江蘇省啟東市匯龍中學(xué)(226200) 倪紅林

圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容之一,是高考的重點考查內(nèi)容.特別是圓錐曲線中的定點與定值問題,一直是高考的熱點問題.解決此類問題常見的方法有兩種:一是從特殊入手,求出定點(定值),再證明這個點(值)與變量無關(guān);二是直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定點(定值).下面舉一個具體例子加以說明.

例1已知橢圓=1的左頂點為A,過A作兩條互相垂直的弦AM,AN交橢圓于M,N兩點.

(1)當直線AM 的斜率為1時,求點M、N的坐標;

(2)當直線AM 的斜率變化時,直線MN是否過一定點?若過定點,請給出證明,并求出該定點;若不過定點,請說明理由.

(2)假設(shè)MN過一定點,則由A(-2,0)和橢圓的對稱性知,定點一定在x軸上,又由(1)知定點坐標為Q(-0).證明如下.

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2);AM :y=k(x+2),則AN:(x+2),直線AM與橢圓聯(lián)列消去y,得:-2和x1是這個方程的兩個解,由韋達定理:x1-2=,則y1=k(x1+2)=由直線AN和橢圓聯(lián)立消去y,得:

-2和x2是這個方程的兩個解,由韋達定理:x2-2=

所以

則

由于kMQ=kNQ,所以M,Q,N三點共線.即MN必然過定點Q(

本題研究的是一個特殊橢圓的一個定點性質(zhì),由類比推理的思想,這種性質(zhì)能否輻射到一般的橢圓,甚至其它圓錐曲線呢?

問題1將特殊的橢圓推廣到一般的橢圓

解法一 (特值法)從特殊位置(特殊點或線所在的位置)入手,找出定點,再證明該點適合題意.

由橢圓的對稱性知,若直線MN過定點,則該定點在x軸上,然后令直線AM 的斜率為±1,求出點M 的橫坐標這樣目標明確,易于證明.

圓錐曲線中的定值問題往往與圓錐曲線中的“常數(shù)”有關(guān),如橢圓的長、短軸,雙曲線的實、虛軸,拋物線的焦參數(shù)等.在求定值之前,要大膽設(shè)參,運算推理,到最后參數(shù)必清除,定值顯現(xiàn).

得b2x2+a2k2(x+a)2=a2b2,所以

b2(x2-a2)+a2k2(x+a)2=0,

又因為(x+a)/=0,所以b2(x-a)+a2k2(x+a)=0.所以(b2+a2k2)x=a(b2-a2k2),所以

解法三 設(shè)P(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),直線AM:

由直線AM,AN和橢圓方程得

所以

所以

(1)當MN不垂直X軸時,設(shè)直線MN:y=kx+m.由

得

所以

因為AM⊥AN,所以

.

所以

(x1+a)(x2+a)+(kx1+m)(kx2+m)

=(1+k2)x1x2+(a+mk)(x1+x2)+a2+m2=0

即

(m-ak)[m(a2+b2)-kac2]=0,

所以

當m=ak時,直線MN:y=k(x+a),過點A,不成立,舍去.所以

問題2 將橢圓推廣到圓錐曲線的其它情形:雙曲線和拋物線

推廣3已知拋物線:y2=2px,過頂點O作兩條互相垂直的弦OM,ON交拋物線于M,N兩點,則當直線OM的斜率變化時,直線MN是過一定點(2p,0).

推廣2、3可仿照推廣1證明.

例2 已知拋物線y2=4x上兩個動點B、C和定點A(1,2),且 ∠BAC=90?,則動直線BC 必過定點.

答案: (5,-2)

解法一 (特殊法)任取點B坐標,比如B1(4,4),然后求出AB1,AC1所在直線;求出C1點坐標,求出B1C1所在直線.

同理取點B2(4,-4),然后求出AB2,AC2所在直線,求出C2點坐標,求出B2C2所在直線,

求出直線B1C1與直線B2C2的交點即為所求的定點.

解法二 (一般法)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則y=4x1,=4x2.當x1=x2時,y1=-y2,

從而

直線

問題3將拋物線上特殊的點推廣到拋物線上的一般的點.

推廣4 已知拋物線:y2=2px,過拋物線上一點P(x0,y0)作兩條互相垂直的弦PM,PN交拋物線于M,N兩點,則當直線OM 的斜率變化時,直線MN是過一定點(2p+x0,-y0).

特別地,當p=2,x0=1,y0=2時,(2p+x0,-y0)=(5,-2),即例2成立.

問題4推廣4的逆命題成立嗎?

推廣5 已知P(x0,y0)是拋物線:y2=2px上一定點,M,N是拋物線上兩動點,則PM,PN互相垂直的充要條件是直線MN過定點(2p+x0,-y0).

總之,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,問題是引發(fā)學(xué)生思維活動的向?qū)?有了問題,學(xué)生的求知欲才能激發(fā);有了問題,學(xué)生的思維才能啟動,學(xué)生的創(chuàng)新才有了可能,思維才得以不斷發(fā)展.教師通過對題目的變通、引申、推廣,不僅豐富了學(xué)生的認知結(jié)構(gòu),而且激發(fā)了學(xué)生探究的興趣,營造了一種生機勃勃的課堂氛圍,讓學(xué)生享受到了一種積極的情感體驗,提高教學(xué)效果.