趙 燕 阮成明 王松偉

武漢理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，武漢，430070

0 引言

柔性機(jī)械手動(dòng)力學(xué)行為表現(xiàn)為復(fù)雜的剛?cè)狁詈犀F(xiàn)象[1-2]，其動(dòng)力學(xué)模型具有時(shí)變、非線性、強(qiáng)耦合等特點(diǎn)，而模型的建立是對(duì)柔性機(jī)械手進(jìn)行動(dòng)力學(xué)研究分析的基礎(chǔ)。

目前，在柔性機(jī)械手理論建模的動(dòng)邊界條件及變形理論方面均取得了一定的研究成果。描述柔性臂彈性變形主要有三種理論：經(jīng)典變形理論、綜合變形理論、二次變形理論。DE LUCA使用經(jīng)典變形理論進(jìn)行單關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手的建模，并用模型設(shè)計(jì)了一個(gè)理想的控制器。ABE[3]為了減小殘余振動(dòng)，采用二次變形理論進(jìn)行最優(yōu)軌跡的設(shè)計(jì)，所設(shè)計(jì)的最優(yōu)軌跡能夠有效抑制柔性機(jī)械手的殘余振動(dòng)。在柔性臂動(dòng)邊界理論方面，劉建英等[4]將柔性機(jī)械手視為包含邊界條件的懸臂梁和簡(jiǎn)支-自由梁模型，采用假設(shè)模態(tài)法建立柔性臂的動(dòng)力學(xué)模型并進(jìn)行柔性欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)耦合分析。相對(duì)于傳統(tǒng)建模方法，精準(zhǔn)建模的精準(zhǔn)性主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：①傳統(tǒng)建模一般選擇1階線性簡(jiǎn)化模型，精準(zhǔn)建模選擇2階非線性復(fù)雜模型；②傳統(tǒng)建模認(rèn)為實(shí)驗(yàn)的動(dòng)邊界條件就是懸臂邊界條件，精準(zhǔn)建模認(rèn)為實(shí)驗(yàn)的動(dòng)邊界條件是4種邊界條件的耦合；③傳統(tǒng)建模選用經(jīng)典變形理論來建立動(dòng)力學(xué)方程，精準(zhǔn)建?？紤]3種變形理論。

柔性機(jī)械系統(tǒng)的建模方法主要有假想模態(tài)法、有限元法和集中質(zhì)量法。假想模態(tài)法、有限元法建立的模型只能做定量分析，不能做系統(tǒng)的參數(shù)化分析；集中質(zhì)量法是一種近似考慮方法。本文從理論建模和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證兩個(gè)方面展開，選取Euler-Bernoulli梁模型，結(jié)合假想模態(tài)法與拉格朗日法建立柔性臂的動(dòng)力學(xué)模型。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證柔性臂的模態(tài)頻率，找出和實(shí)際工況更貼近的理論模型。

1 雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手的精準(zhǔn)建模

1.1 柔性梁的型函數(shù)

雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手是由剛性關(guān)節(jié)和柔性關(guān)節(jié)組成的復(fù)雜剛?cè)狁詈蠙C(jī)械手系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)建模的精準(zhǔn)性受型函數(shù)類型的影響[5]，而型函數(shù)選擇和動(dòng)邊界條件又有密切的聯(lián)系[6-7]，下面首先建立不同動(dòng)邊界條件下的型函數(shù)。

均勻材料等截面梁的彎曲自由振動(dòng)方程為

(1)

式中，ρ為材料密度；A為橫截面積；E為材料的彈性模量；I為機(jī)械手的截面慣性矩；w(x，t)是柔性機(jī)械手在任一點(diǎn)x上所對(duì)應(yīng)的變形量。

本文采用假想模態(tài)法進(jìn)行理論建模，即將每一階模態(tài)表示成模態(tài)坐標(biāo)和模態(tài)型函數(shù)的乘積，將連續(xù)幾階模態(tài)相加就得到整個(gè)柔性機(jī)械手上任意一點(diǎn)的振動(dòng)量：

