廖怡娜，金朝永

(廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

眾所周知，函數(shù)的凸性和連續(xù)性在非線性優(yōu)化中扮演著重要的角色. 比如：分離定理，極小極大定理和鞍點(diǎn)定理都與函數(shù)的凸性和連續(xù)性緊密相關(guān). 在過(guò)去幾十年里，向量?jī)?yōu)化也得到快速的發(fā)展(見(jiàn)，[1-6]).

本文目的是借助Chen[7][8]給出的廣義半連續(xù)函數(shù)的概念和Finet[4]提出的序半連續(xù)向量值函數(shù)定義，利用半連續(xù)性得到向量值函數(shù)的Pareto 優(yōu)化解和對(duì)廣義鞍點(diǎn)定理進(jìn)行推廣，最后討論了一類向量平衡問(wèn)題的解的存在性問(wèn)題.

這里假設(shè)N是正的自然數(shù)，E是實(shí)序Banach空間，C?E是閉凸尖錐且intC≠?，引入E上的序關(guān)系：y≤x?x-y∈C，?x,y∈E. 若y

為敘述方便，我們給出如下定義：

定義1.1[7-8]是實(shí)Banach空間.

(3)若f在X上上方下半連續(xù)是指在X中的每一點(diǎn)都是上方下半連續(xù)的；若f在X上下方上半連續(xù)是指在X中的每一點(diǎn)都是下方上半連續(xù)的.

注1.1 (a) 顯然上方下半連續(xù)和下方上半連續(xù)是半連續(xù)函數(shù)的推廣.反之，不成立.

(b) 在文獻(xiàn)[10]中上方下半連續(xù)和下方上半連續(xù)也被定義為單調(diào)半連續(xù).

顯然f在0處是上方下半連續(xù)，但不是下半連續(xù).

下面我們介紹向量值映射上的半連續(xù)定義.

定義1.2[1，4，8，9]設(shè)X是實(shí)Banach空間，假設(shè)f∶X→E是一個(gè)向量值映射.

(1) 若f在x0∈X是C-下半連續(xù)，是指對(duì)f(x0)的任意鄰域V，都存在x0的一個(gè)鄰域U，使得f(x)?V+C，?x∈U.

(2) 若f在x0∈X是C-擬下半連續(xù)，是指對(duì)任意的b∈E，{x∈X∶f(x)≤b}是閉集.

(3) 若f在x0∈X是序下半連續(xù)，是指對(duì)每一個(gè)序列{xn}?E使得xn→x0，就存在序列{εn}?E收斂于0且f(xn)+εn≥f(xn+1)+εn+1，?n∈N，則存在序列{gn}?E收斂于0使得f(x0)≤f(xn)+gn，?n∈N.

(4) 稱f∶X→E在x0∈E是C-上方下半連續(xù)，如果對(duì)任意的序列{xn}，xn→x0，f(xn+1)≤f(xn),?n∈N使得f(x0)≤f(xn).

注1.2 (a)f是C-上半連續(xù)是指-f是C-下半連續(xù)，f是C-擬上半連續(xù)是指-f是C-擬下半連續(xù)，f是序上半連續(xù)是指-f是序下半連續(xù)，f是C-下方上半連續(xù)是指-f是C-上方下半連續(xù).

(b) 若E=R，很容易得到(1)(2)(3)是等價(jià)的，但對(duì)于無(wú)窮維空間就不成立了(見(jiàn)，[4]). 但是有(1)?(2)?(4),(1)?(3)，由于假設(shè)intC≠?，從而(2)?(3).

(c) 現(xiàn)在我們證明(3)?(4). 事實(shí)上，任取{xn}?X使得xn→x0且f(xn)≥f(xn+1)，由于f是序下半連續(xù)，故存在序列{gn}收斂于0使得

f(x0)≤f(xn)+gn.

又因?yàn)閷?duì)?n，l∈N，f(xn+l)∈f(xn)-C,那么有

f(x0)∈f(xn+l)+gn+l-C?f(xn)-C+gn+l-C=f(xn)+gn+l-C.

因?yàn)镃是閉的，所以f(x0)≤f(xn),?n∈N.

所以(3)?(4).

(d) 從注(c)可知C-上方下半連續(xù)比序下半連續(xù)更弱. 那么結(jié)合注(b)(c)可得

(1)?(2)?(3)?(4)

定理1.1設(shè)X是實(shí)Banach空間，若β∶X→(0,+∞)是上方下半連續(xù)，對(duì)每個(gè)v∈C，則F(x)=β(x)v是C-上方下半連續(xù)．

證明：任取{xn}?E使得xn→x0，F(xiàn)(xn)≥F(xn+1)，可推出β(xn)≥β(xn+1).

因?yàn)棣?x)是上方下半連續(xù)，故β(x0)≤β(xn).

因此對(duì)每個(gè)v∈C，則β(x0)v≤β(xn)v,?n∈N.

