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(1.南京理工大學智能彈藥技術(shù)國防重點學科實驗室，江蘇 南京 210094；2.淮海工業(yè)集團有限公司，山西 長治 046000)

0 引言

定距空炸引信主要用于打擊高機動性和高隱蔽性的有生目標，控制彈丸在目標的上方或側(cè)面起爆，殺傷隱蔽在工事掩體或建筑物后方的目標，在即使無法直接命中情況下也可實現(xiàn)對目標的有效殺傷，大大提高彈藥的作戰(zhàn)效能[1]。為彈藥配備可編程的電子時間引信是實現(xiàn)彈藥的定距空炸功能的主要方式之一。

對可編程電子時間引信進行數(shù)據(jù)裝定是實現(xiàn)彈藥精確空炸的前提。在已有射表的基礎上，可編程電子時間引信根據(jù)目標參數(shù)、氣象參數(shù)等與飛行時間的關(guān)系實現(xiàn)定距空炸功能。由于每發(fā)彈藥的作戰(zhàn)距離、氣象環(huán)境、炮口初速等參數(shù)不定，每發(fā)彈藥需要射表中的數(shù)據(jù)也不盡相同，同時受電子時間引信微處理器存儲容量的限制，不可能將整個射表數(shù)據(jù)存儲在引信中,并由引信完成繁瑣的插值計算。為了保證彈藥的首發(fā)命中及電子時間引信的定距空炸精度，需要在彈丸發(fā)射前對電子時間引信進行裝定[2]。在引信裝定器中以一定間隔分化嵌入射表數(shù)據(jù)，并配合相應的傳感器、測距機等設備使用，在彈丸發(fā)射前由裝定器查表并解算引信需要的數(shù)據(jù)并實時裝定給引信。

二維插值在大氣、巖土、圖像、地球物理等領(lǐng)域有著廣泛的應用[3-8]，尤其是在圖像放縮領(lǐng)域中的應用。射表中數(shù)據(jù)主要是距離和海拔的二維參量，即需要兩個參數(shù)才能確定所需要的變量。本文針對此問題，提出了基于二維插值算法的引信用裝定器彈道參數(shù)解算方法。

1 二維插值算法

二元函數(shù)插值包括線性插值、Lagrange型二元多項式插值、二元函數(shù)的分片低次插值等[9]。二維插值在工程中有著十分廣泛的應用，尤其是在數(shù)字圖像、信號處理和視頻處理等領(lǐng)域。

1.1 分片線性插值

分片線性插值是二維插值中最簡單的具有連續(xù)線性的插值方法。假設已知四個插值點(即矩形的四個頂點，如圖1所示)的函數(shù)值。

圖1中節(jié)點的順序如下：

f1=f(xi,yj) ，

f2=f(xi+1,yj)，

f3=f(xi+1,yj+1)，

f4=f(xi,yj+1)。

在分片線性插值中矩形區(qū)域?qū)⒈环譃閮蓚€三角形區(qū)域：上三角區(qū)域和下三角區(qū)域。

上三角區(qū)域的劃分條件及插值函數(shù)為：

湖北華貴地處江漢平原，為亞熱帶季風氣候，年平均溫度為16.6℃，氣候適宜，日照充足，且境內(nèi)湖泊眾多，被稱為“百湖之市”。另經(jīng)國家權(quán)威機構(gòu)測定，洪湖水質(zhì)達到有機種養(yǎng)的水質(zhì)標準，有機質(zhì)含量高，生產(chǎn)條件得天獨厚，水產(chǎn)資源極其豐富。洪湖的特色農(nóng)產(chǎn)品以水產(chǎn)品為主，包括魚類以及各類水生蔬菜，藕帶的栽培基本不使用農(nóng)藥，滿足了消費者對健康綠色農(nóng)產(chǎn)品的追求。在地理位置上，洪湖市緊鄰九省通衢的武漢，南靠長江黃金水道，北連荊州，交通運輸便利，并與湖北仙桃、監(jiān)利建成了新農(nóng)村建設試驗區(qū)[3]，集聚產(chǎn)業(yè)優(yōu)勢和發(fā)展?jié)摿Α?/p>

(1)

(2)

下三角區(qū)域的劃分條件及插值函數(shù)為：

(3)

(4)

上三角區(qū)為圖1中陰影部分1，不包括虛線部分；下三角區(qū)域為圖1中空白部分2，包括虛線部分。

分片線性插值應用在裝定器的彈道解算中需要先判斷未知量的所在區(qū)域，即判斷未知量位于上三角還是下三角區(qū)域。

1.2 雙線性插值

雙線性插值又稱為雙線性內(nèi)插，是有兩個變量的插值函數(shù)的線性插值擴展，核心思想是在兩個方向分別進行一次線性插值。圖2中節(jié)點的順序同圖1的節(jié)點順序。

雙線性插值是分片的二次曲面構(gòu)成的，其插值函數(shù)的形式為：

fS(x,y)=(ax+b)(cy+d)

(5)

但由于裝定器的彈道解算僅是在每片區(qū)域內(nèi)進行插值，不需要得出實際的函數(shù)形式，僅需要在四個離散點組成的區(qū)域內(nèi)進行解算，為此根據(jù)上述的雙線性插值的思想，得出離散的雙線性插值公式為：

(6)

(7)

(8)

由式(6)、式(7)、式(8)得：

(9)

