郝兆寬

復旦大學哲學學院

zkhao@fudan.edu.cn

楊躍

新加坡國立大學數(shù)學系

matyangy@nus.edu.sg

本文打算討論這樣的一個問題：哥德爾所堅持的柏拉圖主義如何影響著在他之后的數(shù)學基礎研究，特別是集合論的研究。一方面，將柏拉圖主義作為工作假設在很大程度上影響了集合論發(fā)展的走向，另一方面，這些研究的一些出人意料而又極具意義的重大進展又在一定程度上為柏拉圖主義做出了有力的辯護。哲學和數(shù)學之間這樣顯明的關聯(lián)是不多見的，在我們看來對這類關聯(lián)的研究是數(shù)學哲學中最有意義的課題之一。

在討論正題之前，針對數(shù)學中的柏拉圖主義和數(shù)學哲學研究的方法論問題，我們想先談一點看法，因為在現(xiàn)有的數(shù)學哲學研究中，大家的出發(fā)點和研究問題方式是很不相同的。

首先，本文不打算就哥德爾本人的強實在論立場作深入的討論。哥德爾的柏拉圖主義，在他1944年的“羅素的數(shù)理邏輯”（[2]）中就有所顯示。在羅素篇中，哥德爾引用了羅素將邏輯學與自然科學在本體論上的類比，“邏輯學一如動物學，它研究實在的世界，不過是研究其更抽象、更一般的特點而已”（[6]）；提到在認識論上的類比，邏輯和數(shù)學的公理不必非得具有自在的顯明性不可，而是可以從如下事實獲得核證，它們的后承與數(shù)學史的發(fā)展中被發(fā)現(xiàn)為自明的東西相符合。哥德爾評論道：“這個觀點已然大體上為后續(xù)的發(fā)展所核證，而將來可望獲得更多的核證”。近些年集合論的發(fā)展，似乎為哥德爾的預言做了進一步的核證。如同羅素（早期的）這種實在論觀點一樣，我們認為對科學這個概念不能僅僅理解為實驗科學或自然科學，而是要把數(shù)學這樣的以抽象概念為研究對象的科學包括在內(nèi)。因此，數(shù)學哲學與物理學哲學和生物學哲學一樣，是科學哲學這一大類中的一員，而不是分析哲學或者其他什么哲學的一個分支。

在方法論上，僅靠分析數(shù)學的語言只能把握數(shù)學思想（或是數(shù)學哲學思想）很小的一部分；而且通常是在該數(shù)學領域發(fā)展成熟之后才可以進行。元語言和對象語言的劃分特別能說明這一點。雖然，理論上我們在數(shù)學中可以使用嚴格化的形式語言作為對象語言，但是卻不可能有完全形式化的元語言。當我們對形式化的數(shù)學做分析時，工作于其中的元理論是非形式化的，這個元理論的邊界十分模糊。雖然有哲學家認為元理論包含了嚴格有窮的數(shù)學，但沒有證據(jù)表明，嚴格有窮的數(shù)學就是數(shù)學的全部。即便是在形式系統(tǒng)內(nèi)部，數(shù)學家的工作也不是借助推理的規(guī)則推演出那些定理。更多的情況是通過對數(shù)學世界的某種直觀或認知，猜想或者斷言某些事實是真的，然后再以證明的方式去驗證。本文涉及的集合論中的一些最新的進展特別表明了這一點。

