王錦根

【摘要】本文應(yīng)用反證法，通過(guò)數(shù)的互質(zhì)，4x-1與4x+1相互轉(zhuǎn)換，證明3x+1猜想成立.

【關(guān)鍵詞】角谷猜想;黑洞;互質(zhì)

一、“角谷猜想”概念

“角谷猜想”又稱“冰雹猜想”“哈塞猜想”“烏拉姆猜想”或“敘拉古猜想”它首先流傳于美國(guó)，不久便傳到歐洲，后來(lái)一位名叫角谷的日本人把它帶到亞洲，因而，人們就順勢(shì)把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”又叫奇偶?xì)w一猜想（英語(yǔ)：Collatz conjecture），是指對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對(duì)它乘3再加1，如果它是偶數(shù)，則對(duì)它除以2，如此循環(huán)，最終都能夠得到1.

取一個(gè)數(shù)字，如x=11（考慮屬于自然數(shù)范疇，在此處不用x表示，用n表示），根據(jù)上述公式，得出11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1.簡(jiǎn)化一下就是，11→34→17→52→13→40→5→16→1.（→未特別說(shuō)明，表示按照角谷猜想運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算）

應(yīng)該說(shuō)，角谷猜想是一種數(shù)學(xué)黑洞現(xiàn)象，它最終進(jìn)入1→4→1的循環(huán)圈.倒推過(guò)來(lái)可以得到這樣一類數(shù)，當(dāng)n=4k-13時(shí)，n展開來(lái)就是4k-1+4k-2+…+4+1，k∈N;具體為：1，5，21，85，…，4k-13（我們可以稱為“類黑洞數(shù)”），始終滿足角谷猜想，可惜不是全部奇數(shù)自然數(shù).

二、角谷猜想的黑洞

假設(shè)任一奇數(shù)n（n≠1），經(jīng)過(guò)3x+1若干步驟計(jì)算，仍能回到n，且n不等于1，那它就會(huì)在其他數(shù)字循環(huán)，則3n+1猜想不成立.

（一）一步循環(huán)

假設(shè)：3n+12k1=n，且n≠1，k1∈N，∴n=12k1-3.

（二）二步循環(huán)

假設(shè)33n+12k1+12k2=n，且n≠1，k1，k2∈N，

∴n=2k1+32k1+k2-32.

（三）三步循環(huán)

由于命題列式表示麻煩，我們直接得出其解

n=2k1+k2+3·2k1+322k1+k2+k3-33，且n≠1，k1，k2，k3∈N.

……

（四）i步循環(huán)

（同上）

n=2k1+k2+…+ki-1+3·2k1+k2+…+ki-2+32·2k1+k2+…+ki-3+…+3i-2·2k1+3i-12k1+k2+…+ki-3i，

且n≠1，k1，k2，…，ki∈N.

在證明之前，我們先了解兩個(gè)概念，一是互質(zhì)，二是公約數(shù)，公約數(shù)只有1和-1的兩個(gè)整數(shù)，叫作互質(zhì)整數(shù)，公約數(shù)只有1的兩個(gè)自然數(shù)，叫作互質(zhì)自然數(shù).

現(xiàn)在我們看看

n=2k1+k2+…+ki-1+3·2k1+k2+…+ki-2+32·2k1+k2+…+ki-3+…+3i-2·2k1+3i-12k1+k2+…+ki-3i，

且n≠1.

當(dāng)k1，k2，…，ki不全相等時(shí)，分子分母互質(zhì)，證明很簡(jiǎn)單（略）.

當(dāng)且僅當(dāng)，k1=k2=，…，=ki時(shí)，其最大公約數(shù)為2（i-1）·k1+3·2（i-2）·k1+32·2（i-3）·k1+…+3i-2·2k1+3i-1，否則沒(méi)有整數(shù)解.

當(dāng)k1=k2=，…=ki時(shí)，

n=2k1+k2+…+ki-1+3·2k1+k2+…+ki-2+32·2k1+k2+…+ki-3+…+3i-2·2k1+3i-12k1+k2+…+ki-3i

=12ki-3.

當(dāng)ki=2時(shí)，n=1與原命題矛盾，故3n+1猜想結(jié)果是1.

上述證明只在1→4→1中循環(huán)，大于1的奇數(shù)是如何回到1的呢？

三、證明

在證明之前，我們來(lái)說(shuō)明幾個(gè)普遍現(xiàn)象，如果x→1，則4x+1→1，16x+5→1，64x+21→1，….

所以我們說(shuō)所有奇數(shù)回到“1”的唯一途徑必須符合4x+1形式，如n=4k-13時(shí)，n展開來(lái)就是4k-1+4k-2+…+4+1，k∈N;具體為：1，5，21，85，…，4k-13.

需要強(qiáng)調(diào)的是，除以1以外，奇數(shù)可表現(xiàn)為4x-1和4x+1兩種形式或集合（這里奇數(shù)“1”是特例，黑洞）.

例1假設(shè)奇數(shù)x經(jīng)過(guò)3x+1規(guī)則→1，則4x+1經(jīng)過(guò)3x+1規(guī)則必然→1.

證明當(dāng)3x+1→1，那么3·（4x+1）+14=3x+1→1，即證.容易求得進(jìn)行黑洞1前的4x+1形式是4k-13（也可稱為類黑洞數(shù)）.說(shuō)明任一個(gè)奇數(shù)，經(jīng)過(guò)3x+1規(guī)則要進(jìn)入黑洞1時(shí)，前提必須是4x+1形式，再次是類黑洞數(shù)，直至黑洞1.

例24x-1形式轉(zhuǎn)換4x+1形式.

解第一步：4x-1→6x-1=

12x1-7（當(dāng)x為奇數(shù)，屬于4x+1形式）

12x1-124x2-13（當(dāng)x為奇數(shù)，屬于4x-1形式）

24x2-1（當(dāng)x為偶數(shù)，仍屬于4x-1形式）（1）

（2）

（3）

對(duì)于（2）式，24x2-13→36x2-19屬于4x+1形式，….

對(duì)于（3）式，當(dāng)x1=2x2，x2=2x3，x3=2x4，…，為符合4x-1這一形式的奇數(shù)必為2（k+1）-1，k∈N（自然數(shù)）.

第二步：2（k+1）-1按照3x+1規(guī)則運(yùn)行k次化為2·3k-1，即4x+1形式.

結(jié)論4x-1形式經(jīng)過(guò)3x+1規(guī)則轉(zhuǎn)換，一定能夠轉(zhuǎn)換為4x+1形式.4x+1形式經(jīng)過(guò)3x+1規(guī)則可經(jīng)過(guò)4x-1形式，但僅僅是中間過(guò)程.基于不存在1以外的黑洞，4x-1形式、4x+1形式經(jīng)過(guò)3x+1規(guī)則轉(zhuǎn)換的最終結(jié)果，肯定是類黑洞數(shù)的4x+1形式.

綜上所述，任何一個(gè)奇數(shù)，經(jīng)過(guò)3x+1規(guī)則，均在形式4x-1與形式4x+1之間轉(zhuǎn)換，最終定格在4x+1形式而落入類黑洞數(shù)4k-13.

證畢