任佰足， 邊曉陽

(1. 海軍92330部隊(duì)裝備部， 山東 青島 266102；2. 海軍航空工程學(xué)院 研究生管理大隊(duì)， 山東 煙臺 264001)

帶有阻尼板的水下發(fā)射航行體， 由于功能設(shè)定的要求， 自身不具備持續(xù)的動力推動裝置， 其采用“冷發(fā)射”的發(fā)射方法發(fā)射后需要回收重復(fù)利用. 航行體從發(fā)射筒中被彈射出去后， 阻尼板迅速展開， 改變了航行體原本垂直向上的運(yùn)動軌跡， 使其沿著發(fā)射載體的側(cè)向進(jìn)行偏移運(yùn)動， 從而使航行體在出水再回落水后的過程中可以保證彈道不觸碰發(fā)射載體[1]. 構(gòu)建一個(gè)關(guān)于帶有阻尼板航行體的水中上升、 出水、 空中飛行、 入水以及水中下沉階段的彈道數(shù)學(xué)模型是研究的基礎(chǔ)(見圖 1).

目前對水下發(fā)射航行體的彈道模擬研究主要集中于水中上升彈道、 出水彈道以及入水彈道等領(lǐng)域. 例如姚保太等[2]采用MSC.DYTRAN有限元分析軟件建立起航行體水彈道仿真計(jì)算模型， 并對一種航行體復(fù)雜的水彈道特性進(jìn)行分析； 李杰等[3]研究了附著空泡對潛射導(dǎo)彈彈道的影響， 建立了肩空泡尾段橫向力模型， 并將仿真得到的水彈道結(jié)果與同工況的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較， 驗(yàn)證了建立的空泡尾段橫向力模型能夠反映空泡對潛射導(dǎo)彈局部流體動力的影響規(guī)律； 袁緒龍等[4]建立了無動力潛射導(dǎo)彈運(yùn)載器出水彈道數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行仿真， 仿真結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)吻合良好； 田寶國等[5]主要針對波浪作用下的無動力運(yùn)載器進(jìn)行了彈道軌跡仿真. 本文針對該類型航行體出水之后在重力作用下回落入水的彈道變化特性， 建立了一個(gè)完整的彈道數(shù)學(xué)模型.

圖 1 帶有阻尼板的航行體彈道軌跡示意圖Fig.1 Diagram of vehicle trajectory with damping plate

1 坐標(biāo)系的選取及運(yùn)動參數(shù)的定義

1.1 坐標(biāo)系的選取

本文用到的坐標(biāo)系有發(fā)射坐標(biāo)系和航行體坐標(biāo)系， 如圖 2 所示.

發(fā)射坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)o位于航行體脫離發(fā)射筒時(shí)質(zhì)心對應(yīng)的水面位置，x軸與發(fā)射瞬時(shí)發(fā)射載體的航行方向一致，y軸沿過坐標(biāo)原點(diǎn)的鉛垂線， 指向天空，z軸由右手法則確定[6].

圖 2 發(fā)射坐標(biāo)系與航行體坐標(biāo)系示意圖Fig.2 Diagram of launch coordinate system and vehicle coordinate system

航行體坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)o0位于航行體質(zhì)心所在橫截面與航行體縱軸的交點(diǎn)，x0軸沿航行體縱軸， 指向彈頭為正，y0軸在航行體縱對稱面內(nèi)， 與x0軸垂直，z0軸由右手法則確定.

1.2 運(yùn)動參數(shù)的定義

水下發(fā)射航行體具有6個(gè)自由度， 航行體坐標(biāo)系相對于發(fā)射坐標(biāo)系的位置就由6個(gè)坐標(biāo)來確定： 航行體坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)在發(fā)射坐標(biāo)系中的3個(gè)坐標(biāo)x，y，z和航行體坐標(biāo)系與發(fā)射坐標(biāo)系之間的3個(gè)歐拉角θ，ψ和γ[7-8]. 其中：x表示水平位移， 為航行體質(zhì)心對應(yīng)在ox軸上的位移；y表示航行深度， 為航行體質(zhì)心對應(yīng)在oy軸上的位移；z表示側(cè)向位移， 為航行體質(zhì)心對應(yīng)在oz軸上的位移；θ為俯仰角， 為航行體縱軸o0x0與水平面(oxz平面)的夾角， 以航行體頭部向上為正；ψ為偏航角， 為航行體縱軸o0x0在水平面的投影與發(fā)射坐標(biāo)系ox軸的夾角， 從航行體尾部向前看時(shí)彈軸偏向參考航向o0x0的左側(cè)為正；γ為滾轉(zhuǎn)角， 為航行體立軸o0y0與通過縱軸o0x0的鉛錘平面間的夾角， 從航行體尾部向前看時(shí)順時(shí)針滾動為正.

