楊國(guó)英　皇甫玉高

【摘 要】反證法是間接證明的一種重要方法，本文結(jié)合數(shù)學(xué)分析這門課程，歸納了幾種可以用反證法證明的命題類型。

【關(guān)鍵詞】反證法；類型；命題；證明

1 反證法是什么

反證法是一種論證方式，他首先假設(shè)某命題不成立，然后推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說(shuō)原假設(shè)不成立，原命題得證。牛頓曾說(shuō)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧薄?/p>

一般來(lái)講，反證法常用證明正面證明有困難，情況多或復(fù)雜，而逆否命題則比較淺顯的題目，問(wèn)題的解決就變得相對(duì)容易。

反證法的證題可以簡(jiǎn)要的概括為“否定→得出矛盾→否定”。即從否定結(jié)論開(kāi)始，得出矛頓，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是 “否定之否定”。如果結(jié)論的情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立。

2 適合用反證法的命題

2.1 正面證明有困難的命題

例.設(shè)α是有理數(shù)，x是無(wú)理數(shù)，證明：a+x是無(wú)理數(shù).

反證：假設(shè)a+x是有理數(shù)，根據(jù)有理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算的封閉性知，（a+x）-a=x是有理數(shù)， 與題意矛盾. 故假設(shè)不成立， 原命題成立.

2.2 有關(guān)唯一性的命題

例2.若數(shù)列{an}收斂， 則它的極限唯一.

證明：設(shè)a，b都是an的極限.且a≠b.由極限的定義，對(duì)任意的ε>0，存在N，當(dāng)n>N時(shí)，有|an-a|<ε，|an-b|<ε。則

0≤|a-b|=|a-an+an-b|≤|a-an|+|an-b|<2ε

由ε的任意性得a=b，從而得矛盾。

2.3 有關(guān)至多…， 至少… ，不可能…等的命題.

例3.（1）方程x3-3x+c在區(qū)間[0，1]內(nèi)不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根.（2）方程xn+px+q當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)至多有兩個(gè)不同的實(shí)根.

證明：（1）設(shè)f（x）=x3-3x+c，若方程x3-3x+c在區(qū)間[0，1]內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根記為x1，x2。不妨設(shè)x1

2.4 有關(guān)””或恒…的命題

例4.[1]假設(shè)f在區(qū)間I上連續(xù)，對(duì)任意的有理數(shù)r∈I有f（r）=0則在I上f（x）=0.證明：若結(jié)論不成立，即至少存在一點(diǎn)x0∈I，滿足f（x0）≠0。由條件知f在x0點(diǎn)連續(xù)，即滿足 f（x ）=0≠f（x ）?，F(xiàn)取一列有理數(shù)點(diǎn)列{xn}且 xn=x0，由歸結(jié)原則 f（xn）=0≠f（x0）這與f在x0點(diǎn)連續(xù)矛盾。

2.5 有關(guān)否定性的命題

例5[2]若f在有限區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)但無(wú)界，證明：其導(dǎo)函數(shù)f'（x）在區(qū)間（a，b）上無(wú)界。證明：若f'（x）在區(qū)間（a，b）上有界，不妨設(shè)|f'（w）|≤M。固定c∈（a，b），對(duì)任意的x∈（a，b），則f（x）在[x，c]上滿足羅爾中值定理的條件，從而有至少存在ξ∈（x，c）使得f（x）-f（c）=f'（ξ）（c-x），由此得|f（x）|≤|f（c）|+|f'（ξ）（c-x）|≤|f（c）|+|M（b-a）|。

既得f（x）在區(qū)間（a，b）上有界，這與題設(shè)矛盾。

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]沐定夷，謝惠民.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集學(xué)習(xí)指引[M].北京：高等教育出版社，2012.