在方法論的另一方面，我們認為把數(shù)學實踐統(tǒng)統(tǒng)歸結到大腦神經(jīng)元的活動對數(shù)學哲學的研究作用不大。就像物理學哲學不會把物理學家的大腦作為研究對象一樣，分析數(shù)學家的大腦也無助于數(shù)學真理的獲得。有眾多的哲學理論試圖將數(shù)學語言中有關數(shù)學對象，特別是無窮對象的存在斷言進行重新解釋，使其本質(zhì)上成為談論某些有窮的物理對象，如符號，或大腦內(nèi)部某種狀態(tài)的言語。但是，迄今為止，沒有任何哲學理論能如其聲稱的那樣完成這種解釋。盡管我們相信腦科學的發(fā)展會對數(shù)學哲學產(chǎn)生根本性的影響，但今天的腦科學知識距離分析人的思維活動還差得很遠。現(xiàn)在就期待腦神經(jīng)科學家來給數(shù)學哲學問題提供答案是對問題的過度簡化。在這種簡化下，人類的所有思維，無論是物理學、數(shù)學還是文學都（在當今的科技條件下）毫無區(qū)別。一種健全的數(shù)學哲學最起碼要與數(shù)學實踐密切相關，否則只能成為文字游戲。

抱著這樣的信念，我們就不可避免地要密切關注當代數(shù)學的進展。任何有關哲學的論斷，都要盡可能地在已有或正在取得的數(shù)學成果中尋找相關的“證據(jù)”。這里的情形可以與物理學哲學做一個比較。一大部分的物理學哲學研究，如果不是全部的話，與近百年來物理學在一些基礎問題上的重要理論和進展密切相關。但正如科納（P.Koellner）所指出的，數(shù)學哲學中絕大多數(shù)工作卻相反，它們與當代數(shù)學的發(fā)展幾乎毫無關系。（[5]）造成這種局面的原因十分復雜，不屬于本文討論的范圍。但是，十分確定的是：加強這個方向的研究，保持數(shù)學哲學與數(shù)學的最新進展的密切聯(lián)系，應該能期待巨大的收獲。當然，這也不可避免地使得這類數(shù)學哲學研究更為數(shù)學化。

最后，文章中的數(shù)學定義和定理，從某種意義上，是我們?yōu)檎撟C而搜集的證據(jù)。借助這些定理，讀者可以更好地把握概念間的關系，大致看出當今集合論發(fā)展的脈絡，從而體會出其中的哲學意蘊。

1 獨立性現(xiàn)象與數(shù)學真理

集合論中充滿了獨立性現(xiàn)象。在這些現(xiàn)象背后的是有關集合論真理的哲學問題，即：

一個集合論語言中的語句σ是真的，這是什么意思？

有一派觀點認為σ是真的當且僅當σ在ZFC中可證。

我的感覺是，除了那些一致性命題，ZFC窮盡了我們的直觀，所以，證明意味著在ZFC內(nèi)證明。（[7]，第3頁）

而這就意味著那些獨立于ZFC的語句沒有真假可言。

這是一個有重大影響的選擇。其中最重要的影響就是承認CH本身是無意義的，而CH也許是我們對不可數(shù)集合所能提出的第一個重要問題。（[1]，第13頁）

這樣的立場被稱為“形式主義”。與之相對應的立場是“柏拉圖主義”，它認為一個集合論語句為真當且僅當它描述了集合宇宙中的一個客觀事實。獨立性命題產(chǎn)生的原因是我們對客觀數(shù)學世界的認識不夠完備。但這不意味著這些命題本身是沒有真假的無意義命題，相反隨著對集合宇宙認識的不斷深入，我們最終會決定它們的真假。

……基于此處采取的立場，從已接受的集合論公理出發(fā)，一個有關康托猜想的不可判定性的證明（與一個對π的超越性的證明完全不同）決不是問題的解決?！险摳拍詈投ɡ砻枋隽艘粋€完全確定的實在，在其中康托猜想一定是或真或假。因此，源于今天已接受公理的對它的不可判定性，只能意味著這些公理沒有完備地描述那個實在。這一信念絕非空想，因為有可能指出一些方向，在其中能得到對一些問題的判定，而這些問題對于通常的公理是不可判定的。（[4]，第260頁）

