郭婷婷

(山西大學 商務學院， 山西 太原 030031)

0 引 言

求解非線性偏微分方程的精確解是研究非線性物理科學的重要組成部分， 現(xiàn)階段已經求出的精確解有孤立波解， 有理解， 周期波解， negaton解， peakon解， complexiton解等[1-3]. 這些解的獲得對非線性物理現(xiàn)象的研究意義重大， 譬如， 精確解中的鐘狀孤波解可以用來模擬流體動力學中所觀測到的波動現(xiàn)象. 這些不同類型的精確解之間也有一定的關系， 可以通過研究解的一致性進而構造新的精確解. 文中涉足高維非線性演化方程， 針對一個非線性(3+1)維演化方程[4]進行研究， 給出其1-周期波解和2-周期波解， 結合該方程的1-孤波解和2-孤波解來研究這兩種解的關系， 并進行解的漸近性分析.

M維黎曼theta函數(shù)[5]以傅里葉級數(shù)的形式定義如下：

式中：β=(β1,β2,…,βM)T∈CM為M維復位移向量；v為M維正定實值對稱矩陣；p=(p1,p2,…,PM)T∈ZM為M維整數(shù)向量. 其中兩個向量的內積運算定義如下： 如果a=(a1,a2,…,aM)T,b=(b1,b2,…,bM)T為2個向量， 那么向量a與b的內積為〈a,b〉=a1b1+a2b2+…+aMbM. 黎曼theta函數(shù)具有周期性[6]

L(β+1+v,v)=e-iπv-2πiβL(β,v).

(1)

關于Dx1,Dx2,…,DxM,Dt的雙線性算子[7]給出如下

由算子定義可以得出以下運算性質[8]： 假設αj=pjx1+qjx2+…+rjxM+sjt+wj,j=1,2, 則

(p1-p2)a(q1-q2)b…(r1-r2)c(s1-s2)deα1+α2,

(2)

式中：pj,qj…,rj,sj,wj為常數(shù). 這個性質在獲取方程的周期波解和雙線性表示的構造過程中都起到很重要的作用.

對于(3+1)維非線性演化方程

3ψyy+3ψzz+(ψ3x+6ψψx+ψt)x=0,

(3)

我們可以作對數(shù)變換ψ=(2lnH)xx, 并結合雙線性算子的關系式[9]

把非線性方程雙線性化為

H(x,y,z,t)=0,

(4)

式中：C為積分常數(shù). 根據(jù)Hirota雙線性方法[10]， 如果將H(x,y,z,t)取為δ的冪級數(shù)形式H(x,y,z,t)=1+δH1+δ2H2+o(δ2), 代入式(4)中整理關于δ的冪次項， 假設H1=eα,α=ax+by+cz+dt+e, 取δ=1可得出非線性(3+1)維演化方程式(3)的1-孤子解

ψ=2[ln(1+eα)]xx,

α=ax+by+cz+dt+e.

(5)

假設H1=eα1+eα2,αj=ajx+bjy+cjz+djt+ej,j=1,2. 經過一系列代數(shù)運算， 可得出非線性(3+1)維演化方程式(3)的2-孤子解

(6)

1 (3+1)維非線性演化方程的1-周期波解

假設一維黎曼theta函數(shù)

(7)

是該雙線性方程的解， 其中β=fx+gy+hz+lt+m, 那么

由Hirota算子的運算性質式(2)， 上式可化為

4π2[2q′-(p′-2)]2fl+C}eiπv{q′2+[q′-(p′-2)]2}e2πi(p′-1)v=R(p′-2)e2πi(p′-1)v=0.

當p′為奇數(shù)時，R(p′)=R(1)eπi(p′+1)v, 當p′為偶數(shù)時，R(p′)=R(0)eπip′v, 那么要使一維黎曼theta函數(shù)式(7)是雙線性(3+1)維方程式(4)的解， 就要使R(p′)為0， 即

(8)

4π2(2q-1)2fl+C]eiπv·(2q2-2q+1)=0.

(9)

為簡單起見， 將式(8)～(9)轉化為線性系統(tǒng)

(10)

16π4(2q-1)4f4]η2q2-2q+1,eiπv=η.

