魏曉玲(廣州工商學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程系，廣東 廣州 510850)

遺傳、模擬退火、蟻群、粒子群、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及單純形算法成為近期研究的熱點(diǎn)，一度成為主流尋優(yōu)方法，但由于算法自身的缺陷造成其適用范圍具有一定的局限性，如遺傳算法搜索速度慢，易出現(xiàn)早熟[1]；模擬退火算法進(jìn)入最有希望搜索的區(qū)域較慢，運(yùn)算效率低[2]；蟻群算法收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)[3]；粒子群算法處理復(fù)雜的多峰搜索問題時(shí)容易產(chǎn)生早熟收斂[4]；人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)容易出現(xiàn)難以解釋的結(jié)果[5]；單純形算法易出現(xiàn)最長(zhǎng)邊較長(zhǎng)，但體積已接近零的病態(tài)現(xiàn)象[6].單純形算法最早是由Splendley等[7]于1962年提出，隨后為了提高正規(guī)單純形的搜索速度，Neledr和Mead[8]在Splendley的基礎(chǔ)上于1965年提出了N-M單純形算法.單純形算法被稱為序貫性尋優(yōu)方法，即依據(jù)于上次的尋優(yōu)結(jié)果，及時(shí)調(diào)整尋優(yōu)方向和步長(zhǎng)，其局部尋優(yōu)速度仍是某些算法所不能替代的，鑒于其優(yōu)點(diǎn)部分學(xué)者將單純形融入到其它算法中，如遺傳算法[9-13]、人工魚群算法[14-15]、量子粒子群算法[16-17]、自適應(yīng)步長(zhǎng)的花朵授粉算法[18]以及人口遷移算法[19]等，并且取得了較好的效果，有效的彌補(bǔ)了算法的自身不足.也有大量的學(xué)者將單純形尋優(yōu)算法應(yīng)用到生產(chǎn)生活中，例如生產(chǎn)工藝試驗(yàn)設(shè)計(jì)[20-24]、教學(xué)方法改進(jìn)[25]、近鄰鏈查詢[26-29]等.近期學(xué)者們研究單純形主要集中在兩方面，將單純形應(yīng)用在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，或與其他算法融合尋優(yōu).單純形的可視化仿真的設(shè)計(jì)研究相對(duì)較少，故本研究擬借助于MATLAB軟件，實(shí)現(xiàn)單純形的可視化仿真的設(shè)計(jì)；并進(jìn)行函數(shù)仿真訓(xùn)練，驗(yàn)證效果，使尋優(yōu)軌跡更直觀.

1 單純形最優(yōu)搜索數(shù)學(xué)模型

1.1 單純形簡(jiǎn)介

正規(guī)單純形是指在S維空間中，以S+1個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的最簡(jiǎn)單的圖形，其尋優(yōu)過程中不是沿著一個(gè)方向進(jìn)行搜索，而是對(duì)S維空間的S+1個(gè)頂點(diǎn)上的函數(shù)進(jìn)行比較.丟掉最壞的點(diǎn)，代之以新點(diǎn)，從而構(gòu)成新的單純形，其尋優(yōu)過程類似下圖1.它是迭代之前，先確定最優(yōu)的方向，然后逐步向最優(yōu)逼近的過程.N-M單純形在正規(guī)單純形的基礎(chǔ)上，通過增加擴(kuò)張和壓縮步驟，將正規(guī)單純形擴(kuò)展至任意單純形，加速收斂速度，減少迭代次數(shù).

