魏昕

【摘 要】截交線是工程制圖學習的重點和難點之一，本文在研究截交線性質及作圖基本原理的基礎上，提出求解復雜截交線問題的新方法和詳細步驟，為培養(yǎng)學生空間想象能力和思辨分析能力提供新思路。

【關鍵詞】截交線；教學方法；投影規(guī)律；工程制圖

中圖分類號： TH126-4 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）27-0112-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.27.050

【Abstract】Intersecting line is one of the most important and difficult points in engineering drawing.On the basis of studying the character of intersecting line and the basic principle of drawing， this paper proposed a new method and detailed steps to solve the problem of complex intersecting line，and provide new ideas for cultivating students' ability of space imagination and speculative analysis.

【Key words】Intersecting line；Teaching method：project principle；Engineering cartography

0 前言

機械零件中經常出現(xiàn)平面與立體相交而形成的復雜交線，可以認為是平面截切立體，因而被稱為截交線。截交線與點線面、基本體等知識緊密銜接，又是組合體分析的基礎，具有承前啟后的重要作用。如何理解與分析截交線是培養(yǎng)學生立體空間想象能力的關鍵之一，教師應在引導學生靈活運用前面所學點線面與基本體知識的基礎上，幫助學生充分理解截交線投影特性，建立解題思路。

1 截交線性質

截交線是由直線或曲線組成的封閉線框。用以截切立體的平面被稱為截平面，截交線既在立體表面上，也在截平面上。因此求截交線可歸結為棱線上取點或立體表面上取點，然后依次用直線連接或光滑曲線連接。截切的立體可分為平面截立體交線與曲面立體截交線，本文限于篇幅，只討論平面截交線。

1.1 投影分析

截交線在截平面上，本質上是多條直線圍成的平面。工程制圖中涉及的求解截交線問題絕大部分都是由特殊位置平面截切立體。若截平面為投影面垂直面，則截交線在所垂直的投影面上投影為一條直線，其余兩面投影為空間平面的類似形。圖1所示正垂面截切六棱柱，截交線投影在V面上積聚為一條直線，在H面與W面上投影是相似的六邊形；若截平面為投影面平行面，則截交線在所平行的投影面上反映實際形狀，其余兩面投影均為直線。圖2所示水平面與正垂面截切三棱錐，其中水平面截切形成的截交線在H面上為反映實形的三角形，其余二面投影為直線。

1.2 復雜截交線

截切立體可分為完整截切與不完整截切，完整截切是指截平面與每條棱線有交點，不完整截切則是指截平面只與部分棱線有交點。完整截切所產生的截交線形狀都比較容易理解，因其頂點都在棱線上，被截切的立體有多少條棱線，則截交線就有多少條邊。但對于不完整截切，由于被截切立體上一般會有多個截平面，截交線頂點部分在棱線上，部分在立體表面上，且投影互相疊加，形成比較復雜的截交線。如圖2中三棱錐被相交的正垂面與水平面截切，二截平面只與一條棱線有交點，其余頂點在立體表面。截交線投影在水平投影面上重疊，使其交線投影成為不可見輪廓線，必須用虛線來表示。分析復雜截交線首先需要弄清楚各截平面位置及投影特性，逐個確認各截交線投影的基本形狀，然后結合被截切立體投影特性作出截交線各頂點投影，從而得到完整截交線投影。

2 截交線作圖原理

2.1 假想完整截切原理

完整截切所產生的截交線邊線個數(shù)等于棱線個數(shù)，其形狀一般為頂面或底面的類似形，教學時比較容易讓學生理解與想象。但對于不完整截切的立體，由于截交線只與部分棱線由交點，無法通過底面或頂面來推測其形狀，學生解題時往往無從著手。為引導學生弄懂不完整截切產生的截交線，可以假想將截平面擴大或延長棱線、擴大立體直至轉換完整截切問題，使得截平面與每條棱線都有交點。此時得到假想截交線是由完整截切得到，因而易于想象。真實截交線是假想截交線的子集，將假想部分去掉后就能得到真實截交線。如圖2所示，將截切立體的水平面擴大，使其與棱線SB與SC有交點，得到假想截交線△ⅠⅤⅥ。由于四邊形ⅢⅣⅤⅥ是假想擴大截平面得到的部分，擦去其輪廓線后得到真實截交線△ⅠⅡⅢ