注1.3 若β是下半連續(xù)函數(shù)，則β(x)v是C-下半連續(xù)的. 這相應(yīng)的結(jié)果是[9]中定理2.1的結(jié)果. 更一般地，β(x)v是序下半連續(xù).

定義1.3[2,3]設(shè)A?E非空子集.

(1)稱x∈A極小點(diǎn)，如果A∩(a-C)={a}；記minA是A中所有極小點(diǎn)的集合.

(2)稱x∈A極大點(diǎn)，如果A∩(a+C)={a}；記maxA是A中所有極大點(diǎn)的集合.

(3)稱x∈A弱極小點(diǎn)，如果A∩(a-intC)=?；記minwA是A中所有弱極小點(diǎn)的集合.

(4)稱x∈A弱極大點(diǎn)，如果A∩(a+intC)=?；記maxwA是A中所有弱極大點(diǎn)的集合.

顯然，minA?minwA，maxA?maxwA.

定義1.4[3,9]設(shè)X和Y是實(shí)Banach空間，假設(shè)f∶X×Y→E是一個(gè)向量值映射.

(1)稱(x0,y0)∈X×Y是f的C-鞍點(diǎn)，是指

f(x0,y0)∈maxf(x0,Y)∩minf(X,y0).

(2)稱(x0,y0)∈X×Y是f的弱C-鞍點(diǎn)，是指

f(x0,y0)∈maxwf(x0,Y)∩minwf(X,y0).

注1.4 顯然，f的C-鞍點(diǎn)都是弱C-鞍點(diǎn).

定義1.5[2,3]設(shè)X0?X是非空凸子集，f∶X0→V是一個(gè)向量值映射.

(1)稱f在X0是C-凸，是指對(duì)任意x1,x2∈X0,?t∈[0,1]有

f

tx1+(1-t)x2

≤tf(x1)+(1-t)f(x2).

(2)稱f在X0是真C-擬凸，是指對(duì)任意x1,x2∈X0,?t∈[0,1]有

f

tx1+(1-t)x2

≤f(x1)或f

tx1+(1-t)x2

≤f(x2)

至少有一個(gè)成立.

注1.5 若-f在X0是C-凸，則稱f是C-凹.；若-f在X0是真C-擬凸，則稱f是真C-擬凹.

定理1.2設(shè)X是緊的實(shí)Banach空間，E是可分實(shí)序Banach空間，若f∶X→E是上方下半連續(xù)，則minf(X)≠?.

證明：f(X)取中的所有全序子集

f(xα)∶α∈I

，I是指標(biāo)集. 現(xiàn)在只需要證明

f(xα)∶α∈I

有下界.

因?yàn)镋是可分，所以存在{f(xα)∶α∈I}的稠密子集{f(xn)∶n≥1}，不妨假設(shè)f(x1)≥f(x2)≥…，又因?yàn)閤n∈X和X是緊的，故{xn}有收斂子列，不妨設(shè)其為{xn}且xn→x0.

因f是上方下半連續(xù)，故有f(x0)≤f(xn)，?n≥1.

接下來(lái)要證f(x0)≤f(xα)，?α∈I. 對(duì)任意f(xα)，由于E的可分性，存在子集{f(xn)}

f(xn)→f(xα).

因f(x0)≤f(xni)和C是閉集，令i→+∞，故f(x0)≤f(xα),?α∈I.

即{f(xα)∶α∈I}有下界.

由Zorn引理，可得minf(X)≠?.

注1.6 (a) 定理1.2結(jié)論得出廣義半連續(xù)存在Pareto優(yōu)化問(wèn)題的解，進(jìn)一步還可以得出minwf(X)≠?.

(b) 若命題1.2中的f是C-下方上半連續(xù)，則maxf(X)≠?.

(c) 若E=R，則得出廣義Weierstrass 定理.這與文獻(xiàn)[7]命題1.7結(jié)論相一致.

(d) 若定理1.2的條件不變，f是真C-擬凸，則minf(X)是單值的.

事實(shí)上，若有x1,x2∈X使得f(x1)，f(x2)∈minf(X),因f是真C-擬凸，令x(t)=tx1+(1-t)x2，t∈[0,1],則有

[0,1]={t∶f(x(t))≤f(x1)}∪{t∶f(x(t))≤f(x2)}，

現(xiàn)在先證{t∶f(x(t))≤f(x1)}是閉集. 任取{tn}?{t∶f(x(t))≤f(x1)}使得tn→t0.

故有f(x(tn))≤f(x1)，從而f(x(tn))=f(x1).

因f是上方下半連續(xù)，故有

fx(t0)≤fx(tn).

即是f(x(t0))≤f(x1)，故t0∈{t∶f(x(t))≤f(x1)}.

同理可得{t∶f(x(t))≤f(x2)}是閉集.