把所有獨立于ZFC的命題都看作無意義的，這種觀點有一個困難就是這些命題在認識論地位上不是完全等價的。例如，有人認為CH無意義，因為“任意實數(shù)的子集”這個概念模糊不清。但是，幾乎不會有人認為“所有投影集都是可決定的（PD）”無意義，因為這其中并不涉及“任意實數(shù)子集”的概念，而只是談論了投影集這樣的具體可定義的數(shù)學對象。但PD與CH一樣，是獨立于ZFC的。因此，武?。℉.Woodin）向形式主義提出了如下挑戰(zhàn)：

……（形式主義）這種立場要站得住腳，那就或者集合論中類似的不可解問題也必須被看作是無意義的，或者必須解釋為什么連續(xù)統(tǒng)假設的問題是與那些問題不同的。我指的是那些描述集合論的經(jīng)典問題，它們在連續(xù)統(tǒng)假設提出不久也被提了出來。（[8]，第29頁）

這要求人們進一步仔細分析PD與CH：

定義1.1 無窮基數(shù)δ是武丁基數(shù)當且僅當對任意函數(shù)f:δ→δ，存在初等嵌入

j:V→M，如果κ=crt(j)，則f[κ]?κ并且Vj(f)(κ)?M。我們用

表示全體武丁基數(shù)的類。

1985年武丁證明了以下定理：

定理1.2(武丁,1985)如果M是ZFC的傳遞模型，并且M?“W是真類”，則對任意M脫殊濾G，

定理1.3(馬丁、斯蒂爾，1985)如果存在無窮多武丁基數(shù)，則PD成立。進而：

推論1.4對任意傳遞模型M，如果M?ZFC+“W是真類”，則對任意M脫殊濾G，都有M[G]?PD。

反觀CH，列維（Levy）和索洛維（Solovay）1967年證明了：

定理1.5(列維、索洛維，1967)令σL為任意一條已知的大基數(shù)公理，假設M是ZFC的傳遞模型并且M?σL，則存在M脫殊濾G和H，M[G]?σL+CH而M[H]?σL+?CH。

比較推論1.4和定理1.5，我們看到：在PD與CH之間確實存在著帶有根本意義的差別。與PD不同，大基數(shù)公理對CH的獨立性無能為力。這種差別是否可以幫助形式主義回應以上挑戰(zhàn)呢？

2 多宇宙真理觀與Ω猜想

我們首先將形式主義可能的回應嚴格描述出來，這需要一系列的定義。

定義2.1令M為ZFC的可數(shù)傳遞模型，則由M生成的脫殊多宇宙VM為滿足以下條件的最小模型類：

1.M∈VM；

2.如果N∈VM，而N′=N[G]是N的脫殊擴張，則N′∈VM；

3.如果N∈VM，而N=N′[G]是N′的脫殊擴張，則N′∈VM。

簡單說，VM是包含M并且對脫殊擴張和脫殊收縮封閉的最小模型類。由V生成的脫殊多宇宙記作V。

定義2.2(脫殊多宇宙的真)對任意ZFC的可數(shù)傳遞模型M，和對任意集合論語言中的語句σ，我們稱

·σ是M-脫殊多宇宙真的，當且僅當它在VM的每個模型中都真，記作VM?σ；

·σ是M-脫殊多宇宙假的當且僅當VM??σ；

·σ是M-脫殊多宇宙無意義的當且僅當VM/?σ并且VM/??σ。

特別地，如果σ在由V生成的脫殊多宇宙中為真，則稱σ是脫殊多宇宙真的，記作V?σ。其他概念類似。

根據(jù)推論1.4，如果VM的每個模型都滿足“W是真類”，則PD是M脫殊多宇宙真的；根據(jù)定理1.5，對任意M，CH都是脫殊多宇宙無意義的。這看起來使得脫殊多宇宙立場比形式主義更精致，也更合理。似乎也在一定程度上回應了武丁的挑戰(zhàn)。但是，武丁又通過一系列的數(shù)學工作論證了脫殊多宇宙立場難以成立，這需要定義武丁的Ω邏輯以及Ω猜想。

