張艷玲
【摘要】在高中數(shù)學(xué)解題的過程中經(jīng)常會利用導(dǎo)數(shù)知識。導(dǎo)數(shù)知識能夠解決各種數(shù)學(xué)問題,例如我們常見的不等式或者是函數(shù)。學(xué)生要想掌握更多的解題技巧,首先要掌握導(dǎo)數(shù)知識,能夠合理地應(yīng)用導(dǎo)數(shù),只有這樣才能提高自己的解題效率。在具體解決問題的過程中,先復(fù)習(xí)一遍導(dǎo)數(shù)知識,這樣在解題的過程中思維就會更加靈活。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué);解題;策略
導(dǎo)數(shù)能夠連接初等數(shù)學(xué)以及高等數(shù)學(xué),是—種比較簡單的解題方式。尤其是高中試題,采用常規(guī)的方式很難解決,而且過程會花費大量的精力,一個不小心就會出錯誤,如果利用導(dǎo)數(shù),就能快速解決問題。本文將對導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題應(yīng)用中的策略進行分析,并提出一些建議。
一、在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的價值
上過高中的人都知道,導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點,也是學(xué)習(xí)微積分必不可少的基礎(chǔ)概念。如果一個學(xué)生沒有學(xué)好導(dǎo)數(shù),那么這個學(xué)生就需要花費更多的時間解題,數(shù)學(xué)成績也不會很理想。高中數(shù)學(xué)對一個學(xué)生來說十分重要,而導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)的重點,是學(xué)生必須要掌握的知識點。而且大多數(shù)高中數(shù)學(xué)題都需要解題,所以掌握好的解題技巧,是取得數(shù)學(xué)好成績必不可少的辦法。在解答數(shù)學(xué)題的過程中,記好某個公式、某個概念并不是最重要的,還要合理應(yīng)用這些公式,在解答的過程中,靈活思維,掌握正確的解題方法才是最重要的。在高中數(shù)學(xué)解題的過程中應(yīng)用導(dǎo)數(shù),能夠調(diào)動學(xué)生的思維邏輯,讓學(xué)生從多個角度來解答數(shù)學(xué)題。導(dǎo)數(shù)既普遍又重要,能夠幫助學(xué)生快速理解解題技巧,并合理應(yīng)用這些解題技巧,這樣無論多么復(fù)雜的數(shù)學(xué)題,解答起來也就不那么困難了,學(xué)生的數(shù)學(xué)成績就會提高很快。所以導(dǎo)數(shù)在解決高中數(shù)學(xué)題的過程中有著非常重要的地位。
二、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用分析
1.導(dǎo)數(shù)在求極值中的應(yīng)用
高中數(shù)學(xué)題中,函數(shù)問題比較普遍,其中有一些問題,也就是求取最大值或者是最小值的函數(shù)問題,學(xué)生十分容易出錯,而且這些題也是高考的必考題。我們?nèi)绻扇鹘y(tǒng)的解題方式,也能解決極值問題,但是如果利用導(dǎo)數(shù),掌握一定的解題技巧,那么這種方法能夠解決絕大部分的極值問題,所以我們更應(yīng)該重視導(dǎo)數(shù)知識點的學(xué)習(xí)。我們以二次函數(shù)中求極值為例子,比較普遍的就是給出一個函數(shù),給出一個區(qū)間,求最大值或者是最小值,這是近幾年高考的熱點。一些學(xué)生會采用常規(guī)的解題思路來解決問題,也就是數(shù)形結(jié)合,這種方式能夠解決較為簡單的函數(shù)問題,如果問題較為復(fù)雜,那么就要花費更多的時間,解決起來也比較困難。而利用導(dǎo)數(shù),就能快速解決這些問題。我們根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義——無論是最大還是最小,該點的變化斜率都為零,找出這個區(qū)間內(nèi)求導(dǎo)為零的點,之后代入原函數(shù),比較這兩個點的大,就能知道這一點是最大值還是最小值,這樣就能解決函數(shù)問題了。