圖1 單純形尋優(yōu)過程模擬圖Fig.1 The simulation diagram of simplex optimization

1.2 初始單純形的構(gòu)造

初始單純形構(gòu)造過程中，由于最優(yōu)結(jié)果的方向是未知的，因此初始單純形的構(gòu)造一般設(shè)計(jì)為正規(guī)單純形.然而實(shí)際應(yīng)用中，由于各因素的量綱不同，采用統(tǒng)一的搜索步長(zhǎng)很難滿足各因素快速收斂的需求.Long[30]在1969年提出了一種系數(shù)表構(gòu)成初始單純形的方法，但其局限性在于只能構(gòu)造10個(gè)因素以內(nèi)的單純形.也有部分研究者為了初始布點(diǎn)的均勻性，用均勻設(shè)計(jì)來構(gòu)造初始單純形頂點(diǎn)，取得了較好的應(yīng)用.而本研究主要針對(duì)函數(shù)進(jìn)行測(cè)試，不涉及到實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)用及各因素對(duì)應(yīng)的量綱問題，故只介紹正規(guī)單純形頂點(diǎn)構(gòu)造方法，即單純形RS空間中多面體的每條棱長(zhǎng)(步長(zhǎng)a)相等，且滿足以下定義：

定義1{V1，V2，…，VS，VS+1}為RS空間的某一單純形S+1頂點(diǎn)的位置矢量，vi表示S個(gè)變量的取值.

定義2令S個(gè)因素各取一起始水平的點(diǎn)為x0，則有V1=x0.Vi=x0+z(i) (i=2，3，…，S+1)，其中z(i)為S維矢量，z(i)=[q，…，q，p，q，…，q]T，上式中：

滿足以上條件，可證明S+1個(gè)頂點(diǎn)的正規(guī)單純形各棱長(zhǎng)均相同，若令初始點(diǎn)坐標(biāo)為V1=[v1,v2,…,vs]，則剩余各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，即初始單純形頂點(diǎn)：

V2=[v1+p,v2+q,…,vs+q]，

V3=[v1+q,v2+p,…,vs+q]，

………………

Vs+1=[v1+q,v2+q,…,vs+p].

1.3 單純形最優(yōu)搜索設(shè)計(jì)

Step1給定初始單純形的一個(gè)頂點(diǎn)V(1)及搜索步長(zhǎng)a，依據(jù)1.2中定義2計(jì)算出初始單純形的其余頂點(diǎn)：V(2)，……，V(S)，V(S+1)，并計(jì)算出單純形頂點(diǎn)的函數(shù)值：f(V(1))，f(V(2))，……，f(V(S))，f(V(S+1)).

Step2比較單純形各頂點(diǎn)的函數(shù)值，確定函數(shù)最優(yōu)V(H)點(diǎn)，最差點(diǎn)V(L)點(diǎn)及次差V(C)點(diǎn)，并檢驗(yàn)︱(f(V(H))-f(V(L)))︳≤ε(ε為收斂精度)，若滿足條件，則輸出最優(yōu)點(diǎn)為V(H)點(diǎn)，最優(yōu)值為f(V(H))，計(jì)算結(jié)束，若不滿足條件轉(zhuǎn)入第Setp3步反射運(yùn)算.

Step3反射運(yùn)算

(1)計(jì)算剔除最差點(diǎn)V(L)后的重心V(S+1)(H).

i=1，2，……，S+1，且i≠L.

(2)以重心點(diǎn)V(S+1)(H)為基本點(diǎn)，沿著最差點(diǎn)V(L)到重心點(diǎn)方向反射延長(zhǎng)到反射點(diǎn)V(S+2)(H)，計(jì)算反射點(diǎn)V(S+2)(FS)坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的函數(shù)f(V(S+2)(FS)).

V(S+2)(FS)=V(s+1)(H)+(V(S+1)(H)-V(L))=

2V(S+1)(H)-V(L).

若f(V(S+2)(FS))>f(V(H)，則執(zhí)行擴(kuò)張運(yùn)算；

若f(V(L))

若f(V(S+2)(FS))

擴(kuò)張運(yùn)算：

V(S+2)(KZ)=V(S+1)(H)+

γ(V(S+2)(FS)-V(L))，γ=1.2～2.5.