回憶一下，對任給結構A，A的理論定義為：

仿此，我們定義任意結構A在脫殊多宇宙真理觀下的理論為：

對任意語句σ，形如“對任意無窮序數(shù)α，Vα?σ”的斷言是Π2斷言。事實上，脫殊多宇宙的真理概念只適用于Π2語句，這是因為我們在定義脫殊多宇宙真理概念時只允許使用集合力迫。令δ0是最小的武丁基數(shù)，則H(δ+0)?σ和H(δ+0)/?σ都是Π2斷言。因此，如果令

為所有Π2多宇宙真語句的集合，則在集合MΠ2中是遞歸的。但是，仿照塔斯基的真理不可定義性，相反的方向應該不能成立，人們把它總結成：

第一多宇宙定律所有Π2多宇宙真語句的集合MΠ2在的脫殊多宇宙理論中不是遞歸的。

這一定律要求不能把整個集合宇宙中的所有Π2真理，更不必說所有真理，歸結

稱一個集合Y?Vω是借助多宇宙在中可定義的，如果Y在多宇宙模型類的每個模型中都是在中可定義的。出于同樣的哲學考量，還可以有：

第二多宇宙定律所有Π2多宇宙真語句的集合MΠ2不是借助多宇宙能在中可定義的。如果脫殊多宇宙的真理觀不能滿足以上兩條定律，那它與形式主義在根本哲學立場上就是一致的，即:

把整個集合宇宙的真歸結為這個宇宙的某個清晰片段的真。

形式主義者把集合宇宙的真理歸結為ZFC的定理，也就是歸結為數(shù)論中的真，而脫殊多宇宙立場則是把集合宇宙的（Π2）真理歸結為全體基數(shù)不超過最小武丁基數(shù)的集合。哥德爾借用他的不完全性定理，曾對形式主義的這一立場做過令人信服的反對。[3]）而武丁則同樣令人信服地證明，以上形式的脫殊多宇宙立場必然違反這兩個定律，所以與形式主義的真理觀并無根本差別。

定義2.3(武丁，1999)假設T是集合論語言中的可數(shù)理論，σ是集合論語言中的語句，我們定義σ是T的Ω-邏輯后承，記作T?Ωσ，當且僅當對任意完全布爾代數(shù)B，對任意序數(shù)α，如果則

定理2.4(武丁，1999)假設W是真類，并且假設T是可數(shù)理論，σ是語句，則對任意完全布爾代數(shù)B，

這就是說，假設存在武丁基數(shù)的真類，Ω-邏輯后承關系是脫殊絕對的。特別地，全體Ω-邏輯有效式的集合VΩ={σ|?Ωσ}不能被任何力迫改變。

還注意到，假設W是真類，則MΠ2與VΩ具有同樣的圖靈復雜度，即，每個集合都在另一個集合中是遞歸的。同樣，假設W是真類，則集合恰好就是

為了定義Ω邏輯的證明，我們需要回憶一些概念。一個拓撲空間是緊致的當且僅當它的任意覆蓋都有有窮子覆蓋；它是豪斯道夫（Hausdorff）空間當且僅當它的任意兩個不同點都有不相交的鄰域。令S為緊致的豪斯道夫空間，稱X?S在S中有貝爾性質(zhì)當且僅當存在開集O?S使得對稱差X△O在S中是貧乏集（meager set）。

定義2.5(馮琦、麥基道、武丁，1992)一個實數(shù)的子集A具有通用貝爾性質(zhì)當且僅當對任意緊致豪斯道夫空間S，任意連續(xù)映射f:S→R，A在S下的原象具有貝爾性質(zhì)。

