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(衢州第二中學(xué),浙江 衢州 324000)

1 教學(xué)案例1

1.1 知識梳理

教師直接切入正題，和學(xué)生一起從概念復(fù)習(xí)入手，回顧了“基本不等式”這節(jié)內(nèi)容主要涉及的3個問題：

1)重要不等式：若a,b∈R，則a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立；

3)應(yīng)用不等式求最值注意的3個重要條件：一正、二定、三相等.

1.2 正本清源

接下去教師馬上通過PPT展示以下一個題組，然后讓學(xué)生開始辨析正誤.

2)已知x≥0，那么f(x)=1+x2≥2x≥0；

點(diǎn)評教師通過以上題組3個問題的辨析，恰好從“一正、二定、三相等”3個方面對基本不等式求最值的3個條件進(jìn)行了逐一驗(yàn)證.由于題組3個問題的設(shè)置較為簡單，學(xué)生基本都能解決，這樣既復(fù)習(xí)了內(nèi)容，也再次強(qiáng)調(diào)了3個條件缺一不可.

1.3 應(yīng)用舉例

在接下來的教學(xué)過程中，教師先是以例1的形式改編了書本上一個簡單的練習(xí)題.之后教師進(jìn)行了一系列的變式教學(xué).

(人教A版《數(shù)學(xué)(必修5)》第100頁練習(xí)1改編)

點(diǎn)評教師先對教材上習(xí)題進(jìn)行簡單的改編，然后進(jìn)行一系列的變式拓展，在難度上有一個由易到難的梯度，這樣既能照顧到不同層次的學(xué)生，使所有學(xué)生都能參與進(jìn)來，又能讓他們體會到題目之間的變遷聯(lián)系，可以更好地理解和掌握知識.

點(diǎn)評教師通過變式2和變式3，強(qiáng)調(diào)當(dāng)基本不等式不能直接使用時，可以做適當(dāng)變形，使得基本不等式派上用場.通常也可以用換元法，如變式3中可以令t=x+1，但應(yīng)注意的是換元以后新變量的范圍有限制，通過換元可以將問題化歸為形如變式1的問題.變式4也可以通分化歸到變式3，進(jìn)而化到變式1.

這樣就轉(zhuǎn)化為變式4的情形了(略).

解法2(1的代換)

教師最后強(qiáng)調(diào)解法2同樣適用在變式4中，只要將1看成是(1-2x)+2·x即可，由于時間關(guān)系就留給學(xué)生課后思考.

點(diǎn)評筆者認(rèn)為案例1中教師這樣的題組安排與變式設(shè)計(jì)是比較合理的,其中設(shè)置的兩個題組都是圍繞著教學(xué)目標(biāo)和重點(diǎn)展開的.尤其是例1問題的引入是從教材上一個簡單的習(xí)題開始，然后經(jīng)過4個變式題螺旋式呈現(xiàn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，逐步深入，讓學(xué)生體會到題目的演變規(guī)律，在變中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì).通過例2的呈現(xiàn)，將問題的難度以及解法的廣度又往前推了一步，使整堂課達(dá)到一個高潮.

2 教學(xué)案例2

2.1 復(fù)習(xí)定位

教師在教學(xué)內(nèi)容的引入上先是用PPT展示了《考試說明》上的要求：會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題，為本節(jié)課的復(fù)習(xí)奠定了基調(diào).之后教師與學(xué)生一起回顧了“基本不等式”的內(nèi)容及常用的3個變形：

1)a2+b2≥2ab;

2.2 小試牛刀

教師通過一個簡單的題組讓學(xué)生思考并弄清基本不等式求最值應(yīng)滿足的3個基本條件：一正、二定、三相等.

3)已知a>0,b>0，且a+b=1，求ab的最大值；

2.3 走向高考

縱觀近幾年的浙江省數(shù)學(xué)高考，不等式題型以“已知兩個變量的一個等量關(guān)系求最值問題”出現(xiàn)的頻率較多.

例4已知x>0，y>0，且3x+y=1，求3x·y的最大值.

變式1已知x>0，y>0，且3x+y=1，求2x·(x+y)的最大值.

教師從例4這個簡單問題入手，學(xué)生可直接根據(jù)“和為定值，積有最大值”的結(jié)論進(jìn)行判斷.變式1和變式2也可以通過“不等式串”快速找到目標(biāo)式與已知條件之間的關(guān)系，求出最大值即可，當(dāng)然過程中還要注意到等號取到的條件.

教師通過變式3和變式4，說明當(dāng)目標(biāo)式和已知條件間關(guān)系難建立時，可以考慮將“1”作“3x+y”的代換，這樣就能構(gòu)造出積為定值的情況.與變式4類似，只要把分式轉(zhuǎn)成整式，即可得變式5和變式6，從而讓學(xué)生體會高考題的改編歷程.

變式5已知x>0，y>0,且3x+y=xy，求x+y的最小值.

變式6已知x>0，y>0，且x+3y=5xy，求3x+4y的最小值.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第9題)

通過以上兩個變式題，學(xué)生可以感受到高考題并不神秘，并且從中找到了成功的喜悅.教師借此又增加了一個常數(shù)6，繼續(xù)改編得到變式7.

變式7已知x>0，y>0，且2x+y+6=xy，求xy的最小值.

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第15題)

點(diǎn)評案例2中教師關(guān)于本節(jié)復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)是別具一格的.整堂課緊緊圍繞著“已知二元變量的等量關(guān)系求解最值問題”展開，通過例4得到7個變式，問題的設(shè)計(jì)由易到難，精心巧妙，體現(xiàn)了問題循序漸進(jìn)的過程，最后改編還得到了2010年和2012年的高考真題.從課堂氣氛來看，達(dá)到了較好的復(fù)習(xí)效果.

