趙曉輝 楊廣武

【摘要】本文試圖用辯證唯物論觀點分析復(fù)變函數(shù)論的發(fā)生和發(fā)展以及復(fù)變函數(shù)與實變實函數(shù)的關(guān)聯(lián)和區(qū)別.

【關(guān)鍵詞】實變實函數(shù)；復(fù)變函數(shù)；類同；區(qū)別

【基金項目】河北省教委基金資助項目（2350044）.

復(fù)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)分析的后繼課之一（本文所指為單復(fù)變函數(shù)論，下同）.在教與學(xué)中，如何認識和處理二者之間的關(guān)系，我們也想談一點意見.

我們一直堅持主張，要用辯證唯物主義和歷史唯物主義的世界觀來認識數(shù)學(xué)學(xué)科.復(fù)變函數(shù)的發(fā)生和發(fā)展，也是符合辯證唯物主義的認知論的，它是因科學(xué)和實際應(yīng)用的需要而有一個發(fā)生和發(fā)展的過程的，而且至今還在繼續(xù)發(fā)展著.

第一次提到“虛數(shù)”，把它作為負數(shù)的平方根，還是16世紀的事.直到18世紀中葉，復(fù)數(shù)僅僅是偶然出現(xiàn)在個別數(shù)學(xué)家的著作里.第一篇復(fù)數(shù)理論的論文是歐拉（Euler）用俄文發(fā)表的，符號i=-1也是歐拉在研究流體力學(xué)中首創(chuàng)使用的.高斯（Gauss）把復(fù)數(shù)定義為有序的實數(shù)對，并把復(fù)整數(shù)定義為a+ib，其中a，b為普通整數(shù).歐拉是復(fù)變函數(shù)的一個締造人，他詳細地研究了復(fù)變函數(shù)的初等函數(shù)（如，對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)），著名的歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，把指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系了起來，并得到了令人叫絕的關(guān)系式eπi+1=0（把e，π，i，0，1放在一個等式中）.歐拉把復(fù)變函數(shù)應(yīng)用到流體力學(xué)及地圖制圖學(xué)等實際問題中.任何一門學(xué)科，如果無用，它就不可能長期存在和發(fā)展.20世紀中葉，關(guān)于復(fù)變函數(shù)及其拓展在彈性理論和空氣動力學(xué)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，均已成書.20世紀80年代，錢學(xué)森在一封信中明確談到復(fù)變函數(shù)的重要應(yīng)用性（發(fā)表在中國數(shù)學(xué)會主辦的《數(shù)學(xué)通訊》中）.著名數(shù)學(xué)家G·波里亞與G·拉達合作所著《復(fù)變函數(shù)》一書中，多處極力講述應(yīng)用性內(nèi)容.

一、形式類同，但有區(qū)別

設(shè)z=x+iy，w=u+iv，復(fù)變函數(shù)w=f（z）定義在形式上與一元實變實函數(shù)y=f（x）相同，但這里討論的是復(fù)變函數(shù)，一般涉及四個實變量x，y，u，v.y=f（x）的圖形是xOy坐標平面上的一條曲線，而w=f（z）=u（x，y）+iv（x，y）就不能在通常具有直觀性的一個平面上作圖，所以常說w=f（z）構(gòu)成一個從z平面的一部分（定義域）到w平面的一部分（函數(shù)值域）的映射（映照）.

關(guān)于極限 limn→∞zn=z0及 limz→z0f（z0）=A，形式上也與一元實變實函數(shù)情形類同，而實際上它們的關(guān)系是

limn→∞zn=z0→←limn→∞Re（zn）=Re（z0），limn→∞Im（zn）=Im（z0）；

limz→z0f（z）=A→←lim（x，y）→（x0，y0）Ref（z）=Re（A），lim（x，y）→（x0，y0）Imf（z）=Im（A）.

即研究一個復(fù)數(shù)序列的極限問題，相當(dāng)于對應(yīng)地研究兩個實數(shù)序列的極限問題.關(guān)于f（z）在點z0=x0+iy0處連續(xù)，即 limz→z0f（z）=f（z0），也相當(dāng)于對應(yīng)地研究兩個二元實變實函數(shù)在點（x0，y0）處連續(xù)問題.由在復(fù)數(shù)域內(nèi)關(guān)于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的定義可知，正（余）弦函數(shù)不再是有界的，而指數(shù)函數(shù)為周期函數(shù)，還有對數(shù)函數(shù)的多值性，此處不再贅述.

