■山東省沂源縣第一中學(xué) 劉 江

萬有引力與航天這部分知識(shí)在歷年高考中常以選擇題的形式進(jìn)行命題。常被考查的問題有兩類：一是比較地球赤道上的物體、近地衛(wèi)星、地球同步衛(wèi)星的線速度、角速度、周期、向心加速度等物理量的大小關(guān)系,這類問題可以被稱為環(huán)繞問題;二是討論衛(wèi)星的運(yùn)行軌道由圓形突變?yōu)闄E圓形或由橢圓形突變?yōu)閳A形或由橢圓形突變?yōu)樾碌臋E圓形時(shí),衛(wèi)星的機(jī)械能、加速度、速度等物理量的變化情況,這類問題可以被稱為變軌問題。這兩類問題展現(xiàn)了兩幅圖景,不少同學(xué)會(huì)因?yàn)閷?duì)這兩幅圖景的認(rèn)識(shí)不深不透,而亂猜答案。

近五年高考全國(guó)卷對(duì)這兩幅圖景的考查情況如表1。

表1

一、環(huán)繞圖景

例1中國(guó)航天局在2015年年底發(fā)射的“高分四號(hào)”衛(wèi)星是我國(guó)首顆地球同步軌道高時(shí)間分辨率對(duì)地觀測(cè)衛(wèi)星。如圖1所示,A是靜止在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體,B、C是同在赤道平面內(nèi)的兩顆人造衛(wèi)星,B位于離地高度等于地球半徑的圓形軌道上,C是地球同步衛(wèi)星。下列關(guān)系正確的是( )。

圖1

A.物體A隨地球自轉(zhuǎn)的角速度大于衛(wèi)星B的角速度

B.衛(wèi)星B的線速度大于衛(wèi)星C的線速度

C.物體A隨地球自轉(zhuǎn)的加速度大于衛(wèi)星C的加速度

D.物體A隨地球自轉(zhuǎn)的周期大于衛(wèi)星C的周期

解析：因?yàn)锳是靜止在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體,C是地球同步衛(wèi)星,所以兩者的角速度大小相等,周期相同,即ωA=ωC,TA=TC。由三者的位置關(guān)系得rA＜rB＜rC,由得TC＞TB,由得ωC＜ωB,所以ωA＜ωB。又由a=ω2r得aA＜aC,由得vB＞vC。答案為B。

點(diǎn)評(píng)：(1)此題展現(xiàn)了A、B、C三個(gè)物體環(huán)繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圖景,需要比較三者的線速度、角速度、向心加速度、周期這些物理量的大小關(guān)系。(2)A是在地球表面上(沒有離開地面)隨地球的自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體,B、C是離開地面在空中以地心為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體。(3)物體A的向心力由萬有引力和地面的支持力的合力提供,B、C兩物體的向心力由萬有引力獨(dú)自提供。(4)尋求物體之間的相同點(diǎn),選用合適的公式是解題的關(guān)鍵。對(duì)于A、C兩物體,因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)周期相同、角速度相等,所以比較線速度大小時(shí)用公式v=ωr,比較向心加速度大小時(shí)用公式a=ω2r;對(duì)于B、C兩物體,因?yàn)閮烧叨荚诳罩凶鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng),萬有引力提供向心力,所以利用公式比較線速度、角速度、周期、向心加速度等物理量的大小。(5)有些同學(xué)會(huì)對(duì)物體A運(yùn)用公式分析各物理量隨軌道半徑的變化情況,這是錯(cuò)誤的。因?yàn)槲矬wA所受萬有引力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于向心力

二、變軌圖景

圖2

例2如圖2所示是某次發(fā)射人造衛(wèi)星的示意圖,人造衛(wèi)星先在近地圓形軌道1上運(yùn)動(dòng),然后改在橢圓形軌道2上運(yùn)動(dòng),最后在圓形軌道3上運(yùn)動(dòng)。e點(diǎn)是軌道1、2

