張靖華

函數(shù)F（x，y）=c+bx+ax2+ax2+dxy+ey2+ey2+fy+g中的后一個根號內的第一項是前一個根號內的末項，從第二項起至倒數(shù)第二項止，根號內的第二項是該根號內兩個變量積的倍數(shù).把形如這樣的函數(shù)稱之為接龍函數(shù).求這類接龍函數(shù)的極值問題，無論是采用常規(guī)的初等數(shù)學方法，還是采用高等數(shù)學的微分法都很難奏效，本文將借助余弦定理，采用數(shù)形結合的構造性方法，給出接龍函數(shù)F（x，y）=c+bx+ax2+ax2+dxy+ey2+ey2+fy+g在給定條件下的最值定理，并加以推廣.

定理1 若a，c，e，g∈R+，且Δ1=4ca-b2≥0，Δ2=4ae-d2≥0，Δ3=4eg-f2≥0.則函數(shù)

F（x，y）=c+bx+ax2+ax2+dxy+ey2+ey2+fy+g.

當x=cg·sin（α+β+γ）ca·sinα+ag·sin（β+γ），y=cg·sin（α+β+γ）eg·sinγ+ce·sin（α+β） 時，

有最小值：

F（x，y）min=c+g-2cg·cos（α+β+γ）;

或當x=dfΔ1+bfΔ2+bdΔ3-Δ1Δ2Δ34aeΔ1-2afΔ2-2adΔ3，y=dfΔ1+bfΔ2+bdΔ3-Δ1Δ2Δ34aeΔ3-2beΔ2-2deΔ1 時，

F（x，y）min=AC

=c+g-14ae（bΔ2Δ3+dΔ1Δ3+fΔ1Δ2）-bdf，

其中cosα=-b2ca，cosβ=-d2ae，cosγ=-f2eg，α，β，γ，∈[0，π].

證明 F（x，y）的三項均為非負數(shù)，故f（x，y）存在最小值是顯然的.

（1）當x≥0，y≥0時，

∵4ca-b2≥0，4ae-d2≥0，4eg-f2≥0，

∴-b2ca≤1，-d2ae≤1，-f2eg≤1.

令-b2ca=cosα，-d2ae=cos，β-f2eg=cosγ，

則F（x，y）=（c）2+（a·x）〗2-2c·a·x·-b2ac

+（a·x）2+（e·y）2-2a·xe·y·-d2ae

+（e·y）2+（g）2-2g·e·y·-f2eg

=（c）2+（a·x）2-2ca·x·cosα

+（a·x）2+（e·y）2-2ae·x·y·cosβ

+（e·y）2+（g）2-2eg·y·cosγ.

=f（x）+f（x，y）+f（y）.

以線段BC=c，曲線CD=f（x）;DE=f（x，y）;EA=f（y），線段AB=g為邊，以線段BD=ax，BE=ey為對角線，構造如圖所示的動態(tài)“五邊形ABCDE”.于是在△ABC中，由余弦定理得：

F（x，y）=f（x）+f（x，y）+f（y）≥AC

=c+g-2cg·cos（α+β+γ）.

利用余弦三角函數(shù)和差公式展開并整理得：

F（x，y）min=AC

=c+g-14ae（bΔ2Δ3+dΔ1Δ3+fΔ1Δ2）-bdf.

由圖知：僅當D，E在AC上時等號成立，設BE，BD分別交AC于E′，D′，

故S△CBD′+S△D′BA=S△ABC，S△ABE′+S△E′BC=S△ABC.

利用正弦三角函數(shù)面積公式，及相關的正弦三角函數(shù)和差公式并整理知：

當x=cg·sin（α+β+γ）ca·sinα+ag·sin（β+γ），y=cg·sin（α+β+γ）eg·sinγ+ce·sin（α+β） 時，

F（x，y）min=c+g-2cg·cos（α+β+γ）;

或當x=dfΔ1+bfΔ2+bdΔ3-Δ1Δ2Δ34aeΔ1-2afΔ2-2adΔ3，y=dfΔ1+bfΔ2+bdΔ3-Δ1Δ2Δ34aeΔ3-2beΔ2-2deΔ1 時，

F（x，y）min=AC

=c+g-14ae（bΔ2Δ3+dΔ1Δ3+fΔ1Δ2）-bdf.

（2）當x<0，y<0時，令x=-u，y=-v，F(xiàn)（x，y）=φ（-u，-v），仿（1）易證定理成立.

（3）當x≥0，y<0或x<0，y≥0時仿上做類似變換，易證定理仍然成立.

對上述定理稍加推廣便得到如下定理

定理2 若ai∈R+，Δi=4aiai+1-b2i≥0，且x0=xn+1=1，則n元接龍函數(shù)

F（x1，x2，…xn）=∑ni=0aix2i+bixixi+1+ai+1x2i+1的最小值為

F（x1，x2，…，xn）min=a0+an+1-2a0an+1·cos∑ni=0αi，

其中i=0，1，2，3…n，cosαi=-bi2aiai+1，αi∈[0，π]證明從略.