為求解以上線性方程組來確定黎曼theta函數(shù)中的參數(shù)l和積分常量C， 先將線性系統(tǒng)式(10)中的系數(shù)矩陣與常數(shù)項矩陣的所有元素展開成η的冪級數(shù)形式

r11=-32π2fη2-128π2fη8+o(η8),

r12=1+2η2+2η8+o(η8),

(11)

r21=-8π2fη-72π2fη5+o(η5),

r22=2η+2η5+o(η5),

(12)

S1=32π2(3h2+3g2-16π2f4)η2-

128π2(3h2+3g2-64π2f4)η8+o(η8),

(13)

S2=[24π2(h2+g2)-32π4f4]η+

[216π2(h2+g2)-2 592π4f4]η5+o(η5)，

(14)

于是線性系統(tǒng)式(10)的各項將可以變形為等價形式

將展開式(11)～(14)代入R(l,C)T=S中， 其中R=(rij)2×2,S=(S1,S2)T, 整理η的相同冪次項得

l1=0, C2=192π2(h2+g2)-640π4f4,

即

C=[192π2(h2+g2)-640π4f4]η2+o(η2),

(15)

于是一維黎曼theta函數(shù)式(7)是雙線性方程式(4)的解， 其中l(wèi)和積分常量C由式(15)確定， 而f,g,h,m,v為自由變量. 由黎曼theta函數(shù)的周期性式(1)得

β=fx+gy+hz+lt+m,

(16)

是(3+1)維非線性演化方程式(3)的1-周期波解.

2 (3+1)維非線性發(fā)展方程的2-周期波解

假設二維黎曼函數(shù)

βj=fjx+gjy+hjz+ljt+mj,j=1,2，

(17)

是雙線性(3+1)維演化方程(4)的解， 由雙線性算子的運算性質式(2)得

12π2〈p-q,h〉2+16π4〈p-q,a〉4-4π2〈p-q,f〉〈p-q,l〉+C]e2πi〈β,q+p〉+πi(〈vq,q〉+〈vp,p〉)·

4π2〈2p-η1,f〉〈2p-η1,l〉+C)eπi(〈vp,p〉+〈v(p-η1),(p-η1)〉)=0,

(18)

4π2〈2p-η2,f〉〈2p-η2,l〉+C)eπi(〈vp,p〉+〈v(p-η2),(p-η2)〉)=0,

(19)

4π2〈2p-η3,f〉〈2p-η3,l〉+C)eπi(〈vp,p〉+〈v(p-η3),(p-η3)〉)=0,

(20)

4π2〈2p-η4,f〉〈2p-η4,l〉+C)eπi(〈vp,p〉+〈v(p-η4),(p-η4)〉)=0,

(21)

〈vp,p〉+〈v(p-ηk),(p-ηk)〉=

(12π2〈2p-η1,g〉2+12π2〈2p-η1,h〉2-16π4〈2p-η1,f〉4)ε1(p),

(22)

(23)

(24)

(25)

為求解的方便， 將較復雜的式(22)～(25)轉化為線性系統(tǒng)

R(l1,l2,0,C)T=S,

(26)

式中：

R=(rij)4×4,S=(S1,S2,S3,S4)T，

這里?為任意常數(shù). 這樣， 可以通過求解線性系統(tǒng)確定積分常量C和黎曼theta函數(shù)中參數(shù)l1,l2的值， 以確保式(17)是該雙線性(3+1)維方程式(4)的解. 分析系數(shù)矩陣R， 常數(shù)項矩陣S中各個

元素， 注意到η1=(0,0)T,η2=(1,0)T,η3=(0,1)T,η4=(1,1)T, 結合式(22)～(25)， 將線性系統(tǒng)式(26)中的各部分記為關于ε1,ε2的冪級數(shù)， 形式如下

將以上的3個展開式代入線性系統(tǒng)式(26)并整理關于ε1,ε2的各項系數(shù)， 得

C0=C1=C2=C12=0,

那么

w+v≥2,

(27)

(28)

于是二維黎曼theta函數(shù)式(17)是雙線性方程式(4)的解， 這里積分常量C和lj,j=1,2, 由式(27)～(28)確定，fj,gj,hj,mj為自由變量，v為自由實對稱矩陣. 由黎曼theta函數(shù)的周期性式(1)并結合對數(shù)變換可以得出j=1,2時

βj=fjx+gjy+hjz+ljt+mj，

(29)

是非線性(3+1)維演化方程式(3)的2-周期波解.

3 解的一致性討論

如果將波的振幅做如下限制， 當εj→0時，j=1,2，

1+(e2πiβ1+e-2πiβ1)eπiv11+(e2πiβ2+e-2πiβ2)eπiv22+[e2πi(β1+β2)+e-2πi(β1+β2)]eπi(v11+2v12+v22)+…=

因此當參數(shù)ε1,ε2趨近于0時， (3+1)維非線性方程式(3)的2-周期波解式(29)將趨近于2-孤子解式(6).

綜上， 對(3+1)維非線性發(fā)展方程式(3)進行分析， 給出其相應的雙線性表示式(4)， 1-孤子解式(5)和2-孤子解式(6). 結合黎曼theta函數(shù)的周期性質， 給出方程(3)的1-周期波解(16)式和2-周期波解(29)式， 并在限制波的振幅條件時， 對周期波解進行了漸近性的分析， 得出當參數(shù)η趨于0時， 該方程的1-周期波解式(16)將趨于1-孤子解式(5)， 當參數(shù)ε1, ε2趨近于0時， 該非線性方程的2-周期波解式(29)將趨于2-孤子解式(6).

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