2 雙線性插值的彈道參數(shù)解算方法

由上述的式(2)、式(4)、式(9)可以得出分片線性插值的結(jié)果僅與三個節(jié)點有關(guān)，雙線性插值的結(jié)果與四個節(jié)點相關(guān)；雙線性插值不必進行判斷可以對節(jié)點區(qū)域內(nèi)的點進行計算；在插值區(qū)域內(nèi)，雙線性插值的結(jié)果更加平滑、連續(xù)。

在實際的彈道解算中，飛行時間不僅僅是關(guān)于射程與海拔的函數(shù)，還與氣象、炮口初速等相關(guān)。因此只能根據(jù)射表的數(shù)據(jù)擬合出計算射表的公式，從而得到插值方法的誤差。

(10)

式(10)中，f′(x,y)為插值函數(shù)，f(x,y)為彈道解算出的關(guān)于飛行時間的函數(shù)，在實際求解誤差時通過Matlab得到擬合函數(shù)f(x,y)。

根據(jù)表1中榴彈的數(shù)據(jù)擬合出飛行時間函數(shù)。

f(x,y)=0.536 8+0.114 3x-0.001 081y

(11)

擬合函數(shù)的相關(guān)系數(shù)R-square=1，誤差平方和SSE=6.409×10-6，根據(jù)擬合結(jié)果可知擬合函數(shù)的可信度較高。

由式(11)可知，飛行時間與距離、海拔高度成一次函數(shù)關(guān)系。分片線性插值的算法與擬合的函數(shù)相似程度更高，而雙線性插值的算法比擬合的函數(shù)多了二次項，因此雙線性插值的誤差會比分片線性插值的誤差大一點。

為了進一步驗證分片線性插值與雙線性插值在裝定器的彈道解算過程中的表現(xiàn)，分別用分片線性插值與雙線性插值對表1中的數(shù)據(jù)進行插值計算，并根據(jù)插值計算的結(jié)果與表2 海拔340 m處的飛行時間進行誤差比較，其中x表示炸點距離，y表示海拔高度。

表1 榴彈的飛行時間Tab.1 Grenade flight time (單位：s)

表2 海拔340 m的飛行時間Tab.2 The flight time of 340 meters above sea level

設A點的坐標為(350,340)，那么根據(jù)分片線性插值知A點在上三角區(qū)域內(nèi)，由分片線性插值公式和雙線性插值公式得：

fF(350,340)=0.469 078，

fS(350,340)=0.469 31。

由誤差公式(10)，分別對兩種插值算法進行誤差處理：

wF=0.005% ，wS=0.045%。

根據(jù)上述比較可知，雙線性插值比分片線性插值的精度略差。

在僅考慮插值算法對炸點分布的影響時，若彈丸初速度為800 m/s，炸點距離為350 m，海拔高度為340 m時，分片線性插值的炸點的圓概率誤差為0.017 6 m，雙線性插值的圓概率誤差為0.168 m。由此可以看出雙線性插值與分片線性插值的炸點散布相差不大，都可以減小彈丸的空炸炸點散布，但是分片線性插值算法相對更加復雜，計算時間更長。因此在裝定器的彈道解算中優(yōu)先選用雙線性插值的二維插值。

根據(jù)分片線性與雙線性插值的公式可知插值的精度與節(jié)點的密度相關(guān)。相同海拔高度下不同炸點間隔插值比較如圖3，相同炸點距離不同海拔高度間隔插值比較如圖4。

分析圖3、圖4可知，在相同海拔高度下，飛行時間與炸點距離并不是嚴格的線性關(guān)系，炸點距離間隔越小，插值結(jié)果精度越高；在相同炸點距離時，飛行時間與海拔高度是嚴格的線性關(guān)系，插值結(jié)果對海拔高度間隔不敏感。因此在編制飛行時間射表時，在裝定器存儲空間允許情況下，炸點距離的間隔應該相應地減小。而相反地，海拔間隔可適當?shù)卦黾右怨?jié)省裝定器的存儲空間。

3 雙線性插值算法驗證

雙線性插值在程序中的應用其流程圖如圖5。

(12)

式中，q=y-yj，p=x-xi。

分別使用根據(jù)雙線性插值與分片線性插值算法的裝定器進行靶場試驗，試驗數(shù)據(jù)如表3(F表示分片線性插值算法，S表示雙線性插值算法)。

序號海拔/m目標距離/m炸點誤差/mF1110012004.6F2110012007.6S1110012002S211001200-8

根據(jù)試驗數(shù)據(jù)可知，雙線性插值與分片線性插值算法炸點誤差都控制在10 m以內(nèi)，由前文分析知分片線性插值算法的計算更復雜，因此采用雙線性插值算法的裝定器不僅可以滿足解算精度要求，還可以滿足解算時間要求。

4 結(jié)論

本文提出了基于二維插值的引信裝定器用彈道參數(shù)解算方法。該方法針對兩種二維插值方法進行了比較，得到雙線性插值與分片線性插值的解算精度相差無幾。分片線性插值算法更繁瑣，計算量更大，而雙線性插值的計算更為簡單，更適用于裝定器的彈道解算。在不考慮其他因素的前提下，采用雙線性插值的裝定器彈道解算比采用分片線性插值節(jié)省解算時間，并滿足炸點精度的要求。雙線性插值的精度與插值節(jié)點的間隔密切相關(guān)。仿真結(jié)果表明，炸點距離間隔對炸點精度影響較大，海拔高度間隔對炸點精度影響較小，在存儲容量一定情況下，可以通過減小炸點距離間隔，增大海拔高度間隔來確保炸點精度。實驗結(jié)果表明雙線性插值算法滿足解算精度和時間精度要求。

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