以上所有方向均遵循右手螺旋規(guī)則.

2 航行體受力分析及運(yùn)動方程組

2.1 航行體受力分析

航行體從水下發(fā)射后經(jīng)歷水中上升段、 出水段、 空中飛行段、 入水段和水中下沉段5個(gè)階段， 共受到流體動力[9]、 重力、 浮力以及阻尼板阻力等力的作用， 其中流體動力按照流體介質(zhì)將其分解為理想流體動力和粘性流體動力， 具體的力學(xué)分析如下：

1) 航行體阻力[10]

(1)

2) 航行體尾部壓力

航行體被高壓燃?xì)馔瞥霭l(fā)射筒后， 燃?xì)庠诤叫畜w尾部形成尾部燃?xì)馀荩?尾部燃?xì)馀莞街诤叫畜w尾部并逐漸衰減下去， 直至航行體尾部出水， 尾部燃?xì)馀莶艜氐诐缦?

(2)

在具體計(jì)算時(shí)需提供出筒時(shí)的底部初始壓力Pb0， 然后利用以下公式來近似計(jì)算尾部燃?xì)馀葜械膲簭?qiáng)

Pb(t)=Pb0·fb(τ).

(3)

尾部燃?xì)馀輭簭?qiáng)再乘以尾截面的面積就可得到航行體尾部壓力， 即

Fx2=PB·SB,

(4)

式中： PB為尾部壓強(qiáng)； SB為尾段截面積. 尾部壓強(qiáng)除水中段外其余階段均為零.

3) 凈浮力及凈浮力矩

由于重力原因航行體受到浮力和浮力矩， 而浮力在數(shù)值上等于航行體所排開的水受到的重力為

B=ρgV,

(5)

式中： ρ為海水密度； V為航行體排開水的體積. 浮力方向鉛垂向上， 而浮力矩的方向與物體姿態(tài)有關(guān)， 對于全濕情況， 浮力和航行體水平放置時(shí)的浮力可以按照下式求得

(6)

式中： 積分上限xA為航行體頭部的x坐標(biāo)； 下限xT為航行體尾部的x坐標(biāo)， 若航行體已經(jīng)開始出水， 則xA為彈軸與水面交點(diǎn)的x坐標(biāo)； d(x)為沿x軸處的航行體直徑； (xc,yc,zc)為航行體浮心在航行體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)[11].

凈浮力是指作用在航行體上的浮力與重力之和， 由于航行體坐標(biāo)系選在質(zhì)心， 所以重力產(chǎn)生的力矩為零， 浮力矩即為凈浮力矩， 具體表達(dá)式如下

(7)

(8)

4) 橫向力

使用Morison公式計(jì)算航行體受到的橫向力.Morison公式是求解波浪力的基本公式. 假定一圓柱體垂直固定在流體之中， 波浪沿x軸方向流動. 單位長度圓柱體上沿x軸方向的波浪力為[12]

F(x,z,t)=FI(x,z,t)+FD(x,z,t).

(9)

波浪對單位長度圓柱體上的總慣性力FI為

(10)

Morison公式中的阻力FD項(xiàng)， 是受流體的粘性效應(yīng)影響而產(chǎn)生的， 一般默認(rèn)阻力和流體質(zhì)點(diǎn)速度的平方呈正比關(guān)系. 根據(jù)細(xì)長體理論， 航行體在水中運(yùn)動所受橫向力由Morison公式求得

(11)

式中： ρ為流體介質(zhì)的密度； Cd為粘性系數(shù)； Vy0和Vz0為航行體在航行體坐標(biāo)系中的速度分量.

5) 阻尼板阻力及阻尼力矩

在計(jì)算阻尼板的受力情況時(shí)， 首先將每一塊阻尼板的受力按照平板進(jìn)行計(jì)算， 然后將所有阻尼板的受力與力矩相加得到阻尼板對航行體的整體作用力和作用力矩.

對于無界流場中的平板(如圖 3 所示)， 其受力情況可以由下面的公式計(jì)算得到

(12)

式中： v∞為來流速度； Cd為平板阻力系數(shù)； S為平板面積.

考慮壁面附近的平板受力， 認(rèn)為這時(shí)的繞流運(yùn)動對平板和壁面會產(chǎn)生相同大小的作用力， 力的方向分別垂直于平板表面和壁面. 二者的合力經(jīng)過角點(diǎn)(見圖 4)， 合力大小為

(13)

圖 3 平板受力示意圖Fig.3 Diagram of tablet force

圖 4 有壁面存在時(shí)的平板受力示意圖Fig.4 Diagram of tablet force with wall

由此可以得出單個(gè)阻尼板產(chǎn)生的力為

(14)

對航行體產(chǎn)生的合力和合力矩為

(15)

(16)

式中： nb為阻尼板個(gè)數(shù)； Sb0為阻尼板面積； α為阻尼板展開角度； Cd為平板阻力系數(shù)； xT為彈尾x坐標(biāo)； R為航行體最大半徑； xbi, ybi, zbi為舵板阻力作用點(diǎn).

