從高中物理教材對(duì)單擺簡(jiǎn)諧性質(zhì)的介紹出發(fā)，更深一步認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單的擺的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)和視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件，聯(lián)系單擺作為計(jì)時(shí)器件的不足。通過(guò)用不同方式化簡(jiǎn)微分方程和使用計(jì)算機(jī)計(jì)算數(shù)值解并繪圖，針對(duì)單擺模型的理論計(jì)算和現(xiàn)實(shí)中的摩擦阻尼試進(jìn)行進(jìn)一步討論。

在高中物理選修課上我們已學(xué)習(xí)過(guò)單擺系統(tǒng)在小角度擺動(dòng)的條件下可以近似為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并了解了通過(guò)單擺測(cè)量當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹?；在?shí)驗(yàn)中，我們得到了與實(shí)際值較為符合的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可見(jiàn)這樣的近似是合理的。然而，在實(shí)際生活中擺角并不能做到很小，否則單擺的能量很快回衰減到0，同時(shí)也會(huì)給測(cè)量上帶來(lái)困難。因此在實(shí)際生活中，單擺的周期存在一定的誤差，進(jìn)一步計(jì)算表明，當(dāng)擺角為5°時(shí)周期誤差小于0.5%。本文討論單擺在非小角度情況下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得到非小角度下單擺周期的修正公式，并以此為基礎(chǔ)討論其在實(shí)際生活中的應(yīng)用。誠(chéng)然，單擺作為力學(xué)經(jīng)典模型之一，其理論和各個(gè)方向的應(yīng)用早已被討論透徹，但從學(xué)生的角度還有一些東西可以發(fā)掘探究。

求理想模型中單擺的周期

初解方程

假設(shè)單擺長(zhǎng)l，小球質(zhì)量為m，初始擺角為α，空氣摩擦不計(jì)。

從表中我們可以看到，當(dāng)單擺的擺角增大時(shí)，單擺周期也隨之增大，并且偏差有加速增加的趨勢(shì)。

修正周期公式

1）通過(guò)待定系數(shù)求解。

單擺在任意位置的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都是確定的，因此即使在大角度下單擺依舊做周期運(yùn)動(dòng)，只是周期和周期內(nèi)角度關(guān)于時(shí)間的分布有所改變。因此，我們不妨假設(shè)新的單擺仍做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并通過(guò)待定系數(shù)法求解使得在某一最大擺角下最貼近真實(shí)運(yùn)動(dòng)的ω。

可以看到，待定系數(shù)方法修正的結(jié)果與實(shí)際情況最為接近，即使在60度的擺角之下，依然和數(shù)值解符合的很好。而高階小量修正法的結(jié)果更加簡(jiǎn)潔明了，易于應(yīng)用。另外，在“通過(guò)高階小量展開(kāi)近似求解”的討論中，我們將其（1）的式子展開(kāi)到二次項(xiàng)，但只將其（2）的式子展開(kāi)一次項(xiàng)，結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)后者更精確，這也是很有意思的。

在實(shí)際中的應(yīng)用

擺鐘很早就被廣泛應(yīng)用于實(shí)際生活中。如果不能夠充分考慮較大擺角下面周期變化，可能使得擺鐘有較大的誤差。

考慮空氣阻力

定性分析：在一個(gè)單擺周期中，空氣阻力產(chǎn)生的作用大約一半朝正放向，一半朝負(fù)方向，但總阻礙小球擺動(dòng)。鑒于空氣阻力始終與單擺運(yùn)動(dòng)方向相反，因此可以預(yù)見(jiàn)，由于空氣阻力的存在，單擺的周期會(huì)有所變長(zhǎng)。同時(shí)，當(dāng)小球質(zhì)量不太小，最大速度不太大時(shí)，系統(tǒng)在一個(gè)適合觀察的時(shí)段內(nèi)擺動(dòng)幅度縮小不太過(guò)明顯，可近似認(rèn)為做周期運(yùn)動(dòng)。

對(duì)此方程，在各項(xiàng)數(shù)值確定的情況下可以方便地通過(guò)計(jì)算機(jī)做出將來(lái)的運(yùn)動(dòng)圖像，由此即可與理想狀況進(jìn)行比較。

其他在單擺中存在而能夠被忽略或較難以研究的因素

考慮地球引力場(chǎng)是有心力場(chǎng)；考慮地球參考系中由地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的科里奧利加速度；懸繩所掛節(jié)點(diǎn)在多次扭轉(zhuǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的熱量損失；繩能被視作具有非常大勁度系數(shù)的彈性繩等。

結(jié)論

雖然單擺在實(shí)際生活中的作用已經(jīng)逐漸減小，但是在單擺求解過(guò)程中的思考卻可以給我?guī)?lái)很多啟發(fā)。本文從單擺的大角度求解出發(fā)，從數(shù)值求解，泰勒展開(kāi)求解以及待定系數(shù)優(yōu)化誤差三個(gè)角度分別討論了單擺在大角度情況下周期的變化，并驗(yàn)證了，我們所提出的泰勒展開(kāi)法與待定參數(shù)法所得到的結(jié)果與實(shí)際結(jié)果在60度的大擺角的情況下依然相當(dāng)吻合。

同時(shí)基于誤差最小優(yōu)化參數(shù)的方法是我們獨(dú)立提出的具有創(chuàng)新性的一種微分方程的新解法，這對(duì)微分方程近似解求解有著積極的指導(dǎo)作用。

參考文獻(xiàn)

[1]劉鳳祥.單擺運(yùn)動(dòng)周期的近似解[J].大學(xué)物理，1999，18（11）：5-7.

[2]黃秀蘭.單擺周期近似解的討論[J].云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1995（2）：38-45.

[3]譚志忠.求大擺角單擺周期近似解的“局部?；狈椒╗J].大學(xué)物理，2005，24（12）：14-17.

（作者簡(jiǎn)介：朱嘉瑋，江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)。）endprint