(2)

式中，Wi(x)為型函數(shù)；qi(x)為Wi(x)對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)。

(3)

λ的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(4)

式中，f為自然頻率;l為柔性機(jī)械手的長(zhǎng)度。

柔性機(jī)械手的動(dòng)邊界條件如圖1所示，其中，D、S、M、Q分別為撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力。

(a)固定-自由D=0,S=0;M=0,Q=0(b)鉸接-自由D=0,M=0;M=0,Q=0

(c)滑動(dòng)-自由S=0,Q=0;M=0,Q=0(d)轉(zhuǎn)動(dòng)-自由S=0,M=0;M=0,Q=0圖1 4種邊界條件Fig.1 Four boundary conditions

將以上4種動(dòng)邊界的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力進(jìn)行統(tǒng)計(jì)并列入表1。

表1 梁的4種邊界條件

表2 4種邊界條件對(duì)應(yīng)的型函數(shù)

根據(jù)表2所示的型函數(shù)，由牛頓-二分法可以求解出表3所示的3種梁模型前兩階模態(tài)的相關(guān)參數(shù)，其中，ωi為角頻率、Wi(l)為柔性臂末端的型函數(shù)值。在圖1c、圖1d所示的邊界條件下，特征值λi存在為零的情況，所以頻率方程有零根即ω0=0，對(duì)應(yīng)柔性機(jī)械手在這兩種邊界條件的剛體運(yùn)動(dòng)。

表3 柔性機(jī)械手模態(tài)參量值

1.2 雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程的建立

模型由柔性臂、剛性臂、剛性基座、柔性基座組成。OXY坐標(biāo)系是固定于平面的慣性參考坐標(biāo)系；oxy是固定于柔性機(jī)械手基座的局部坐標(biāo)系，會(huì)隨著柔性機(jī)械手基座的轉(zhuǎn)動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)。3種變形理論下的坐標(biāo)原理圖分別為圖2～圖4。經(jīng)典變形中，任意點(diǎn)的變形w(x，t)垂直于局部坐標(biāo)系的x軸，如圖2所示；綜合變形當(dāng)中，變形量w(x，t)垂直于位置矢量r，如圖3所示；二次變形理論較經(jīng)典變形理論，唯一不同的是在二次變形中考慮柔性機(jī)械手的軸向伸長(zhǎng)量u，如圖4所示。

圖2 經(jīng)典變形Fig.2 Classical deformation

圖3 綜合變形Fig.3 Comprehensive deformation

圖4 二次變形Fig.4 Secondary deformation

選用廣義坐標(biāo)來確定系統(tǒng)的空間坐標(biāo)位置，用拉格朗日方程來描述物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手的動(dòng)能包括柔性臂、剛性梁、剛性梁末端電機(jī)等三部分的動(dòng)能，具體表達(dá)式為

(5)

式中，J1為剛性梁繞基座上轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；J2為柔性梁繞基座上轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θ1、θ2分別為桿1和桿2的剛性旋轉(zhuǎn)角度；m1為剛性梁末端電機(jī)的質(zhì)量；r為柔性臂任意點(diǎn)的位置矢量。

本文所研究的柔性機(jī)械手在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，可忽略重力影響，故柔性機(jī)械手的勢(shì)能只包含彈性勢(shì)能[8]：

(6)

(7)

i=1,2,…,n

得到系統(tǒng)的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程：

(8)

式中，qi為模態(tài)坐標(biāo)，i=1,2。

這里取前二階模態(tài)w(x,t)=W1(x)q1(t)+W2(x)q2(t)。

1.2.1雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手經(jīng)典變形

根據(jù)圖2可得r在全局坐標(biāo)系的表達(dá)式：

(9)

θ=θ1+θ2

對(duì)位置矢量r求導(dǎo)就可以得到相應(yīng)的速度分量：

(10)

將式(9)、式(10)代入式(5)、式(6)整理化簡(jiǎn)，再將化簡(jiǎn)后的結(jié)果代入式(8)，得到經(jīng)典變形下雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程：