關(guān)于數(shù)域的擴張，講到復(fù)數(shù)域時特別強調(diào)它是“良序集”（即復(fù)數(shù)不比大?。?所以，在復(fù)變函數(shù)的極限中沒有“夾逼準則”，沒有“單有界”定理，也沒有左右極限概念.在導(dǎo)數(shù)及微分之后，沒有“微分學(xué)中值定理”，沒有以微分學(xué)中值定理為基礎(chǔ)證明的“洛必達法則”，沒有函數(shù)單調(diào)性的概念，沒有函數(shù)的最大值和最小值，只有最大模原理.

二、類比化歸，關(guān)注精彩

18世紀數(shù)學(xué)界的中心人物，占統(tǒng)治地位的理論物理學(xué)家，并能與牛頓、高斯齊名的人是歐拉，他所發(fā)現(xiàn)的復(fù)變函數(shù)里的那些結(jié)果和方法，被利用、發(fā)展、改進和系統(tǒng)化.19世紀復(fù)變函數(shù)已成為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個最重要的分支.做出貢獻的主要代表人物是柯西（Cauchy）、魏爾斯特拉斯（Weierstrass）和黎曼（Riemann），前兩人的主要工作在積分和級數(shù)，黎曼的工作是復(fù)變函數(shù)的幾何理論（現(xiàn)代人稱為“共形映射”）.

函數(shù)w=f（z）在點z0=x0+iy0可導(dǎo)的定義為 limz→z0f（z）-f（z0）z-z0或 limΔz→0f（z0+Δz）-f（z0）Δz存在.這個定義在形式上也與一元實變實函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義類同，而實際上則不相同，那里只有Δx>0而趨于0，即Δx→0+和Δx<0而趨于0，即Δx→0-，從而有左右導(dǎo)數(shù)，而這里z→z0（或Δz→0）是要沿任何途徑，不止兩個方向.我們知道研究w=f（z）=u（x，y）+iv（x，y）相當(dāng)于研究一對二元實變實函數(shù)，而在二元實變實函數(shù)中沒有可導(dǎo)概念，只有偏導(dǎo)數(shù)和全微分，正是由于這種聯(lián)系，得到了復(fù)變函數(shù)在一點處可導(dǎo)的所謂C-R條件（C-R方程是Caucky-Riemann方程的簡稱）.C-R條件是u（x，y）及v（x，y）在點（x0，y0）可微，且滿足C-R方程ux=vy，uy=-vx.f（z）在一點z0可導(dǎo)，也叫在z0單演；而f（z）在點z0解析，則要求存在z0的一個鄰域N（z0），f（z）在N（z0）內(nèi)每一點都可導(dǎo).如果f（z）在區(qū)域D內(nèi)每一點都可導(dǎo)，則稱f（z）在D內(nèi)解析.因為以后可以證明解析函數(shù)f（z）的導(dǎo)函數(shù)f′（z）也是解析的.因此，f′（z）=ux+ivx=vy-iuy是連續(xù)的，從而u（x，y），v（x，y）均有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則它們均可微.所以，在前述的C-R條件中可以寫為u（x，y），v（x，y）在點（x0，y0）處有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足C-R方程.f（z）=u+iv在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件可敘述為，u，v在D內(nèi)有一階連續(xù)的偏導(dǎo)函數(shù)，且滿足C-R方程.關(guān)于C-R條件，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家們研究指出，在柯西、黎曼之前，達朗倍爾和歐拉在研究流體力學(xué)和復(fù)變函數(shù)的積分問題時，早已經(jīng)得到了這個條件.所以，他們稱之為達朗倍爾-歐拉條件.在一元實函數(shù)中構(gòu)造一個處處連續(xù)、處處不可導(dǎo)的函數(shù)是很費力、很困難的，而在復(fù)變函數(shù)中f（z）=Re（z），f（z）=z均處處連續(xù)、處處不可導(dǎo).此處我們不再敘述關(guān)于解析函數(shù)的其他等價條件.endprint

再如，復(fù)變函數(shù)積分的定義：

∫Cf（z）dz=limmax|zk+1-zk|→0∑nk=0f（zk）（zk+1-zk）.