定義2.6(武丁，1999)假設A?R具有通用貝爾性質(zhì)，M是ZFC的傳遞模型。稱M是強A-封閉的當且僅當對任意N，如果N是傳遞的且是M的脫殊擴張，則A∩N∈N。

定義2.7(武丁，1999)假設W是真類。假設T是可數(shù)理論，σ是語句，則T?Ωσ當且僅當存在A?R：

1.A是通用貝爾集；

2.對任意可數(shù)傳遞模型M，若M是強A-封閉的且T∈M，則M?“T?Ωσ”。

定理2.8(武丁，1999)假設W是真類，并且假設T是可數(shù)理論，σ是語句，則對任意完全布爾代數(shù)B，

定理2.9(武丁，1999)假設W是真類。如果T?Ωσ，則T?Ωσ。

Ω猜想假設W是真類。對任意語句σ，?Ωσ當且僅當?Ωσ。

敘述了什么是Ω猜想，我們就可以回到武丁的回應上了：

定理2.10假設W是真類且Ω猜想成立，則VΩ在集合VΩ(H(δ+0))中是遞歸的。

根絕前面的分析，這實際上是說脫殊多宇宙立場違反了第一多宇宙定律。而下面的定理則是說，這一立場同樣違反第二多宇宙定律。

定理2.11假設W是真類并且Ω猜想成立，則VΩ在集合H(δ+0)中可定義。

所以，脫殊多宇宙真理觀不過是一種更為精致的形式主義。當然，這種站在柏拉圖主義立場上的挑戰(zhàn)要依賴于Ω猜想的成立與否。接下來我們討論一些更新的進展，它們似乎在某種意義上暗示這個猜想是真的。

3 終極L理論

Ω猜想如果不成立，那一定是因為某個大基數(shù)公理，而且這個大基數(shù)公理超出了現(xiàn)有內(nèi)模型計劃。所謂“內(nèi)模型計劃”指的是構造一個類似于L的模型，在其中某個大基數(shù)公理成立。這項研究計劃的動機源自于斯科特（D.Scott）的以下定理：

定理3.1(斯科特，1961)假設存在一個可測基數(shù)，則V/=L。

也就是說，哥德爾的L不能容納可測基數(shù)，當然也不能容納更大的基數(shù)。所以，這樣的問題自然就被提了出來：

是否存在一個類似于L的模型，它能容納可測基數(shù)或更大的基數(shù)？

很快，庫能（K.Kunen）證明了

定理3.2(庫能，1970)假設U是κ上的κ完全的正則非主超濾，則在L[U]中，κ是一個可測基數(shù)，并且是唯一的可測基數(shù)。

這實際地開啟了內(nèi)模型的研究計劃，并且在隨后的年代里，這個計劃取得了相當?shù)某晒?。目前人們已?jīng)能夠構造可以容納強基數(shù)的內(nèi)模型。

但是，Ω猜想與已有的具有內(nèi)模型的大基數(shù)都是相容的，所以要證明它不成立，我們需要容納更大無窮的內(nèi)模型。不唯如此，能證明Ω猜想不成立的大基數(shù)公理一定在大基數(shù)層譜中處于一個十分關鍵的位置，這一位置必定會有“來自內(nèi)模型理論的證據(jù)”。（參見[9]）

另一方面，如果Ω猜想在所有已知的大基數(shù)公理下都成立，那就是Ω猜想在V中成立的強烈依據(jù)。而武丁有關終極L的研究表明，所有的證據(jù)都顯示，沒有任何已知的大基數(shù)公理會否證Ω猜想。我們以下簡述這一重要的思想。（在以下的討論中，所有未注明的定理和定義都屬于武丁。）