(11)

1.2.2雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手的綜合變形

根據(jù)圖3可得r在全局坐標(biāo)系的表達(dá)式：

(12)

(13)

1.2.3雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手二次變形

根據(jù)圖4可得r在全局坐標(biāo)系的表達(dá)式：

(14)

(15)

(16)

(17)

1.3 理論計(jì)算及仿真

為了確定不同邊界條件和變形理論對(duì)建模精準(zhǔn)性的影響就要進(jìn)行理論求解和仿真。研究中選用梁的基本參數(shù)如下：梁厚度b=0.2 mm，梁長(zhǎng)度L=40 mm，密度ρ=7.7×103kg/m3，橫截面積A=1.85×10-5m2，彈性模量E=200 GPa，中性軸慣性矩I=5.4×10-13m4。電機(jī)的輸入軌跡為

(18)

這里以懸臂梁為例計(jì)算出經(jīng)典變形理論下的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程，并利用MATLAB求解柔性機(jī)械手末端的振動(dòng)位移。由表2、表3可知，一端固定、一端自由的懸臂梁的前兩階型函數(shù)分別為

W1(x)=cosh4.688x-cos4.688x-
0.734(sinh4.688x-sin4.688x)

(19)

W2(x)=cosh11.735x-cos11.735x-
1.019(sinh11.735x-sin11.735x)

(20)

將以上型函數(shù)以及模型參數(shù)代入式(11)，得到經(jīng)典變形理論下的理論模型：

(21)

(22)

運(yùn)用MATLAB龍格-庫塔函數(shù)求出對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)q1、q2，通過公式w(x,t)=W1(x)q1(t)+W2(x)q2(t)可以計(jì)算出雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手末端振動(dòng)位移并得到其隨時(shí)間變化的振動(dòng)位移-時(shí)間圖。同理可得到懸臂梁在二次變形理論和綜合變形理論下的振動(dòng)位移-時(shí)間圖。結(jié)合滑動(dòng)梁、鉸接梁、轉(zhuǎn)動(dòng)自由梁這3種動(dòng)邊界條件下的型函數(shù)，按照上述方法亦可求出雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手在另外3種動(dòng)邊界條件下分別對(duì)應(yīng)不同變形理論時(shí)的振動(dòng)位移-時(shí)間曲線，如圖5～圖8所示。從橫向(動(dòng)邊界條件固定對(duì)應(yīng)不同變形理論)和縱向(變形理論固定對(duì)應(yīng)不同變形理論)兩個(gè)角度對(duì)理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析。

圖5 懸臂梁末端振動(dòng)位移Fig.5 Vibration displacement at the end of a cantilever beam

圖6 滑動(dòng)梁末端振動(dòng)位移Fig.6 Vibration displacement at the end of sliding beams

圖7 鉸接梁末端振動(dòng)位移Fig.7 Vibration displacement at the end of articulated beams

圖8 轉(zhuǎn)動(dòng)梁末端振動(dòng)位移Fig.8 Vibration displacement at the end of rotating beams

橫向分析，動(dòng)邊界條件固定時(shí)，不同的變形理論對(duì)柔性機(jī)械手末端的邊緣振動(dòng)位移影響十分的微小，這說明，動(dòng)邊界一定的前提下，在低速(電機(jī)停止時(shí),柔性機(jī)械手的轉(zhuǎn)動(dòng)速度小于柔性機(jī)械手的一階固有角頻率)范圍內(nèi)，3種變形理論對(duì)于建模精準(zhǔn)性有一定的影響，但是這種影響可以忽略不計(jì)?？v向分析，4種動(dòng)邊界條件對(duì)柔性機(jī)械手的末端邊緣振動(dòng)位移影響較大，不同邊界條件下柔性機(jī)械手邊緣振動(dòng)的位移(從大到小)為：懸臂條件、滑動(dòng)條件、轉(zhuǎn)動(dòng)條件、交接條件。此外，動(dòng)邊界條件對(duì)柔性機(jī)械手邊緣振動(dòng)位移的模態(tài)頻率也有較大的影響。