若f(V(S+2)(KZ))>f(V(S+2)(FS))，以擴(kuò)張點(diǎn)V(S+2)(KZ)代替最差點(diǎn)V(L)構(gòu)造新的單純形；否則擴(kuò)張不成功，以反射點(diǎn)V(S+2)(FS)代替最差點(diǎn)V(L)構(gòu)造新的單純形，轉(zhuǎn)入Setp2中繼續(xù)最優(yōu)搜素，直至滿足收斂條件.

收縮運(yùn)算：

V(S+2)(SS)=V(S+1)(H)+

δ(V(S+2)(FS)-V(S+1)(H)),δ=0～1.

以收縮點(diǎn)V(S+2)(SS)代替最差點(diǎn)V(L)，構(gòu)造新的單純形轉(zhuǎn)入Setp2中進(jìn)行最優(yōu)搜索，直至滿足收斂條件.

壓縮運(yùn)算：

V(S+2)(YS)=V(S+1)(H)+

η(V(L)-V(S+1)(H)),η=0～1.

以壓縮點(diǎn)V(S+2)(YS)代替最差點(diǎn)V(L)，構(gòu)成新的單純形轉(zhuǎn)入Setp2中進(jìn)行最優(yōu)搜索，直至滿足收斂條件.

Step4若經(jīng)過有限N次迭代之后，仍不能滿足收斂，證明最優(yōu)搜索方向有誤，需要以次最差點(diǎn)V(G)和去除次最差點(diǎn)后的重心V(S+1)(G)為基本點(diǎn)進(jìn)行搜索，然后重復(fù)Setp2，直至滿足收斂條件.

2 可視化仿真界面的設(shè)計(jì)

2.1 設(shè)計(jì)流程(圖2)

圖2 仿真設(shè)計(jì)流程圖Fig.2 The flow chart of simulation design

2.2 可視化界面

本文借助于MATLAB軟件中的GUI設(shè)計(jì)模塊制作單純形最優(yōu)搜索界面.本界面中函數(shù)表達(dá)式采用inline函數(shù)的書寫格式，同時(shí)本界面只適用于最大結(jié)果的搜索，針對(duì)具有極小值的函數(shù)可通過函數(shù)改造使其變?yōu)榍髽O大值，仿真界面見圖3 .

圖3 單純形尋優(yōu)仿真GUI界面Fig.3 The simulation GUI interface about simplex optimization

3 仿真訓(xùn)練

3.1 測(cè)試函數(shù)

為了驗(yàn)證本文算法的正確性和有效性，通過對(duì)四個(gè)包括單峰、多峰、低緯、高維的測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真來驗(yàn)證可視化界面及尋優(yōu)效果，測(cè)試用函數(shù)介紹如下：

函數(shù)1簡(jiǎn)單函數(shù)：y=-(x1-1)2-(x2-1)2,x∈[-10，10]，該函數(shù)為單峰函數(shù)，該函數(shù)在x=(1,1)取得全局最優(yōu)，且最優(yōu)值y(max)=0.

函數(shù)2改造的Beale函數(shù)，由于該函數(shù)在自變量區(qū)間[-10,10]內(nèi)存在極小值，為了適應(yīng)于本可視化界面，將其改造后變?yōu)閷O大值，改造后的函數(shù)在x=(3，0.5)存在極大值，且最優(yōu)值y(max)=0，該函數(shù)的表達(dá)式為：

y=-(1.5-x1(1-x2))2-

(2.25-x1(1-x22))2-

(2.625-x1(1-x23))2,

x∈[-4.5,4.5] .

函數(shù)3改造的多峰Six Hump Camel back函數(shù)，經(jīng)改造后該函數(shù)在區(qū)間[-5，5]有六個(gè)極大值峰，且在x=(0.0898，-0.7126)處有極大值，且最優(yōu)值y(max)=1.0316，該函數(shù)表達(dá)式為

x1x2+4x22-4x24,

x∈[-5,5].

