王瑞群?李久省

即將開始的最新一輪的課程改革將以發(fā)展核心素養(yǎng)體系為依據(jù)，進一步修訂課程及教學，數(shù)學學科在此基礎上給出了六大核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析。為了提升學科核心素養(yǎng)，需要我們更加有效地利用信息技術和課堂，培養(yǎng)學生的學習興趣和熱情，讓學生自己去發(fā)現(xiàn)和觀察，去主動探究和學習。在上述思想的指引下，“拋物線及其標準方程”探究活動就以借助TI（德州儀器，Texas Instruments）手持技術圖形計算器等技術手段，讓學生積極參與探究，充分激發(fā)潛能為核心進行了教學設計。

TI手持技術是依托TI圖形計算器進行問題探索研究的技術，TI圖形計算器（見圖1）體積小、攜帶方便，更有利于教師與學生進行課堂互動。TI圖形計算器不僅具有強大的計算功能，更融合了幾何畫板的繪圖功能，更適合數(shù)學學習過程中探究活動的展開。

一、教學內(nèi)容分析

拋物線是中學數(shù)學的重要內(nèi)容。關于拋物線圖形，初中已經(jīng)在二次函數(shù)部分作了簡單說明，本節(jié)對拋物線定義的研究，與二次函數(shù)圖象遙相呼應，體現(xiàn)了數(shù)學的和諧之美，使知識體系更加完善。

拋物線是本章中三種圓錐曲線的最后一種，其研究方法與前面已經(jīng)學過的橢圓、雙曲線一致，所以本節(jié)課的學習具有“承上”功能：把前面的思想方法統(tǒng)一起來，學生可以從具體的情境中抽象出拋物線模型，感受拋物線在刻畫現(xiàn)實世界中的作用，再通過分析幾何特征畫出拋物線，讓學生直觀感知幾何圖形的曲線美、簡潔美和對稱美，進一步落實求曲線方程的一般方法，滲透數(shù)形結合的思想方法，提高用坐標法解決幾何問題的能力。同時，本課可以為后續(xù)學習做好鋪墊，所以又起到了“啟下”的重要作用。

二、學情分析

第一，學生學習了橢圓及雙曲線，并能用TI手持圖形計算器畫出相應圓錐曲線，了解了用坐標法求曲線方程的一般方法，有了一定的知識儲備。第二，對于圖形計算器，一部分學生喜歡利用它作為輔助工具完成數(shù)學探究，積極性較高。但并不是所有的學生都喜歡使用圖形計算器，教師應當尊重學生們的選擇。第三，高二年級學生經(jīng)過一年多的高中數(shù)學學習，有了一定的探究意識，能主動參與到課堂中來，是課堂的主人，是學習中的發(fā)現(xiàn)者和探究者。

三、教學目標與重難點

1.知識與技能

理解拋物線的定義和焦點在x軸上的標準方程。

2.過程與方法

經(jīng)歷拋物線軌跡的生成探究過程，建構拋物線的概念，并探求拋物線的標準方程，進一步掌握解析幾何的基本思想方法，提高觀察分析、比較概括的能力。

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過本節(jié)課的學習，感受“形”與“數(shù)”的聯(lián)系，體會數(shù)形結合的思想，體驗研究解析幾何的基本思想，培養(yǎng)學生動手能力和協(xié)作探究精神，樹立學好數(shù)學的信心；通過對核心知識的掌握，提高學生數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)。

4.教學重點難點

重點：拋物線的定義及其標準方程。

難點：拋物線的畫法。

四、教法分析

為了充分調動學生的積極性，使學生變被動學習為主動學習，采用了“問題、引導、探究”式的教學模式，在課堂教學中始終貫徹“教師為主導，學生為主體，探究為主線”的教學思想，通過引導學生實驗、觀察、比較、分析和總結，使學生充分地動手、動口、動腦，參與教學的全過程。

在教學工具方面，使用自制教具、TI 手持圖形計算器、PAD實物投影、幾何畫板。在技術準備方面，準備一個教學班的TI手持圖形計算器，讓學生掌握其基本操作原理，并利用圖形計算器即時發(fā)送問題的功能，對學生的知識掌握情況有準確的把握，便于教師給予及時的反饋。

五、活動設計

一部分同學能靈活運用手持圖形計算器解決一些數(shù)學問題，但仍有一部分同學雖然接觸過，操作卻不太熟練。所以要提供給學生不同的作圖工具，如作圖紙等，實現(xiàn)可選擇性。通過不同方式畫拋物線，讓學生全員參與，感悟和體驗由拋物線的定義生成拋物線軌跡的過程，實現(xiàn)機器繪圖和手工繪圖的完美結合，為后續(xù)繼續(xù)學習打好基礎。所有學生利用無線導航登錄教師管理平臺，教師通過管理平臺即時發(fā)送問題，對學生給予及時的評價和反饋。

六、探究過程

1. 視頻引入，明確課題

先播放本班同學打籃球時投籃的視頻，快速抓住學生的眼球，然后展示生活中與拋物線有關的實例，例如探照燈、雷達天線等。

師：某同學縱身一躍投籃，籃球的運行軌跡呈現(xiàn)什么形狀？

生：拋物線。

師：拋物線是我們生活中常見的重要曲線，在日常生活中有重要應用，例如太陽灶、雷達天線等都呈現(xiàn)拋物線的形狀，這節(jié)課我們就一起來學習拋物線。

【設計意圖】感受拋物線的直觀形狀，引入課題， 使學生認識到學習拋物線的必要性。

2.探究軌跡，直觀感知

師：數(shù)學中規(guī)定，平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（）距離相等的點的軌跡叫作拋物線，請大家根據(jù)定義畫一畫拋物線。要求：4人一小組，探討畫圖方案，可以使用繪圖紙手工畫圖，也可以用老師提供的教具，還可以使用TI 圖形計算器畫圖，選取的方式根據(jù)本組討論情況而定，8分鐘后匯報設計方案，并用實物投影儀展示。（教師關注每個人的活動情況，從同學們的探究中，了解學生對知識理解的不同程度和思考的不同角度，同時注意收集有代表性的方案。）

