蒲 浩， 王來全， 劉衍民， 劉向虎

(1.遵義師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院， 貴州 遵義 563006； 2.昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部， 新疆 昌吉 831100)

BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在1987年被Koskos提出[1], 在不同領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用, 如模式識別、圖像處理、 優(yōu)化問題等. 為此， 研究者對BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了廣泛深入的研究[2-4].

與一階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比較而言， 高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在網(wǎng)絡(luò)的收斂速度、 儲存水平、 逼近能力等方面有一定的優(yōu)勢. 然而, 研究者主要考慮了一階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解的穩(wěn)定性問題及驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步問題[5-6]， 如文獻(xiàn)[6]中作者研究了脈沖對具有變時滯模糊BAM細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)同步的影響， 而沒有對高階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問題進(jìn)行研究.

文獻(xiàn)中提到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步指在無限長時間內(nèi)實現(xiàn)同步， 而出于效益的考慮， 要求神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在較短時間內(nèi)實現(xiàn)同步.為此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)能否實現(xiàn)同步的問題被廣泛研究[7-8]， 如文獻(xiàn)[8]中作者通過自適應(yīng)反饋控制的方法研究了一類具有混沌和超混沌系統(tǒng)在有限時間內(nèi)的同步.

本文將對具有變時滯的高階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)的同步問題進(jìn)行研究.

1 模型和預(yù)備知識

考慮如式(1)的具有變時滯的高階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)

(1)

式中： 1≤i，j≤n；xi(t)，yi(t)表示在t時刻第i層和第j層神經(jīng)元之間的狀態(tài)變量；fj(·)，gj(·) 表示激活函數(shù)；aij，pij，bijl，qijl表示連接權(quán)重； 0≤τij(t)≤τ， 0≤σij(t)≤σ表示t刻信號在神經(jīng)元之間的轉(zhuǎn)換時滯.

對應(yīng)于系統(tǒng) (1)的初值條件為

式中：φ(s)=(φ1(s)，φ2(s)， …，φn(s))T，φ(s)=(φ1(s)，φ2(s)， …，φn(s))T∈C=([t0-τ，t0]，Rn)， 指的是把[t0-τ，t0] 映射到Rn上的所有連續(xù)函數(shù)組成的一個具有p-范數(shù)的Banach空間(p≥2是一個正整數(shù))， 其中r-范數(shù)在本文中定義形式為

(3)

對于系統(tǒng)(1)， 我們假設(shè)

對所有的u，v∈R，u≠v和1≤i，j≤n都成立.

對所有的x，y∈R，x≠y和1≤i，j≤n都成立.

令

把系統(tǒng) (1) 作為主驅(qū)動系統(tǒng)， 則從系統(tǒng)為

(5)

式中：Ti(t)，Zj(t)(1≤i，j≤n)表示外部控制輸入.

從系統(tǒng)(5)的初值條件是

為了書寫方便， 記

由系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(5)， 我們可以得到誤差系統(tǒng)， 即

(7)

式中：Ti(t)和Zj(t)是控制輸入項， 為

Ti(t)=

Zj(t)=

定義1 對于主驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(5)， 設(shè)存在一個常數(shù)T>0， 使得

同時, 當(dāng)t>T時, ‖u(t)-x(t)‖=0和‖v(t)-y(t)‖=0， 則稱主驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(5)在有限時間(t0，T]內(nèi)同步.

2 輔助引理

引理1[9]對任意的非負(fù)實數(shù)a和b，不等式pap-1b≤(p-1)ap+bp，p≥2成立.

引理3[11]對任意的非負(fù)實數(shù)a和b， 且0

引理4[12]存在一個連續(xù)且正定的函數(shù)V(t)， 常數(shù)λ>0， 0<θ<1， 若微分不等式

成立， 則對任意給定的t0， 不等式

V1-θ(t)≤V1-θ(t0)-λ(1-θ)(t-t0)，t0≤t≤T

3 主要結(jié)果

證明構(gòu)造 Lyapunov 函數(shù)

(8)

結(jié)合式(7)， H1)和H2)及引理1， 對V(t)關(guān)于t計算 Dini 右上導(dǎo)數(shù)， 可以得到

(10)

根據(jù)引理2可知

(11)

根據(jù)引理3和式(11)可知

由式(12)可知

根據(jù)引理4可知

注1 在較早的文獻(xiàn)中[9]， 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)要在無限時間內(nèi)才能實現(xiàn)同步. 出于效益的考慮， 工程領(lǐng)域需要神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在較短的時間內(nèi)實現(xiàn)同步. 本文通過有限時間穩(wěn)定性理論， 研究了具有變時滯高階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)的同步， 更加實用有效.

4 推 論

范數(shù)p=2， 且主驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(5)中沒有高階項是本文的特殊情況.

主驅(qū)動系統(tǒng)為

(13)

對所有的u，v∈R，u≠v和1≤i，j≤n都成立. 響應(yīng)系統(tǒng)為

(14)

式中：mi(t),nj(t)為外部輸入控制， 即

mi(t)=

nj(t)=

記

注2 高階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)實現(xiàn)同步的過程中， 由于系統(tǒng)自身和外界因素對高階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)實現(xiàn)同步有影響， 如脈沖、 反應(yīng)擴(kuò)散、 隨機(jī)擾動、 時滯等， 故對帶有脈沖、 反應(yīng)擴(kuò)散、 隨機(jī)擾動和時滯的高階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時間內(nèi)的同步問題需要進(jìn)行進(jìn)一步研究.

5 數(shù)值例子

在驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(5)中， 取

b111=2.3，b121=-0.25，b211=-1.48，b221=1.2，c112=-2.48，c122=-0.45，c212=0.22，c222=-2.q111=2.1，q121=-0.29，q211=-2.48，q221=1.2，q112=-2.45，q122=-4.6，q212=0.25，c222=-3.

由上述數(shù)據(jù)計算可得

|b122|=32.03，

|b222|=26.01，

|q122|=91.11，

|q222|=50.02，

經(jīng)過計算得ω1=4.2，ω2=3，k1=5，k2=6.1， 可知a=3.

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