吳正春

【摘要】數(shù)學(xué)是一門抽象性和復(fù)雜性較強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時需要具有開放性的數(shù)學(xué)思維.本文將對從學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)啟發(fā)學(xué)生的解題思維進(jìn)行探討.

【關(guān)鍵詞】思維最近發(fā)展區(qū)；解題思維；數(shù)學(xué)

教學(xué)生解題是教師的分內(nèi)事，可如何使學(xué)生解好題，會解題，這也是教師們所要追求的.從學(xué)生的思維最近發(fā)展區(qū)去啟發(fā)學(xué)生的解題思維不失為一個有效的方法，現(xiàn)把我一節(jié)解題課的部分環(huán)節(jié)介紹給大家，望得到大家的賜教.

例已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），過點(diǎn)P（3，1）其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且F1P·F2P=-6.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若M，N是直線x=5上的兩個動點(diǎn)，且F1M⊥F2N，則以MN為直徑的圓C是否過定點(diǎn)？請說明理由.

一段時間過后橢圓E的方程基本上學(xué)生能求對x218+y22=1.對于第二問卻不知怎么辦.

對此我抓住學(xué)生原有的知識生長點(diǎn)，以此鋪墊一步一步地啟發(fā)與提示，獲得此類問題的一個大致解題模式.

學(xué)生熟悉直線過定點(diǎn)的問題：如，y=kx+1這條動直線是否過定點(diǎn)？學(xué)生幾乎全知道過定點(diǎn)（0，1）.問：為什么知道過定點(diǎn)（0，1）？學(xué)生們的回答是令x=0，算出y=1，所以過（0，1）點(diǎn).再問：為什么想到令x=0？就沒有學(xué)生回答上來了.

學(xué)生回答不上來，估計理由有兩點(diǎn)：一是沒有明白“y=kx+1是否過定點(diǎn)”是什么意思；二是令x=0的根據(jù)是什么？解決好了這兩個問題，估計例題的解題思路也就有個七八成了.

先解釋“y=kx+1是否過定點(diǎn)”是何意.

若動直線y=kx+1過定點(diǎn)的話，意思就是說k取每一個不同的值，y=kx+1就代表一條不同的直線.如果這無數(shù)直線都過同一個點(diǎn)的話，我們就認(rèn)為動直線y=kx+1過定點(diǎn).

怎樣求y=kx+1過的定點(diǎn)呢？根據(jù)上面的解釋，當(dāng)k=k1時，y=k1x+1過此定點(diǎn)；當(dāng)k=k2時，y=k2x+1也過此定點(diǎn).所以，定點(diǎn)即為直線y=k1x+1與y=k2x+1的交點(diǎn).因此，只需任取k的兩個值，求這兩條直線的交點(diǎn)即可.不妨設(shè)k1=1，k2=2，由y=x+1，y=2x+1， 解得x=0，y=1. 又∵（0，1）坐標(biāo)符合方程y=kx+1，∴定點(diǎn)為（0，1）.

學(xué)生能理解，但上述的解法不便模式化.換種方式解釋“y=kx+1是否過定點(diǎn)”.若y=kx+1過定點(diǎn)（x0，y0），不就是說y0=kx0+1對k∈R都成立嗎？不就是說關(guān)于k的方程x0k=y0-1有無數(shù)多個解嗎？

初一時，學(xué)生們就討論過方程ax=b的解答.再次強(qiáng)化學(xué)生們已有的思維生長點(diǎn)：（1）當(dāng)a≠0時，方程有唯一解：x=ba；（2）當(dāng)a=0，b≠0時，方程無解；（3）當(dāng)a=0，b=0時，方程有無數(shù)多個解.

同學(xué)們，你們知道關(guān)于k的方程x0k=y0-1什么時候有無數(shù)多個解嗎？

當(dāng)x0=0，y0-1=0， 即x0=0，y0=1 時，方程有無數(shù)多個解.

∴定點(diǎn)就是（0，1）.

現(xiàn)在知道當(dāng)初為什么令x=0的理由了嗎？

其實(shí)，若直線y=kx+1過定點(diǎn)，意味著關(guān)于k的方程xk=y-1有無數(shù)多個解.令x=0，y-1=0 x=0，y=1 定點(diǎn)即可求出.

從學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，激發(fā)學(xué)生思維的生長點(diǎn).一步一個臺階，順藤摸瓜，學(xué)生自然會找到解題的切入點(diǎn).回到本例：

師：有哪名同學(xué)能說說你的想法嗎？

過了好長的時間，有學(xué)生站起.

生A：想把圓C的含有參數(shù)的方程寫出來，然后尋求關(guān)于這個參數(shù)的方程是否具備無數(shù)多個解的條件.如果具備，則圓過定點(diǎn)，如果不具備，則圓不過定點(diǎn).

師：你能再重復(fù)一遍的你想法嗎？說慢一點(diǎn)，看同學(xué)是否有異議.

基本無異議后，教師又問：誰會寫出圓C的方程？

生B：設(shè)M（5，m），N（5，n），則圓C的方程為：（x-5）2+y-m+n22=m-n42.

有兩個參數(shù)，關(guān)于哪個參數(shù)的方程有無數(shù)多個解呢？學(xué)生又不會了.

師：你能消去一個參數(shù)嗎？m與F1M⊥F2Nmn=-9之間有依賴關(guān)系嗎？還有條件沒有用嗎？

生C：有.由F1M⊥F2Nmn=-9.

師：現(xiàn)在消去一個參數(shù)，理論上可行.想想消去一個參數(shù)后方程可能有些復(fù)雜.在mn=-9的條件下，方程可以化簡為……

生D：（x-5）2+y2-（m+n）y-9=0.

師：這些圓是否過定點(diǎn)，誰能用自然語言描述一下其思考方向.

生E：在mn=-9的前提下，不論m，n取何值，上式表示的圓均過同樣的點(diǎn)，這樣就表示動圓過定點(diǎn).

師：再想想，往上面所說過的話上想，再說說.

生E：即關(guān)于（m+n）的方程y（m+n）=（x-5）2+y2-9是否具備有無數(shù)多個解的條件？

令y=0，（x-5）2+y2-9=0 x=8，y=0 或x=2，y=0.

∴圓過定點(diǎn)（8，0）和（2，0）.

本節(jié)課盡管只講了兩道題（講此題前講了一題）復(fù)習(xí)的效率看似低了一些，但內(nèi)心很高興，學(xué)生們差不多都會了這種題的解題思路.學(xué)生們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很好，這就要求教師還要更多地去了解學(xué)生，了解初中數(shù)學(xué)課程，做到今后的分析和講解能更貼近學(xué)生的思維最近發(fā)展區(qū).

【參考文獻(xiàn)】

[1]姜潔.淺析中學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維能力的提升[J].新教育時代電子雜志，2016（4）：38.

[2]吳帶春.從學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)啟發(fā)學(xué)生的解題思維[J].讀寫算，2015（11）：49.endprint