如果存在可測基數(shù)，則V/=L，所以L雖然具有很好的結構性質(zhì)，并且V=L可以解決包括CH在內(nèi)的獨立性問題，但它不可能是新公理的候選，L與V相差太遠了。庫能的L[U]可以容納可測基數(shù)，在這個意義上比L更接近V。但是，L[U]中只有一個可測基數(shù)，它甚至不能容納第二個可測基數(shù)，更不必說更大的基數(shù)了。所以，最終的任務就成了構造一個可以容納所有大基數(shù)的類L結構，人們將這樣的結構稱為“終極L”。這看起來是不能完成的任務，因為在構造容納大基數(shù)的內(nèi)模型的過程中，人們發(fā)現(xiàn)每向上一步，都只能得到僅僅包含一個相應大基數(shù)的模型，要想容納所有的大基數(shù)，我們有無窮多個內(nèi)模型需要構造。但是，武丁的一個重要發(fā)現(xiàn)徹底改變了這種情形，這又需要一些新的數(shù)學定義：

定義3.3假設N是一個ZFC的模型，δ是一個超緊基數(shù)，如果對任意λ＞δ，存在Pδ(λ)一個δ-完全的正則精良超濾U滿足：

(1)Pδ(λ)∩N∈U；

(2)U∩N∈N，

就稱N是關于δ是超緊基數(shù)的弱擴張子模型（weak extender model）。

弱擴張子模型之所以重要，是因為它有我們需要的性質(zhì)。首先，它十分接近V。就我們目前的問題而言，這意味著它有正確的基數(shù)概念。

定理3.4假設N是關于δ是超緊基數(shù)的弱擴張子模型，并且在N中，λ＞δ是正則基數(shù)，則在V中，cf(λ)=|λ|。特別地，如果λ在V中依然是基數(shù)，則它在V中是正則的。

推論3.5假設N是關于δ是超緊基數(shù)的弱擴張子模型，并且在V中，γ＞δ是奇異基數(shù)，則

(1)λ在N中是奇異基數(shù)；

(2)(γ+)N=γ+，即N能正確地計算奇異基數(shù)的后繼。

不僅如此，與以往的內(nèi)模型不同，弱擴張子模型可以容納任意多的可測基數(shù)。

推論3.6假設N是關于δ是超緊基數(shù)的弱擴張子模型，并且在V中，κ＞δ是奇異基數(shù)，則κ在N中是可測基數(shù)。

事實上，弱擴張子模型可以容納δ以上的所有大基數(shù)！

定理3.7(普遍性)假設N是關于δ是超緊基數(shù)的弱擴張子模型，并且在V中，γ＞δ是正則基數(shù)，并且

是一個初等嵌入，并且crt(π)＞δ，則π∈N。

也就是說，V中δ以上的大基數(shù)都在N中保持為δ以上的大基數(shù)。這不能不說是一個令人驚奇的結果。

但是，弱擴張子模型是否存在呢？到目前為止它只是一個抽象的概念。但有一些數(shù)學“證據(jù)”暗示其存在。

定理3.8(詹森，1974)L或者非常接近V或者離V很遠。即以下二者必居其一：

(1)對任意V中的奇異基數(shù)γ，γ在L中是奇異基數(shù)，并且(γ+)L=γ+；（L非常接近V。）

(2)每個不可數(shù)基數(shù)在L中都是不可達的。（L與V相差很遠。）

武丁則得到了關于HOD的類似結果。

定理3.9假設κ是可擴張基數(shù)，則HOD或者非常接近V，或者（在κ以上）離V很遠。即以下二者必居其一：

(1)對任意V中的奇異基數(shù)γ，γ在HOD中是奇異基數(shù)，并且(γ+)HOD=γ+；

(2)所有大于κ的正則基數(shù)在HOD中都是ω-強可測基數(shù)。

假設存在可擴張基數(shù)，則無論哪種情況成立，HOD中都存在一個可測基數(shù)。因為如果(1)成立，則HOD是κ是超緊基數(shù)的弱擴張子模型，κ顯然是HOD中的可測基數(shù)。而如果(2)成立，則更是顯然。

