòu)造函數(shù).

二、直接移項(xiàng)合并，構(gòu)造單一函數(shù)

分析：解決兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題遠(yuǎn)不如研究一個(gè)單一函數(shù)簡(jiǎn)單，而函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)等價(jià)于合并為單一函數(shù)后圖象與x軸有三個(gè)零點(diǎn)，因此想到合并構(gòu)造為單一函數(shù).

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)研究問(wèn)題中含有多類(lèi)函數(shù)時(shí)，直接解決就比較復(fù)雜，突破這個(gè)難點(diǎn)的首選之策就是轉(zhuǎn)化為單一函數(shù)，而直接移項(xiàng)合并則是實(shí)現(xiàn)這種構(gòu)造的常見(jiàn)策略.

三、結(jié)構(gòu)變形整合，構(gòu)造雙新函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：若函數(shù)結(jié)構(gòu)類(lèi)型多樣，且難以轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)，則可以考慮歸類(lèi)整合，將原問(wèn)題構(gòu)造為兩個(gè)新函數(shù)去研究，通過(guò)兩個(gè)新函數(shù)的研究凸顯原問(wèn)題的本質(zhì).

四、分離變量構(gòu)造，轉(zhuǎn)為無(wú)參函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：參變共存，變量分離是研究含參問(wèn)題的一種重要手段，通過(guò)分離變量構(gòu)造，可以轉(zhuǎn)為無(wú)參函數(shù)，這種方法很大程度上避免了繁復(fù)的參變量討論，同時(shí)也簡(jiǎn)化了運(yùn)算，解題過(guò)程輕松簡(jiǎn)潔.

五、結(jié)合求導(dǎo)法則，轉(zhuǎn)抽象為特型

點(diǎn)評(píng)：抽象函數(shù)是函數(shù)考題中的一個(gè)常見(jiàn)面孔，它沒(méi)有具體表達(dá)式，對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō)是個(gè)難點(diǎn)，但這類(lèi)問(wèn)題出現(xiàn)時(shí)，往往又不是孤立的，導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則時(shí)常忽隱忽現(xiàn)，形影相隨，因此在求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)主動(dòng)聯(lián)想與問(wèn)題結(jié)構(gòu)和形式相對(duì)應(yīng)的求導(dǎo)法則，并通過(guò)對(duì)原結(jié)構(gòu)適當(dāng)變形使之適用于法則的形式，以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解.

六、主元引元構(gòu)造，換背景去類(lèi)比

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于多元問(wèn)題，可以將其中一個(gè)元視為主元或整體思考引進(jìn)新元，并構(gòu)造主元或新元為變量的函數(shù)，以新元的約束條件視為函數(shù)的定義域，其他元視為常數(shù)，從而通過(guò)改換原問(wèn)題的背景而類(lèi)比構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)解決.

七、兩側(cè)同取對(duì)數(shù)，同元組合構(gòu)造

點(diǎn)評(píng)：若求解問(wèn)題中某些項(xiàng)的底數(shù)和冪指數(shù)都含變量，直接構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行處理顯然是困難的，因?yàn)槠淝髮?dǎo)過(guò)程舉步維艱，此時(shí)，可以考慮采用同取自然對(duì)數(shù)的方法先轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，再進(jìn)行同元組合變形，構(gòu)造為平時(shí)學(xué)習(xí)中熟悉的、經(jīng)典的如y=lnx、y=lnx/x等函數(shù).