2.2 類似形原理

求截交線的關鍵在于作出各頂點投影，然后依據(jù)截交線各邊線端點與各頂點投影對應關系作連接直線，從而作出完整截交線投影。如圖1中，對于截交線邊線ⅠⅡ，連接點1與點2得到V面投影，連接點1”與點2”得到W面投影。但當截交線頂點較多時，或立體上有多個截平面，判斷兩頂點投影之間是否存在截交線邊線投影則會變得困難，非常容易出錯。

依據(jù)平行投影特性，當平面圖形既不平行也不垂直于投影面時，平面圖形投影是原圖形的類似形，對應線段保持定比、邊數(shù)、平行關系、凹凸、直曲保持不變。將類似形各頂點用數(shù)字順時針（或逆時針）編號，若另一投影面上投影為類似形，則頂點投影也為順時針（或逆時針）變化。如圖1所示，截交線在H面與W面上的投影為類似形，對H面上頂點投影按順時針編號123456，則W面上對應頂點投影也是順時針依次變化，保持相同的順序關系，從而避免連接兩頂點投影容易出錯的問題。

3 截交線作圖實例分析

3.1 解題步驟

總結截交線投影規(guī)律與作圖原理，復雜截交線作圖步驟如下：

第一步，找出立體上所有截平面，分析截平面投影特性，確認截交線在各投影面上投影的大致形狀；

第二步，若截平面為投影面垂直面則分析已知截交線投影，利用類似性原理作出未知截交線各頂點投影，并用直線連接得到截交線投影；

第三步，若截平面為投影面平行面則分析截平面與立體相交情況，與棱線相交就利用點在線上原理作出頂點投影，與棱面相交則利用假想完整截切原理作圖。

第四步，還原立體，作出立體未被截切前的投影。分析截平面與棱線相交情況，若與棱線相交，則擦去被截切的棱線，若未相交則保留棱線。檢查截交線各邊可見性，對于不可見邊線改畫為虛線。

3.2 實例分析

例題1：如圖3a所示，已知主視圖和俯視圖投影，補畫左視圖。首先對四棱柱上截平面分布情況進行分析，由主視圖可以看出，四棱柱被正垂面與水平面截切。正垂面在V面上投影積聚為一條直線，在H面與W面上投影為類似形。由類似形原理可知，正垂面截切形成的截交線在W面上投影為類似形，對H面上類似形各頂點順時針編號，則W面上各頂點投影也應按順時針變化，如圖3b所示。水平面在W面上投影為平行于Y軸的一條直線，對其頂點編號后作出W面投影，即5”6”7”。將四棱柱還原，分析被截切的棱線。未被截切棱線由于被截平面擋住，應畫虛線。最終補畫截切四棱柱W面投影如圖3c所示。

例題2：如圖4a所示，已知主視圖和俯視圖投影，補畫左視圖。對三棱錐截平面分布情況進行分析，由主視圖可知，該立體被正垂面和水平面截切。由于正垂面在H面投影未完整給出，所以先從水平面開始分析。水平面對立體是不完整截切，可用假想完整原理將水平面擴大，直至將整個立體完整截切，得到假想截平面ⅠⅡⅢ，并作出三面投影。H面上以直線45為界，左邊為真實截交線投影，右邊為假想截交線投影，擦去△345后得到截交線真實投影四邊形1245。此時可知V面上頂點4與5投影為重影點，如圖3b所示。直線ⅣⅤ是正垂面與水平面之間的共有線，因此只需求出正垂面與三棱錐棱線交點ⅦⅧ，即可得到其在H面與W面上投影。最后，將三棱錐還原，擦去棱線ⅠⅦ與ⅡⅧ之間被截切的線段。將兩截平面交線在V面上直線投影45由于在立體內部，在H面應改為虛線，如圖8c所示。

4 結語

截交線教學的難點在于學生難以理解復雜截交線形狀，找不到合適的分析方法與解題思路。本文總結截交線投影規(guī)律及作圖原理，利用假象完整截切原理引導學生理解復雜截交線形狀，利用類似形原理幫助學生避免截交線頂點過多時出錯，提出一套完整截交線解題方法。實踐證明，求解截交線的新思路與新方法取得良好教學效果。

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