HOD猜想HOD接近V，或者說，在ZFC內(nèi)可以證明：在HOD中，{δ|δ是正則基數(shù)

但不是ω-可測基數(shù)}是一個真類。

如果HOD猜想成立，則HOD是一個弱擴張子模型，反之亦然。

定理3.10假設κ是一個可擴張基數(shù)，則以下命題等價：

1.HOD猜想成立；

2.HOD是κ是超緊基數(shù)的弱擴張子模型。

那么，HOD猜想是否成立呢？它會不會像CH本身一樣是獨立的呢？從目前的證據(jù)來看，這似乎不可能。因為武丁證明，HOD猜想是脫殊絕對的：如果HOD猜想在V中成立，則它在V的所有脫殊擴張中都成立。所以不可能用力迫法證明HOD猜想的獨立性，而力迫法又幾乎是唯一證明獨立性的手段。

還有一些支持HOD猜想的證據(jù)，目前已經(jīng)知道的是以下這點與ZFC一致：ω1和ω2在HOD中是ω-強可測基數(shù)。但是，我們甚至不知道HOD中是否能夠容納4個ω-強可測的正則基數(shù)；也不知道對任意奇異基數(shù)γ，γ+是否是HOD中的ω-強可測基數(shù)；更不知道是否存在超緊基數(shù)以上的ω-強可測的正則基數(shù)。

如果HOD猜想成立，則HOD包含了一個弱擴張子模型，而這樣的模型可容納所有已知的大基數(shù)，因此是某種意義上的“終極L”模型。武丁還提出了這樣一種設想，即，在不知道如何構造“終極L”的情況下，我們?nèi)钥梢詳⑹龉恚骸癡=終極L”。

V=終極L公理公理“V=終極L”包括以下命題：

(1)存在武丁基數(shù)的真類W；

(2)對任意Σ3-語句φ，若φ在V中成立，則存在一個通用貝爾集A?R，使得

終極L猜想假設κ是可擴張基數(shù)，則存在模型N滿足：

(1)N是κ是超緊基數(shù)的弱擴張子模型；

(2)N?HOD；

(3)N|=“V=終極L”。

定理3.11假設終極L猜想成立，則：

1.CH成立；

2.V=HOD；

3.Ω猜想成立。

這樣，我們可以合理地認為，如果終極L猜想成立，那它一定會在兩個方向上為數(shù)學中的柏拉圖主義辯護。首先，它證明Ω猜想成立，而根據(jù)第二節(jié)的分析，這從根本上拒絕了多宇宙的真理觀。因為，在Ω猜想成立的情況下，脫殊多宇宙真就可歸結為中的真，這本質(zhì)上與形式主義將真歸結為在ZFC中可證是一樣的。正如我們已經(jīng)指出的，這種對真理的看法無法說明這樣的問題：為何一些獨立性命題是無意義的而另一些不是？

其次，如果終極L存在，那ZFC的眾多模型中就有一個非常特殊的。它不僅可以容納所有已知的大基數(shù)，而且具有很好的結構性質(zhì)從而解決所有的自然的獨立性問題。同時，在“終極L中為真”對于集合力迫又是免疫的，從而不能用通常的力迫證明其獨立性。終極L的這種特殊性自然需要哲學上的解釋。武丁多次強調(diào)，這種特殊性源自它十分接近V，那個真實的集合論宇宙。除了這種柏拉圖主義的解釋，我們暫時看不到任何其他的哲學立場能夠做到這一點。

[1]P.Cohen,1970,“Commentsonthefoundationsofsettheory”,inD.Scott(ed.),AxiomaticSetTheory,pp.9-16,Proceedings of the Symposiumin Pure Mathematicsofthe AmericanMathematical Society.

[2]K.G?del,1990,“Russell’s mathematical logic”,Collected Works,II:264-270.

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[4]K.G?del,1990,“What is Cantor’s continuum problem?”,Collected Works,II:264-270.

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