的交點(diǎn),n點(diǎn)是軌道2、3的交點(diǎn)。人造衛(wèi)星在軌道1上的速度為v1,加速度為a1,機(jī)械能為E1;在軌道2上e點(diǎn)的速度為v2e,加速度為a2e,機(jī)械能為E2e;在軌道2上n點(diǎn)的速度為v2n,加速度為a2n,機(jī)械能為E2n;在軌道3上的速度為v3,加速度為a3,機(jī)械能為E3。各物理量的大小關(guān)系是( )。

A.E3＞E2n=E2e＞E1

B.v1＜v2e＜v2n＜v3

C.v2e＞v1＞v3＞v2n

D.a1＞a2e＞a2n＞a3

解析：在e點(diǎn),由軌道1變到軌道2,衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng),這說明F供＜F需,而因此衛(wèi)星做加速運(yùn)動(dòng),即v2e＞v1;在n點(diǎn),由軌道3變到軌道2,衛(wèi)星做近心運(yùn)動(dòng),則F供＞F需,而因此衛(wèi)星做減速運(yùn)動(dòng),即v3＞v2n。由得v1＞v3,所以v2e＞v1＞v3＞v2n,選項(xiàng)B錯(cuò)誤、C正確。在e點(diǎn),由軌道1變?yōu)檐壍?時(shí),衛(wèi)星加速,機(jī)械能增加;在n點(diǎn),由軌道2變?yōu)檐壍?時(shí),衛(wèi)星加速,機(jī)械能增加;衛(wèi)星由軌道2上的e點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軌道2上的n點(diǎn),只有萬有引力做功,機(jī)械能守恒,則E3＞E2n=E2e＞E1,選項(xiàng)A正確。由得a=a＞a=a,選項(xiàng)D錯(cuò)12e2n3誤。答案為AC。

點(diǎn)評(píng)：(1)明確衛(wèi)星變軌的原因。當(dāng)衛(wèi)星做穩(wěn)定的勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),兩者滿足F=F;正在做勻速供需圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星,當(dāng)運(yùn)動(dòng)到某點(diǎn)的線速度突然變大時(shí),F供＜F需,衛(wèi)星變軌到圓外橢圓形軌道上運(yùn)動(dòng),這種現(xiàn)象叫離心運(yùn)動(dòng),如本例中衛(wèi)星在e點(diǎn)加速時(shí)由圓形軌道變軌到橢圓形軌道上運(yùn)動(dòng);相反的,正在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星,若運(yùn)動(dòng)到某點(diǎn)的線速度突然變小時(shí),F供＞F需,衛(wèi)星變軌到圓內(nèi)橢圓形軌道上運(yùn)動(dòng),這種現(xiàn)象叫近心運(yùn)動(dòng),如本例中衛(wèi)星在n點(diǎn)減速時(shí)可由圓形軌道3變軌到橢圓形軌道2上運(yùn)動(dòng)。類似的,正在橢圓形軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星,在近地點(diǎn)或遠(yuǎn)地點(diǎn)變速時(shí),也會(huì)變軌到新的橢圓形軌道或圓形軌道上運(yùn)動(dòng)。(2)明確衛(wèi)星機(jī)械能的變化。衛(wèi)星在穩(wěn)定的圓形軌道或橢圓形軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí),衛(wèi)星的機(jī)械能是守恒的,即衛(wèi)星的動(dòng)能和引力勢(shì)能之和保持不變(沿橢圓形軌道運(yùn)動(dòng)時(shí),引力勢(shì)能和動(dòng)能會(huì)相互轉(zhuǎn)化);衛(wèi)星在某點(diǎn)加速或減速實(shí)現(xiàn)變軌時(shí),動(dòng)能發(fā)生了變化(引力勢(shì)能沒變),機(jī)械能也發(fā)生了變化。(3)明確衛(wèi)星加速度的變化。判斷衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)中兩點(diǎn)加速度的變化情況時(shí),用公式即a=在變軌點(diǎn),雖然線速度大小發(fā)生了突變,但是衛(wèi)星還是在同一點(diǎn),衛(wèi)星的加速度沒有變化。有些同學(xué)在變軌點(diǎn)會(huì)根據(jù)錯(cuò)誤地認(rèn)為只有速度發(fā)生了變化,軌道半徑r沒有變化,導(dǎo)致加速度也變化。(4)明確衛(wèi)星變軌實(shí)現(xiàn)對(duì)接的細(xì)節(jié)。在同一軌道上一前一后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的兩星,要實(shí)現(xiàn)對(duì)接,一般是后面的衛(wèi)星在某點(diǎn)先減速變軌到內(nèi)圓形軌道上運(yùn)動(dòng)。因?yàn)樵趦?nèi)圓形軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的線速度較大,所以兩星間的距離會(huì)逐漸減小。當(dāng)兩星間的距離較近時(shí),在內(nèi)圓形軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星再加速向外變軌從而實(shí)現(xiàn)對(duì)接。若是后面的衛(wèi)星在某點(diǎn)直接加速,則會(huì)變軌到外圓形軌道上運(yùn)動(dòng),因?yàn)樵谕鈭A形軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的線速度較小,所以會(huì)使兩星間的距離拉大,不能實(shí)現(xiàn)對(duì)接。

