福建省福州華僑中學(350004) 李文明

新課程倡導的是學生學習方式上的自主性、探究性、合作性,強調(diào)的是以培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力為核心的教學理念.這不僅是對教師的課堂教學提出了新的挑戰(zhàn),而且也是對新課程標準下的考試命題與解題提出了更高的要求.眾所周知,解析幾何不僅是高考命題的重中之重,其難度的控制更是令人難以把握;雖然其中原因諸多,但是如何突破計算的“瓶頸”,減少計算量,增加思維量不僅是命題專家所要面對的實際問題,也是中學解析幾何教學實踐必須認真思考和探究的問題.下面是筆者對一道福建省單科質(zhì)檢試題的探究過程和教學反思.

一、試題再現(xiàn)

題目 (2016年福建省單科質(zhì)檢理科第20題)以橢圓M:+y2=1(a＞1)的四個頂點為頂點的四邊形的四條邊與圓O:x2+y2=1共有6個交點,且這6個點恰好把圓周六等分.

(1)求橢圓M 的方程;

(2)若直線l與圓O相切,且與橢圓M相交于P、Q兩點,求|PQ|的最大值.

本題主要考查圓的方程、橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想等.

二、參考答案

解法一 (1)如圖1,依題意,A(0,1),B(a,0),∠OAB=60?;因為故所求方程為

圖1

所以

?=36m2k2-4(1+3k2)(3m2-1)=24k2＞0?k/=0.

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則

所以

所以

?=36m2k2-4(1+3k2)(3m2-1)=24k2＞0?k/=0.

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則

所以

令t=1+3k2.因為k/=0?t＞1,于是

因為綜上所述,|PQ|的最大值是3.

三、創(chuàng)新求解

從上述參考答案給出的兩種解法,不難發(fā)現(xiàn),兩種解法思考方法大同小異,都運用“分類整合思想”對直線的斜率是否存在進行了討論,只是在處理兩點間距離的結(jié)果時,采取了不同的方法,方法一運用“基本不等式”求極值;方法二運用“換元法”和函數(shù)思想求極值;這充分展現(xiàn)了解決極值問題的兩種常用方法的重要性.由此可見,這是一道完全符合命題目的的解析幾何試題.

教師要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神;就要身先士卒,解決問題就不能套路優(yōu)先,亦步亦趨,解決問題就要學會具體問題具體分析,審時度勢,認真分析,學會趨利避害,順勢而為,教學過程中我們先根據(jù)參考答案的解法對學生進行引導,但是學生總是覺得老師“太高明”,總是覺得“技不如人”;于是我們對問題進行再思考,再分析,和學生一起探尋新的突破口,借助“向量”數(shù)形兼?zhèn)涞奶攸c,利用“相關(guān)點法”解決如下:

圖2

解 如圖2,設(shè)點N(x0,y0)是圓O上的任意一點,點R(x,y)為過點N的圓O切線l上的任意一點,切線l與橢圓M:=1的交點P(x1,y1),Q(x2,y2).則

點評 由此可見,原題的命題目標,未必都能夠?qū)崿F(xiàn);這正是“分類不必要,解法需創(chuàng)新”！對數(shù)學本質(zhì)要有深刻的理解;萬萬不可僵化,要“活學活用”！“套路”不等于“通法”.真正的通法是通向能夠揭示數(shù)學問題本質(zhì)的最基本方法.

四、反思悟道

證明 設(shè)點N(x0,y0)是圓O上的任意一點,點R(x,y)為過點N的圓O切線l上的任意一點,切線l與橢圓

即當|x0|=b時,|PQ|max=2eb,切點有兩個(-b,0),(b,0),切線有2條x=±b

同理可證如下的

由此不難發(fā)現(xiàn),解決數(shù)學問題如果事先設(shè)定“條條框框”,思維就會受到不應(yīng)有“束縛”;即使是數(shù)學專業(yè)知識淵博,思維敏銳的專家也會受到干擾和影響,因此數(shù)學教學要不斷激發(fā)學生的學習熱情,數(shù)學思考的激情,只有讓數(shù)學教學在不斷的創(chuàng)新過程中進行,才是學生學好數(shù)學的不竭動力！