2.2 航行體附加質(zhì)量計(jì)算

航行體為細(xì)長體， 且形狀接近軸對稱. 考慮到對稱性， 因此附加質(zhì)量矩陣A中僅A11(x),A22(x),A33(x),A55(x),A66(x),A26(x)和A35(x)為非零項(xiàng). 采用細(xì)長體理論， 即假定航行體各截面之間沒有干擾， 航行體的附加質(zhì)量是截面附加質(zhì)量沿航行體縱軸x方向的積分. 在穿越水面階段， 則僅計(jì)算仍在水下的航行體部分的附加質(zhì)量， 全濕情況的附加質(zhì)量的計(jì)算如下所示

(17)

A11與航行體質(zhì)量相比很小， 但在航行體出水過程中， 它的變化率并不小， 并產(chǎn)生了正的軸向力， 致使航行體在軸向有所加速， 所以針對該航行體的彈道特殊性，A11在計(jì)算中不應(yīng)忽略， 其近似計(jì)算公式如下

(18)

式中：μx和μy為修正系數(shù).

綜上， 帶有阻尼板的航行體受到總的外力及外力矩為

(19)

2.3 航行體運(yùn)動學(xué)方程

(20)

(21)

2.4 航行體動力學(xué)方程

根據(jù)動量定理和動量矩定理， 航行體的動力學(xué)方程為[14-15]

(22)

(23)

式中：G為航行體和周圍流體的總動量；H為相對于航行體坐標(biāo)系原點(diǎn)o0的總動量矩；ω為航行體的角速度矢量；V為航行體的平移速度矢量；F和M分別為航行體所受的外力和外力矩；G和H可以用系統(tǒng)的慣性張量和速度矢量的點(diǎn)積表示出來， 即

(24)

式中：U=(vx0,vy0,vz0,ωx0,ωy0,ωz0)T為六維速度矢量的轉(zhuǎn)置列矢量；A=[Aij]6×6為附加流體質(zhì)量系數(shù)矩陣；M=[Mij]6×6為航行體慣性系數(shù)矩陣， 其表達(dá)式為

(25)

式中：m為航行體質(zhì)量；Jij(i,j=1,2,3)為航行體轉(zhuǎn)動慣量； (xc,yc,zc)為質(zhì)心坐標(biāo). 綜上可以得到G和H的分量表達(dá)式為

(26)

由此， 得到如下分量形式的運(yùn)動微分方程組

(27)

以上方程組可整理成如下矩陣形式

(28)

其中：

(29)

(30)

將計(jì)算得到的外力、 外力矩和附加質(zhì)量代入式(28)， 并對此微分方程組數(shù)值求解， 得到隨時(shí)間變化的速度和角速度.

3 彈道模型的簡化假設(shè)

3.1 空泡的影響及簡化處理

水下航行體高速運(yùn)行時(shí)， 會在肩部出現(xiàn)壓力最小點(diǎn)， 當(dāng)該壓力足夠小時(shí)， 流體中的氣核開始膨脹， 最后連成一片附著在航行體表面， 該空泡屬于固定空泡[16]. 通過液體摻混與隨后從空化區(qū)尾端回沖等過程， 固定空泡可能發(fā)育成長， 然后潰滅， 出現(xiàn)周期性循環(huán)， 但從準(zhǔn)恒定的角度來看其是動態(tài)穩(wěn)定的. 由于空泡內(nèi)的壓力很小， 計(jì)算浮力和附加質(zhì)量時(shí)要扣除空泡覆蓋面上的壓力積分， 現(xiàn)使用經(jīng)驗(yàn)公式得出空泡相對長度

(31)

用積分計(jì)算附加質(zhì)量時(shí)， 有空泡覆蓋的一段不計(jì)算在內(nèi). 在計(jì)算全濕情況附加質(zhì)量的公式基礎(chǔ)上， 計(jì)算帶空泡的附加質(zhì)量積分變?yōu)?/p>

(32)

式中：aij為計(jì)算附加質(zhì)量Aij的積分函數(shù)；xs和xe分別為空泡距頭部的起始位置坐標(biāo)和結(jié)束位置坐標(biāo).

浮力的計(jì)算也是同樣的方法， 在全濕情況計(jì)算浮力的基礎(chǔ)上， 帶空泡情況下計(jì)算浮力的積分公式中有空泡的一段不計(jì)算在內(nèi).