函數(shù)4改造的Colville 函數(shù)，經(jīng)改造后該函數(shù)在區(qū)間[-10,10]存在極大值，且在x=(1，1,1,1)極大值為y(max)=0，該函數(shù)表達(dá)式為：

y=-100(x2-x12)2-(1-x1)2-

90(x4-x32)2-(1-x3)-

10.1[(x2-1)2+(x4-1)2]-

19.8(x2-1)(x4-1)2,

x∈[-10,10].

3.2 測(cè)試訓(xùn)練效果

為了直觀觀察函數(shù)的極值個(gè)數(shù)，本文借助于MATLAB中mesh函數(shù)，以0.02為步長(zhǎng)，制作了測(cè)試函數(shù)1、測(cè)試函數(shù)2及測(cè)試函數(shù)3的三維圖見圖4、圖5及圖6，從三圖可知三函數(shù)在搜索區(qū)間內(nèi)均存在極大值，滿足測(cè)試要求.

圖4 簡(jiǎn)單函數(shù)三維圖Fig.4 The 3D graph of simple function

圖5 改造Beale函數(shù)三維圖 Fig.5 The 3D graph of transform Beale function

圖6 改造 Six Hump Camel back函數(shù)三維圖 Fig.6 The 3D graph of transform Six Hump Camel back function

對(duì)以上函數(shù)將相關(guān)參數(shù)輸入圖3中的GUI界面，經(jīng)過后臺(tái)運(yùn)算輸出相關(guān)參數(shù)見表1及尋優(yōu)軌跡見圖7至圖10.從表1中可知本程序的尋優(yōu)結(jié)果與實(shí)際的最優(yōu)結(jié)果均較為接近，從圖7至圖10可以發(fā)現(xiàn)隨著迭代次數(shù)的延長(zhǎng)(100次)尋優(yōu)結(jié)果均有向最優(yōu)結(jié)果靠近的趨勢(shì)，證明該可視化界面能適用于一般函數(shù)尋優(yōu)，從迭代次數(shù)上來看，對(duì)于單純形尋優(yōu)搜索，其收斂速度具有一定的優(yōu)勢(shì).

圖7 簡(jiǎn)單函數(shù)尋優(yōu)軌跡圖Fig.7 The optimization track map about simple function

圖8 改造Beale函數(shù)尋優(yōu)軌跡圖Fig.8 The optimization track map about transform Beale function

表1 函數(shù)輸入及輸出參數(shù)
Tab.1 The input and output parameters about function

函數(shù)初始頂點(diǎn)最優(yōu)頂點(diǎn)尋優(yōu)結(jié)果實(shí)際最優(yōu)最優(yōu)迭代次數(shù)函數(shù)10，00．98191，0．98191-0．0006544022函數(shù)21，12．9274，0．4879-0．0018046函數(shù)33，30．0843，-0．6691491．01721．031645函數(shù)43，3，3，30．9921，0．9985，0．9937，0．9933-0．0138075

圖9 改造Six Hump Camel back函數(shù)尋優(yōu)軌跡圖Fig.9 The optimization track map about transform Six Hump Camel back function

圖10 改造的Colville 函數(shù)尋優(yōu)軌跡圖Fig.10 The optimization track map about transform Colville function

4 結(jié)束語

尋優(yōu)算法的改進(jìn)、應(yīng)用及多種算法的融合屬于近幾年研究的熱點(diǎn)，其中對(duì)于單純形的研究主要集中在應(yīng)用及與其他算法的融合尋優(yōu)兩個(gè)方面，對(duì)于該算法的可視化仿真的研究較少.本研究利用MATLAB軟件設(shè)計(jì)開發(fā)改進(jìn)單純形的可視化仿真平臺(tái)，使該尋優(yōu)方法的使用及運(yùn)行過程更加直觀、易實(shí)現(xiàn).后續(xù)研究主要借助于MATLAB軟件中的Mbuild-setup函數(shù)，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用，開發(fā)改進(jìn)單純形尋優(yōu)可視化的獨(dú)立運(yùn)行程序，使其使用更方便.

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