其中，C為一定向的可度長曲線.形式上也與一元實變實函數(shù)的定積分定義相像；而實際上這里C是復(fù)平面上一條定向可度長曲線，而不是實數(shù)軸上的一個區(qū)間，zk+1-zk=Δzk也不是實數(shù)軸上小區(qū)間的長度Δxk；函數(shù)值f（zk）一般也不保證是實值.當(dāng)然，還可以與實變實函數(shù)中的曲線積分相比較和聯(lián)系，在非數(shù)學(xué)專業(yè)用的一些教科書中，也就是用組合型對坐標的曲線積分的有關(guān)結(jié)論來證明復(fù)變函數(shù)理論的基本定理的（柯西積分定理）.

復(fù)變函數(shù)論中心是研究解析函數(shù)，有的就將書名寫為《解析函數(shù)論》，而柯西積分定理被視為理論基礎(chǔ).由此得到的柯西公式也是極為重要的，在復(fù)變函數(shù)的課程中還要介紹一下柯西型積分.所證明的一個在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)f（z），有各階導(dǎo)數(shù)，這種驚人新鮮的結(jié)論，在一元實變實函數(shù)中是沒有的.

關(guān)于解析函數(shù)的級數(shù)展開，也是借助于柯西公式完成的.在羅朗級數(shù)的基礎(chǔ)上，討論了函數(shù)f（z）在孤立奇點處的性態(tài).有一個索霍茨基定理（人們常說的魏爾斯特拉斯定理）說：如果a是函數(shù)f（z）的一個本性奇點，則對于任何一個有限的復(fù)數(shù)A或∞，總存在一個點列zn→a，使得 limn→∞f（zn）=A.這是多么新鮮奇特的結(jié)果呀！

在復(fù)變函數(shù)中，黎曼的重要貢獻是復(fù)變函數(shù)的幾何理論，我國數(shù)學(xué)界老前輩陳建功先生曾翻譯過一個大本專著《復(fù)變函數(shù)的幾何理論》（現(xiàn)在通常說成共形映射）.共形映射的基本問題是給定兩個區(qū)域D和G，是否存在一個單葉解析函數(shù)把D共形映射為G，這個事實稱為黎曼存在定理.著名數(shù)學(xué)家莊圻泰先生，把他20世紀50年代在北京大學(xué)專門化課程中的講稿再簡練，寫在教科書中.正是依據(jù)黎曼存在定理，我們才可以常常把復(fù)雜區(qū)域內(nèi)的問題歸結(jié)為在單位圓內(nèi)或圓界多連通區(qū)域內(nèi)來討論.

由于科學(xué)和實際應(yīng)用的需要，進入20世紀復(fù)變函數(shù)論得到了巨大的發(fā)展.蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家們側(cè)重于在彈性力學(xué)等方面的應(yīng)用，И·Н·Вeкуa院士，С·Γ·Мусхелищвили院士以及Ф·Д·ГaxoΒ等都先后出版了專著，美國L·Bers院士從研究空氣動力學(xué)問題，也出版了專著[3].尤其應(yīng)該特別提到的，是我國在這個研究方向上已經(jīng)形成了一個隊伍，趕超世界先進水平，并于20世紀80年代末舉辦了第一次該方向的全國學(xué)術(shù)會，至今已舉辦了十七次，并多次主辦國際學(xué)術(shù)會，在偏微分方程的復(fù)分析方法、擬共形映射及Clifford分析等方面的研究，都取得了可喜的成果.例如，在偏微分方程的復(fù)分析方法方面（也叫函數(shù)論方法），И·Н·Вeкуa及L·Bers大都是討論線性、擬線性橢圓型方程，而我們不但研究了非線性橢圓型方程，而且還用復(fù)分析方法討論了拋物型和雙曲型偏微分方程的有關(guān)問題.當(dāng)然，偏微分方程的復(fù)分析方法，至今仍是國際數(shù)學(xué)界的一個熱門話題，還在繼續(xù)發(fā)展著.

【參考文獻】

[1]И·Н·Вeкуa.廣義解析函數(shù)[M].中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所偏微分方程，北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系函數(shù)論教研組，合譯.北京：人民教育出版社，1960.

[2]L·Bers.準解析函數(shù)論[M].聞國椿，譯.北京：科學(xué)出版社，1964.

[3]G·波里亞，G·拉達.復(fù)變函數(shù)[M].路見可，等譯.北京：高等教育出版社，1985.

[4]М·А·拉甫倫捷夫，?！ぇ∩嘲吞?復(fù)變函數(shù)論方法[M].施祥林，等譯.北京：高等教育出版社，1956.endprint