3 對新一輪高考復(fù)習(xí)課的思考

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課作為整個高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重中之重，如何進(jìn)行高效復(fù)習(xí)成了每位教師最關(guān)注的話題.筆者發(fā)現(xiàn)，教師的行動非常重要，除了要清楚高考考什么(即明確復(fù)習(xí)課的定位)以外，對復(fù)習(xí)課的選題、組織形式、數(shù)學(xué)思想方法的滲透等方面也應(yīng)充分考慮，只有這樣才能使學(xué)生少走彎路.以下是筆者結(jié)合此次同課異構(gòu)課，對于復(fù)習(xí)高效性的幾點(diǎn)思考：

3.1 復(fù)習(xí)課的選題要精益求精

教師在知道了高考考什么以后，要考慮的問題就是怎么考.一節(jié)課堂40分鐘，可能講解1～2個綜合性強(qiáng)點(diǎn)的高考題或是模擬題就已經(jīng)不夠用了.如何才能提高效率？筆者認(rèn)為選題是至關(guān)重要的.既然不可能面面俱到，那選題就應(yīng)精益求精，選一些具有典型性、代表性的例題.那么該從何處來選題呢？筆者認(rèn)為有兩個很好的題源值得每位教師研究：一是教材上的一些例題或習(xí)題，這些題目還是有相當(dāng)豐富的內(nèi)涵和廣闊的外延的，合理地挖掘，可以提升其價值；二是高考真題，高考真題應(yīng)是出卷人智慧的集中體現(xiàn)，適度地拓展加深，也可以展現(xiàn)數(shù)學(xué)獨(dú)特的魅力.

從這一點(diǎn)看，案例中的兩位教師對于復(fù)習(xí)課的選題還是動過一番心思的：案例1的教師選擇從教材上最基本的不等式求最值入手，題目入口較寬，然后適當(dāng)變式，使班中不同層次的學(xué)生都能有收獲；而案例2的教師把目標(biāo)定在了高考真題上，為了降低難度讓每位學(xué)生可以跳一跳夠得到，該教師采用遞進(jìn)式教學(xué)，層層鋪墊最終把學(xué)生帶進(jìn)高考，展示近幾年浙江省數(shù)學(xué)高考卷中不等式題的變遷過程，破解出高考題的本質(zhì)，相信每個學(xué)生都應(yīng)是有收獲的.

3.2 題組與變式要精心設(shè)計(jì)

復(fù)習(xí)課的高效同樣離不開課堂的組織形式.筆者認(rèn)為在復(fù)習(xí)課中恰當(dāng)?shù)亻_展題組與變式可以大大提高復(fù)習(xí)的有效性.題組中的題目由易到難，由單一到綜合，使基本知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法在題組中反復(fù)出現(xiàn).這樣不僅可以強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)識，還可以幫助教師了解學(xué)生的掌握情況.

筆者認(rèn)為上述兩個案例教學(xué)之所以取得較好的成效，與兩位教師在題組與變式教學(xué)上下功夫有很大關(guān)系.數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，然而很多時候?qū)W生并不會去想“為什么可以這樣做，而不能那么做”，通過題組與變式的過程可以將學(xué)生的思維逐步引入到更高的層次.當(dāng)然，教師對于題組與變式要精心設(shè)計(jì)，不能為“變式”而變式，使變式成為一種形式.不恰當(dāng)?shù)淖兪街皇且环N生搬硬套，揭示不了題目間的內(nèi)在聯(lián)系.

在案例2中，教師對題組中的問題進(jìn)行了精心設(shè)計(jì)，并由例4演變出了7個變式題，這些變式層層遞進(jìn)，雖然只有兩個題組，但蘊(yùn)含的題量，涉及的數(shù)學(xué)內(nèi)容和思想方法卻是相當(dāng)飽滿豐富的.這樣的設(shè)計(jì)使學(xué)生可以在題組與變式下辯證地思考問題，可以從中體會到題目之間的變遷關(guān)系，而這樣的變遷可能就可以深挖出高考出題的源頭,讓學(xué)生覺得高考并不那么神秘.

波利亞說過：“一個專心備課的教師能夠拿出一個有意義但又不會太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域.”因此適當(dāng)?shù)刈兪浇虒W(xué)可以真正地以點(diǎn)帶面，提高復(fù)習(xí)的有效性.

3.3 數(shù)學(xué)思想要與解題方法并進(jìn)

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)解題的依據(jù)，在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中不可或缺.但事實(shí)上很多教師在復(fù)習(xí)課中太過于關(guān)注解題方法，以至忽視了數(shù)學(xué)思想的滲透.從這點(diǎn)看，兩位教師在概念復(fù)習(xí)時都有欠缺，即將教學(xué)局限在幾個重要結(jié)論的回憶上.

本節(jié)課涉及的數(shù)學(xué)思想，首先應(yīng)是轉(zhuǎn)化化歸思想，當(dāng)基本不等式不能使用時，像案例1中的例2及案例2中的例4及7個變式都可以用消元這樣一種通性通法去解決，同時這樣還可以體現(xiàn)函數(shù)不等式的思想.如果再繼續(xù)考慮，那么還可以引出線性規(guī)劃問題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.筆者建議最后思想方法的小結(jié)應(yīng)交給學(xué)生，教師可以引導(dǎo)但不是蜻蜓點(diǎn)水般地灌輸給學(xué)生.

事實(shí)上，如何更好地提高課堂效率是一個永久的話題，沒有固定的方法，我們唯有不斷地實(shí)踐探究，相互切磋，試著從教學(xué)實(shí)際中找到我們永恒追求的方向.