鄭達藝

（福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部，福建 福州 350025）

高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計部分的學(xué)習(xí)，常聽到學(xué)生抱怨，學(xué)習(xí)之后，感覺對知識印象不深刻，容易忘記，解題時不知如何下手，沒有解題思路。同時，也時常聽到教師們抱怨概率統(tǒng)計不好教，不知怎么教好。究其原因：一是在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們經(jīng)常強調(diào)演繹思維，在一定的條件下必然產(chǎn)生某種確定的結(jié)果，因此這種確定性思維在學(xué)生的頭腦中根深蒂固，概率論研究的對象是隨機現(xiàn)象，跟代數(shù)、幾何所研究的確定現(xiàn)象有很大不同，思維模式的改變讓我們的慣性思維難于適應(yīng)；二是教材編寫相對簡單，對于定義只給簡單例子，不做進一步的分析闡述；對于性質(zhì)只給簡單例子說明或不給，不做邏輯推理論證；教材所給的知識沒有形成系統(tǒng)、過于碎片化；三是在高考指揮棒下，教師的教學(xué)策略問題，只重視解題教學(xué)，輕視系統(tǒng)化的知識教學(xué)；四是個別教師覺得概率統(tǒng)計不好教、不好上的原因也可能在于他們沒有深刻理解概率統(tǒng)計，沒有抓住概率統(tǒng)計的本質(zhì)，因此避重就輕，以解題教學(xué)代替系統(tǒng)知識教學(xué)。隨著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，新的高中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)的修訂，統(tǒng)計與概率作為高中數(shù)學(xué)的一大模塊，將比以前在高中數(shù)學(xué)中的地位提高，高考中的試題比重也必定提高，因此必須引起我們教學(xué)上的重視。

一、加強概率統(tǒng)計的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，更好理解概率統(tǒng)計

上面講到學(xué)生對解概率統(tǒng)計的題經(jīng)常不知如何下手，沒有解題思路，究其原因是對概率統(tǒng)計的數(shù)學(xué)思想方法沒掌握，因此不知怎么分析，往哪個方向思考；那么概率的基本數(shù)學(xué)思想方法是什么呢？在這里筆者講一講如何分賭金問題，通過這問題的解決，能夠很好體會出概率論的數(shù)學(xué)思想方法。

例1甲、乙兩人同擲一枚硬幣，規(guī)定：正面朝上，甲得一分；若反面朝上，乙得一分。先積3分者贏得全部賭注。假定在甲得得2分，乙得1分時，賭局由于某種原因中止了，問應(yīng)該怎么分配賭注才算公平合理。

當(dāng)時很多人的想法是按2:1分配是合理的，但數(shù)學(xué)家帕斯卡和費馬經(jīng)過通信討論后，分別提出他們的解決辦法。帕斯卡提出：若再擲一次，甲勝，甲獲全部賭注；乙勝，甲、乙平分賭注。兩種情況可能性相同，所以這兩種情況平均一下：甲應(yīng)得賭金的，乙得賭金的。

費馬：結(jié)束賭局至多還要2局，結(jié)果為4種等可能情況：{甲甲 甲乙 乙甲 乙乙}。

前3種情況，甲獲全部賭金，僅第4種情況，乙獲全部賭金。所以甲應(yīng)得賭金的，乙得賭金的。

通過上例，我們可以看出提出正確的解題思路是解決上述問題的關(guān)鍵，同時我們也得到概率論的解題要旨在于對未發(fā)生事件的估計和評價，并根據(jù)事件的概率來解決問題。如果教師把該例給學(xué)生探討并幫助學(xué)生們解決該問題，從中總結(jié)概率論的數(shù)學(xué)思想方法給學(xué)生，將有助于學(xué)生深刻理解概率的思想方法，為以后學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。

在統(tǒng)計學(xué)部分，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)也是相當(dāng)重要的，例如列聯(lián)表獨立性分析案例的教學(xué)，該節(jié)主要通過肺癌與吸煙的一組調(diào)查數(shù)據(jù)：

然后分析患肺癌與是否吸煙的關(guān)系。該節(jié)的深層次的教學(xué)目標(biāo)是通過肺癌與吸煙列聯(lián)表獨立性分析案例學(xué)習(xí)，學(xué)會同一類問題的解決方法。對于這樣的教學(xué)目標(biāo)，獨立性檢驗的思想方法的教學(xué)是教師教學(xué)的關(guān)鍵。通過數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，推導(dǎo)出獨立性檢驗的解題步驟：第一步提出原假設(shè)。第二步在假定假設(shè)為真的前提下，構(gòu)造出小概率事件。第三步根據(jù)樣本，計算小概率事件是否發(fā)生，根據(jù)小概率事件原理，小概率事件發(fā)生，拒絕原假設(shè)；不發(fā)生，沒有理由拒絕原假設(shè)，只能接受原假設(shè)。