引理1.1[9]設(shè)X是實(shí)Banach空間，假設(shè)f,g∶X→E是兩個(gè)向量值映射，f是連續(xù)的和g是序下半連續(xù). 則f+g是序下半連續(xù).

注1.7 (a)若引理1.1條件不變，由注1.2(c)可以知道f+g是C-上方下半連續(xù).

(b) 在文獻(xiàn)[9]中，若f,g是C-下半連續(xù)，則f+g也是C-下半連續(xù).

2 主要結(jié)果

這一節(jié)，我們給出廣義的半連續(xù)向量值函數(shù)的鞍點(diǎn)定理.

定理2.1設(shè)X和Y是緊的實(shí)Banach空間，E是可分實(shí)序Banach空間，假設(shè)f∶X×Y→E是一個(gè)向量值映射，若f(x,y)=u(x)+v(y)，其中u是上方下半連續(xù)，v是下方上半連續(xù). 則f至少有一個(gè)弱C-鞍點(diǎn).

證明：由假設(shè)條件和定理1.2，可得

minwu(X)≠?，maxwv(Y)≠?.

所以，存在x0∈X,y0∈Y使得

u(x0)∈minwu(X)和v(x0)∈maxwv(Y)，

因此，有

f(x0,y0)=u(x0)+v(y0)∈u(x0)+maxwv(Y)∩minwu(x)+v(y0)=maxwu(x0)+v(Y)∩minwu(X)+v(y0)=maxwf(x0,Y)∩minwf(X,y0).

這就證明了(x0,y0)是的一個(gè)弱C-鞍點(diǎn).

注2.1 若定理2.1條件中E=R，則f(x0,y0)=minwf(x0,Y)=maxwf(X,y0).

定理2.2設(shè)X和Y是緊的實(shí)Banach空間，E是可分實(shí)序Banach空間，假設(shè)f∶X×Y→E是一個(gè)向量值映射，若f(x,y)=u(x)+β(x)v(y)，其中u是連續(xù)，v是下方上半連續(xù)，β∶X→(0,+∞)是連續(xù)，則f至少有一個(gè)弱C-鞍點(diǎn).

證明：由假設(shè)條件，可以找到一個(gè)y0∈Y使得v(y0)∈maxwv(Y). 由于u,β的連續(xù)性，從而x├→u(x)+β(x)v(y0)是連續(xù). 因和是緊的實(shí)Banach空間，則存在使得

故f(x0,y0)∈minwf(X,y0).

另一方面，因β(x)>0，?x∈X,我們有

β(x0)maxwv(Y)∈maxwβ(x0)v(Y)，故f(x0,y0)∈maxwf(x0,Y)

所以(x0,y0)是的一個(gè)弱C-鞍點(diǎn).

注2.2 顯然定理2.2的結(jié)論是[9]中定理3.1的推廣.

定理2.3設(shè)X和Y是緊的實(shí)Banach空間，E是可分實(shí)序Banach空間，假設(shè)f∶X×Y→E是一個(gè)向量值映射，若f(x,y)=u(x)+β(x)v(y)，其中u是連續(xù)，v是序上半連續(xù)，β∶X→(0,+∞)是下半連續(xù)且C∩maxwv(Y)≠?，則f至少有一個(gè)弱C-鞍點(diǎn).

證明：由假設(shè)v是序上半連續(xù)，從而v是C-下方上半連續(xù)，所以maxwv(Y)≠?. 由假設(shè)取一個(gè)y0∈Y使得v(y0)∈C∩maxwv(Y). 因u的連續(xù)性和β的下半連續(xù)，由引理1.1可以得出x├→u(x)+β(x)v(y0)是上方下半連續(xù). 因X，Y是緊的實(shí)Banach空間和E是可分的，則存在x0∈X使得

從而f(x0,y0)∈minwf(X,y0).

接下來(lái)，按照定理2.2證明過(guò)程，可以得出f(x0,y0)∈maxwf(x0,Y). 證明完畢

注2.3 若定理2.3中的是C-下半連續(xù)，v是C-下方上半連續(xù)，其它條件不變，則結(jié)論依然成立.

下面證明一類廣義向量值映射存在向量值平衡問(wèn)題的解

定理2.4設(shè)X是緊的實(shí)Banach空間，E是可分實(shí)序Banach空間，假設(shè)f∶X×Y→E是一個(gè)向量值映射，其中f(x,y)=u(x)-u(y)∈X，若u是上方下半連續(xù)，則存在y0∈X使得

f(x,y0)?-intC.

證明：由定理1.2可以知道，存在y0∈X使得

u(y0)∈minwu(X)，

那么對(duì)任意x∈X，都有f(x,y0)=u(x)-u(y0)?-intC，?x∈X.

3 結(jié)束語(yǔ)

本文主要利用廣義的半連續(xù)函數(shù)得出 Pareto問(wèn)題優(yōu)化解和獲得鞍點(diǎn)定理，同時(shí)也推廣了[7][9]的一些結(jié)果.

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