3.2 彈道模型的基本假設(shè)

對帶有阻尼板的航行體彈道進(jìn)行精確的模擬十分復(fù)雜， 尤其是出水和入水兩個(gè)過程本身具有著不確定性和隨機(jī)性， 本文在這兩個(gè)彈道過程的模型構(gòu)建中進(jìn)行了一定的簡化假設(shè)：

1) 出水彈道模型的基本假設(shè)

航行體出水時(shí)， 在頭部接近自由液面時(shí)， 液面會隆起， 所以即使頭部已經(jīng)高出了水平面， 頭部可能還未出水. 同樣， 在航行體出水的整個(gè)過程中， 都會有隆起的水附著在航行體表面. 在這里近似認(rèn)為頭部高出水平面的部分就是已出水的部分.

當(dāng)航行體頭部出水時(shí)， 肩空泡會不斷地隨著流場的改變而發(fā)生變化， 而當(dāng)肩部出水后， 肩空泡會逐漸潰滅. 由于頭部出水的時(shí)間很短， 空泡的潰滅會在一瞬間完成， 在這里假設(shè)頭部一出水， 空泡就消失. 尾部燃?xì)馀莸臐缫灿蓄愃频募僭O(shè).

2) 入水彈道模型的基本假設(shè)

航行體入水迅速沖擊水面， 經(jīng)歷一個(gè)砰擊的過程， 使航行體遭受很大的砰擊力. 航行體頭部沖擊水面時(shí)間很短， 幾乎在瞬間完成. 在這里利用近似的估算方法求出沖擊后航行體的速度. 沖擊之前航行體的速度為V0， 沖擊之后航行體的速度為Vt， 將航行體假設(shè)為一塊半徑為Rr的圓盤， 半徑尺寸相當(dāng)于頭部入水后航行體與水面相交的圓的半徑， 當(dāng)航行體的傾斜角度θ不同時(shí)

(33)

沖擊后航行體的速度為

(34)

4 仿真與試驗(yàn)對比分析

為了驗(yàn)證彈道模型的可行性和合理性， 以三發(fā)次的實(shí)彈彈道數(shù)據(jù)作為參照標(biāo)準(zhǔn)對仿真彈道進(jìn)行數(shù)據(jù)的對比分析. 由于實(shí)彈發(fā)射時(shí)的出筒速度為一隨機(jī)值， 所以根據(jù)采集到的出筒速度數(shù)據(jù)作為仿真前提， 利用MATLAB仿真平臺對該航行體進(jìn)行彈道仿真[17-18]， 得到了彈道軌跡與彈道特征點(diǎn)數(shù)據(jù). 將仿真數(shù)據(jù)與三發(fā)實(shí)測彈道特征點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比， 考慮到彈道試驗(yàn)工況的復(fù)雜性， 仿真數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合情況較好， 具體的仿真情況如圖 5～圖 7 所示， 數(shù)據(jù)對比如表 1 所示.

圖 5 質(zhì)心x坐標(biāo)仿真曲線Fig.5 Simulation curve of centroid x-coordinate

圖 6 質(zhì)心y坐標(biāo)仿真曲線Fig.6 Simulation curve of centroid y-coordinate

圖 7 質(zhì)心z坐標(biāo)仿真曲線Fig.7 Simulation curve of centroid z-coordinate

發(fā)次編號出筒速度/(m·s-1)出水最大高度(質(zhì)心距水面)/m入水最大深度時(shí)質(zhì)心位置/mxy(距水面)z1試驗(yàn)數(shù)據(jù)25.304.30-0.60-6.43-10.09仿真數(shù)據(jù)25.303.99-0.21-6.46-11.722試驗(yàn)數(shù)據(jù)24.513.95-0.37-5.059.21仿真數(shù)據(jù)24.513.89-0.15-5.32-10.413試驗(yàn)數(shù)據(jù)28.836.62-1.37-5.83-13.79仿真數(shù)據(jù)28.834.74-0.69-6.21-12.67

5 結(jié) 論

本文針對帶有阻尼板的航行體水下發(fā)射出水后， 在重力作用下重新入水的彈道特性， 建立了完備的彈道數(shù)學(xué)模型. 通過對具體的算例進(jìn)行仿真， 仿真結(jié)果可以直觀地描述出航行體質(zhì)心在3個(gè)分軸隨時(shí)間的變化趨勢， 以及航行體姿態(tài)角隨時(shí)間的變化趨勢.

將仿真彈道的特征點(diǎn)數(shù)據(jù)與三發(fā)次實(shí)測彈道特征點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比， 吻合情況較好， 驗(yàn)證了所構(gòu)建的該航行體彈道數(shù)學(xué)模型的合理性和可行性. 今后可以根據(jù)實(shí)際需求在此模型基礎(chǔ)上對航行體彈道軌跡進(jìn)行各方面的研究.

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