跟蹤訓(xùn)練

1.有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星,a還未發(fā)射,在地球赤道上隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng),b在地面附近的軌道上正常運(yùn)動(dòng),c是地球同步衛(wèi)星,d是高空探測(cè)衛(wèi)星,各衛(wèi)星的排列位置如圖3所示,則( )。

圖3

A.衛(wèi)星a的向心加速度等于重力加速度g

B.衛(wèi)星b在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)

C.衛(wèi)星c在4h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是

D.衛(wèi)星d的運(yùn)行周期有可能是20h

圖4

2.如圖4所示,甲是地球赤道上的一個(gè)物體、乙是“神舟六號(hào)”宇宙飛船(周期約90min)、丙是地球同步衛(wèi)星,它們的運(yùn)行軌道示意圖如圖所示,它們都繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。下列有關(guān)說法中正確的是( )。

A.它們的向心加速度大小關(guān)系是a乙＞a丙＞a甲

B.它們的線速度大小關(guān)系是v乙＜v丙＜v甲

C.已知甲的運(yùn)行周期T甲=24h,可計(jì)算出地球的密度

D.已知乙的運(yùn)行周期T乙和軌道半徑r乙,可計(jì)算出地球的質(zhì)量

3.我國(guó)正在進(jìn)行的探月工程是高新技術(shù)領(lǐng)域的一項(xiàng)重大科技活動(dòng),在探月工程中飛行器成功變軌至關(guān)重要。如圖5所示,假設(shè)月球半徑為R,月球表面的重力加速度為g0,飛行器在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng),到達(dá)軌道的A點(diǎn)處點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓形軌道Ⅱ,到達(dá)軌道Ⅱ的近月點(diǎn)B再次點(diǎn)火進(jìn)入近月軌道Ⅲ繞月球做圓周運(yùn)動(dòng),則( )。

圖5

B.飛行器在B點(diǎn)處點(diǎn)火后,動(dòng)能增加

D.只在萬有引力作用下,飛行器在軌道Ⅱ上通過B點(diǎn)的加速度大于在軌道Ⅲ上通過B點(diǎn)的加速度

4.“嫦娥三號(hào)”的飛行軌道示意圖如圖6所示。假設(shè)“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月段圓形軌道和橢圓形軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí),只受到月球的萬有引力,則( )。

圖6

A.若已知“嫦娥三號(hào)”環(huán)月段圓形軌道的半徑、周期和引力常量,則可算出月球的密度

B.“嫦娥三號(hào)”由環(huán)月段圓形軌道變軌進(jìn)入環(huán)月段橢圓形軌道時(shí),應(yīng)讓發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火使其加速

C.“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月段橢圓形軌道上P點(diǎn)的速度大于Q點(diǎn)的速度

D.“嫦娥三號(hào)”在動(dòng)力下降段,其引力勢(shì)能減小

參考答案：1.B 2.AD 3.A 4.D