二、整體把握概率統(tǒng)計,把看似零碎知識系統(tǒng)化、條理化，形成結(jié)構(gòu)

知識的系統(tǒng)化，可使學(xué)生對知識的掌握達到了一個更高的境界，也能從整體、全局或聯(lián)系中去掌握具體的概念和原理，可使所學(xué)的概念和原理回到知識系統(tǒng)中應(yīng)有的位置上去。如果所學(xué)的知識仍然是支離破碎的、孤立或雜亂無章的，這種無序的知識結(jié)構(gòu)，將給我們對知識的記憶及對知識的應(yīng)用帶來很大問題，而現(xiàn)在高中概率統(tǒng)計的教材所給的知識沒有形成系統(tǒng)、過于碎片化，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)之后，感覺對知識印象不深刻，容易忘記。因此，教師應(yīng)該要能夠整體把握概率統(tǒng)計,把看似零碎知識系統(tǒng)化、條理化，形成結(jié)構(gòu)。下面舉些例子說明怎么把概率統(tǒng)計系統(tǒng)化、條例化、形成結(jié)構(gòu)。

例如，隨機事件與隨機變量什么關(guān)系，對于這個問題，有部分教師可能不是很清楚，學(xué)生們也不懂得，其實隨機變量是隨機事件數(shù)量化的結(jié)果，隨機變量是隨機事件的化身。從數(shù)學(xué)嚴(yán)格的定義：隨機變量X=X（ω）是定義在樣本空間Ω上的實值函數(shù)，即一個樣本點對應(yīng)一個數(shù)值，實值函數(shù)X=X（ω）就稱為隨機變量。所以我們對隨機變量的研究，實質(zhì)是對隨機事件變換一種形式進行研究。明白了上面的關(guān)系，我們就不會把隨機事件與隨機變量研究割裂開來，而是把它們看成一個系統(tǒng)。如果知道了隨機事件與隨機變量的關(guān)系，那大家會發(fā)現(xiàn)對于離散型隨機變量的二項分布和貝努利概型其實是相同的概型，連續(xù)隨機變量的均勻分布與幾何分布也是相同的概型。

對于隨機事件的獨立性的教學(xué)，課文先給出獨立性定義：當(dāng)事件的全集Ω1和Ω2獨立，對于AΩ1和BΩ2，有 P（AB）=P（A）P（B），這時稱事件 A 和 B 獨立。再應(yīng)用定義進行計算解題，這樣的教學(xué)方式，會讓學(xué)生對什么是相互獨立一頭霧水。其實獨立性可以從條件概率推導(dǎo)出來：對于條件概率事件，B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率記為P（A|B），隨機事件相互獨立的本質(zhì)是：當(dāng)事件B發(fā)生與否不影響事件A的發(fā)生 （或事件A發(fā)生與否不影響事件B的發(fā)生），即P（A|B）=P（A），那我們就稱事件 B 與事件 A 相互獨立，進一步我們再根據(jù)乘法公式 P（AB）=P（B）P（A|B）推得 P（AB）=P（A）P（B）。這樣教師既可以讓學(xué)生明白事件相互獨立的本質(zhì)，又可以讓學(xué)生知道為什么P（AB）=P（A）P（B）是事件A與事件B相互獨立性的條件。

三、加強應(yīng)用案例，激發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計的學(xué)習(xí)興趣

概率統(tǒng)計是在解決各種實際問題的實踐中發(fā)展起來的一門應(yīng)用性非常強的學(xué)科，學(xué)生對它的喜愛也許就在于它的應(yīng)用性。所以教師應(yīng)該利用豐富的實際背景，加強應(yīng)用案例的教學(xué)，激發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計的學(xué)習(xí)興趣，而應(yīng)用案例的教學(xué)同時，也讓學(xué)生從中學(xué)會數(shù)學(xué)建模，懂得用概率統(tǒng)計的數(shù)學(xué)思想方法分析問題，而數(shù)學(xué)建模是新修訂課標(biāo)重點數(shù)學(xué)能力。

［1］李戰(zhàn)江.淺談0—1分布在解概率論與數(shù)理統(tǒng)計題中的應(yīng)用［J］.內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2005（3）.

［2］張慧.隨機變量分解及其應(yīng)用［J］.西北輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報，1997（3）.

［3］張德然，茆詩松.高中概率統(tǒng)計教學(xué)中關(guān)于隨機性數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)［J］.課程·教材·教法，2003（9）.