第一組：學生用作圖紙作圖

學生甲：到定點距離相等的點都是在以定點為圓心，定長為半徑的圓上，且到定直線距離相等的點是在與直線平行的直線上，那么到定點和到定直線距離相等的點就在上述圓與直線的交點上，重復上述做法，用平滑的曲線連接即得到拋物線（見圖2）。

學生乙：在直線上任選一點A，做出到點A與定點F距離相等的點，重復上述做法，用平滑的曲線連接即得到拋物線（見圖3）。

第二組：學生借助圖形計算器作圖

學生丙：利用了圖形計算器強大的度量功能，平面任意選擇一點B，分別度量出點到定直線與點B到定點的距離，兩距離作差（或者作商）等于0時，即為符合題意的點，追蹤該點生成軌跡，完成作圖（見圖4）。

學生?。褐本€上任選一點C，做出到點C與定點F距離相等的點，追蹤該點生成軌跡，完成作圖（見圖5）。

第三組：利用教師提供的教具，完成探究任務

學生戊：利用教具，先畫一個定點和一條定直線，借助圖釘和細繩構造到定點和定直線距離相等的一個點，拖動細繩畫出軌跡（見圖6）。

師：學生乙與學生丁的作圖方式，實現(xiàn)了機器繪圖與手工繪圖的完美融合。機器繪圖要求對機器操作的熟練度比較高，理論上能想清楚，但操作上可能會遇到很多困難。手工繪圖重復性工作比較多，但是大家根據(jù)各自的實際情況，采取不同方式完成任務，達到了兩種形式并存。

【設計意圖】通過讓學生親身體驗，感受定義的要素，充分調動學生自身的“數(shù)學觀察”與思維能力，對問題做出解釋、加工，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和性質，“生長”出新的知識，建構正確的概念。

3.圖象特征，正確分析

教師用幾何畫板展示一條拋物線，引導學生認真觀察，通過對幾個問題的探究達到深度認識和掌握拋物線圖象特征的目的（見圖7）。

師 ：請大家認真觀察，拋物線在無限遠處的形狀是什么樣的？

生 ：無限伸展的。

師：拋物線在頂點處的形狀是圓的一部分嗎？

生：不是，不符合圓的定義。

師：拋物線定義中，定點與定直線間的距離（教師邊說邊拖動鼠標，改變定點與定直線之間的距離）會影響拋物線的哪些方面？

生：定點和定直線的距離越大，開口也越大，距離越小，開口也越小。

【設計意圖】通過幾何畫板、TI手持圖形計算器，學生觀察并完成上述問題的討論，明確拋物線圖象的幾何特征，構建正確的概念體系，為之后的學習打好基礎。

4.數(shù)形結合，研究方程

由拋物線的定義，研究拋物線的方程，理解并應用求曲線方程的步驟（建系→設點→等量關系坐標化）。

師：如何建立適當?shù)淖鴺讼担?/p>

生：過作的垂線為軸。

方案一：以的中垂線為軸；

方案二：以準線為軸；

方案三：以過焦點的垂線為軸。

師：設定點到定直線的距離為（） ，則點坐標、直線的方程如何？點滿足什么條件？以上不同建系的情況下拋物線的方程是怎樣的？請板演（見圖8）。

【設計意圖】引導學生對拋物線量化，確定拋物線的標準方程，通過觀察、比較得出拋物線的標準方程，感受數(shù)學的簡潔美，提升學生觀察、分析、比較、概括的能力，為之后的進一步研究做好準備。

5.新知運用，鞏固所學

教師利用圖形計算器的文檔功能發(fā)布調查，學生答題提交后，教師運用圖形計算器的統(tǒng)計功能查看結果并分析（快速便捷，能第一時間掌握學生聽課情況）（見圖9、圖10）。

【設計意圖】 鞏固新知，教師運用手持技術的統(tǒng)計功能快速掌握學生的學習情況，并對有問題的同學及時給予有針對性的指導。

6.小結提升，認知升華

師：我們學習了這一節(jié)課，大家有什么收獲？

生：在知識層面，了解了拋物線的定義，能用軌跡法畫出拋物線，了解了拋物線的標準方程；在方法層面，體會了數(shù)形結合，掌握了轉化和劃歸的思想在解決數(shù)學問題中的應用；通過探索性學習活動，增強了學習的自信心與學習的積極性。

【設計意圖】培養(yǎng)學生梳理知識點，總結知識內(nèi)容，建構知識體系的能力。

7.結尾

開口設計，設疑啟思，為下一節(jié)課做準備。

師：由于建立坐標系時，軸和軸的選取不同，橢圓和雙曲線的標準方程各有兩種形式，請思考拋物線的標準方程有幾種形式。 另外，為了增強數(shù)學的使用價值，拋物線在實際問題中有廣泛的應用，請同學們查閱資料，以“太陽灶為什么是拋物線的形狀”為題完成一篇數(shù)學小論文。

本節(jié)課是“應用信息技術轉變學習方式”的一次成功案例，教師明確了運用信息技術的目的——不是用信息技術替代以前的工作，而是利用它去做過去不易做、不能做的工作，以保證技術能真正促進學生的數(shù)學思維發(fā)展，激發(fā)學生潛能，為學生成長助力。

（作者單位：北京市第二十中學）

責任編輯：孫昕

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