2 雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手的模型驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

從1.3節(jié)的結(jié)果分析得知，3種變形理論對(duì)理論模型的影響比較小。由于實(shí)驗(yàn)設(shè)備局限性,這里只對(duì)模型動(dòng)邊界條件進(jìn)行驗(yàn)證。

2.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/h3>

雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手工作時(shí)的邊界條件是一種復(fù)雜的耦合狀態(tài)。因此實(shí)驗(yàn)研究的目的是通過對(duì)比分析確定哪一種柔性機(jī)械手模型與實(shí)際工作狀況更為貼近。

2.2 雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手實(shí)驗(yàn)測(cè)量的基本原理

如圖9所示，利用PC機(jī)設(shè)定電機(jī)的輸入軌跡，電機(jī)驅(qū)動(dòng)柔性機(jī)械手在1 s內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)π/2后停止轉(zhuǎn)動(dòng)，電機(jī)停止轉(zhuǎn)動(dòng)后雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手開始自由振動(dòng)。通過粘貼在柔性機(jī)械手上的電阻應(yīng)變片測(cè)出柔性機(jī)械手自由振動(dòng)的應(yīng)變橋壓信號(hào)，應(yīng)變橋壓信號(hào)經(jīng)過放大和濾波可以得到柔性機(jī)械手自由振動(dòng)末端應(yīng)變(包括優(yōu)化前應(yīng)變、優(yōu)化后應(yīng)變、HySMC優(yōu)化后的應(yīng)變)。實(shí)驗(yàn)裝置如圖10所示。

圖9 雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手的實(shí)驗(yàn)測(cè)量原理框圖Fig.9 Experimental measurement block diagram of biaxial joint flexible manipulator

圖10 雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手的實(shí)物連接圖Fig.10 The connection diagram of the biaxial flexible manipulator

2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

圖11是實(shí)驗(yàn)條件下測(cè)得的雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手自由振動(dòng)的應(yīng)變-時(shí)間圖。本文從模態(tài)頻率角度來對(duì)比驗(yàn)證理論模型的正確性，為了方便和理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較這里取一階模態(tài)。柔性機(jī)械手的模態(tài)頻率就是柔性機(jī)械手在1 s內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)。通過圖11，可以計(jì)算出在1 s 內(nèi)柔性機(jī)械手末端自由振動(dòng)的次數(shù)接近8.5即頻率為8.5 Hz。結(jié)合表3的模態(tài)角頻率參數(shù)和公式ωi=2πfi可求出不同邊界條件下的模態(tài)頻率，對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示。

圖11 雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手的應(yīng)變-時(shí)間圖Fig.11 Strain-time diagram of flexible manipulator with biaxial joints

懸臂梁滑動(dòng)梁鉸接梁轉(zhuǎn)動(dòng)梁實(shí)驗(yàn)結(jié)果fi(Hz)3．054．8513．368．558．5

從表4可以看出，雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手的實(shí)驗(yàn)結(jié)果最接近于轉(zhuǎn)動(dòng)自由梁動(dòng)邊界條件下的理論建模計(jì)算值。

3 結(jié)論

(1)基于3種變形理論和4種動(dòng)邊界條件建立了雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)模型，通過理論計(jì)算分析發(fā)現(xiàn)3種變形理論對(duì)雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手理論建模精準(zhǔn)性影響較小，動(dòng)邊界條件對(duì)雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手理論建模精確性影響較大。

(2)通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比了雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手在不同動(dòng)邊界理論模型和實(shí)驗(yàn)條件下的模態(tài)頻率，發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和轉(zhuǎn)動(dòng)-自由邊界條件下的理論建模仿真值最吻合，從而得出如下結(jié)論：轉(zhuǎn)動(dòng)自由梁模型與實(shí)際工作狀況更為貼近，其適用于雙關(guān)節(jié)柔性機(jī)械手的理論建模。

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