例1:已知f(x)=ln(1+x)-x,求解出最大值,那么要找到函數(shù)的定義域,1+x>0,即x∈(-1,∞),經(jīng)過求導(dǎo)之后,我們可以得到f′(z)l/(1+x)-1,只要令1/(1+x)-1=0,即可求得極值點x,在簡單地變換之后,我們可以解出x=0,再將0代入原函數(shù)中,得f(0)=0。
2.導(dǎo)數(shù)知識在曲線切線問題解答中應(yīng)用
在解決幾何問題的過程中,我們也經(jīng)常利用導(dǎo)數(shù)來解決問題,這種方式能夠節(jié)省解題的步驟,盡可能地減少出錯,提高解題的效率。一般情況下,我們在求取切線題目的過程中經(jīng)常會利用導(dǎo)數(shù)知識。例如解決切線方程,代入導(dǎo)數(shù)知識后,就能判斷出對坐標點,之后再根據(jù)基本的求解方式,得出已知曲線C:y=f(x),曲線經(jīng)過點M(x1,y1),求過點M的切線方程。在解決這些問題的過程中利用了導(dǎo)數(shù)知識的概念和性質(zhì)。在解決這個問題的過程中,首先,要判斷點M是否在曲線上,之后進行分類討論,盡可能利用f′(x)的基本性質(zhì)解決問題,無論解決哪種問題,首先要經(jīng)過討論,探討出可能會出現(xiàn)的情況,之后再進行具體分析,最終得出切線方程。
例2:有直線P:x+4y-4 0,有曲線C:y=x4,其中直線P與曲線C的一條切線N相互垂直,求曲線的切線N的方程。
解析:我們首先對題目進行了仔細分析,能夠了解到在求解的過程中可以利用導(dǎo)數(shù)知識。分析完題目之后,通過題目得出三個條件,分別是x+4y-4=0(直線),y=x4(曲線),切線Ⅳ(與曲線相切,并與直線垂直),我們提煉出有價值的條件,求出直線P的斜率,由于P與N垂直,由此求出直線Ⅳ的斜率,之后再計算出這條曲線的導(dǎo)函數(shù),設(shè)置具體值,計算出和曲線相切部分的切點,最終得出方程。具體過程如下:y=x4的求導(dǎo)結(jié)果為y′=4x3,直線P的斜率為-14,由于P與N垂直,兩者斜率相乘得-1,由此可得切線Ⅳ的斜率=4,令y′=4x3=4,即可求出x=1,切線與曲線的切點坐標為(1,1),確定了切點的坐標與切線的斜率,即可求出切線方程為y=4x-3。
在解決切線方程問題的過程中,借助導(dǎo)數(shù)知識得到切點,之后利用切點和斜率解決最終的問題。這個過程要求循序漸進,一個環(huán)節(jié)為后一個環(huán)節(jié)做好鋪墊,最終計算整個求解過程,得到結(jié)果。利用導(dǎo)數(shù)知識來求解問題能夠開拓更多的思路,創(chuàng)造更多的解題空間。
3.重視導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)不僅能夠應(yīng)用在解答數(shù)學(xué)問題上,還能解決現(xiàn)實生活的問題。所以,高考試題的考查更偏向于用導(dǎo)數(shù)來解決實際生活問題。例如我{門比較常見的優(yōu)化問題、解決成本問題、求出最短路徑等等,在解決這些問題的過程中,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識就能快速求得答案。具體的步驟如下:仔細閱讀仔細審題,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,之后合理設(shè)置函數(shù)變量,尋找相關(guān)的關(guān)系式,得到結(jié)果,檢驗結(jié)果是否正確,是否符合實際。
例3,假設(shè)一個工廠在生產(chǎn)產(chǎn)品的過程中,成本為a、產(chǎn)量為M,那么成本和產(chǎn)量的關(guān)系式設(shè)置為A=100+4m,最終的售價為c,而售價格產(chǎn)量也存在關(guān)系式,c=25-m,那么為了獲取最大的利潤值,產(chǎn)量M多少最合適?
解析:收入減去成本得到利潤,也就是R-A=l,而最終的收入,則是產(chǎn)量和價格二者的乘積,那么,我們就能得出最終的關(guān)系式,之后再代入導(dǎo)數(shù)知識來解決問題得到答案:
因為成本A與產(chǎn)量m的函數(shù)關(guān)系式為A=100+4m,價格c與產(chǎn)量m的函數(shù)關(guān)系式為c=25-1/8m,所以利潤L=(25-1/8m)m-(100+4m)=-1/8m2+21m-100。
和公式相對應(yīng)的拋物線開口向下,那么,我們得出M為84時,總利潤值是最大的結(jié)論。在解決上述問題的時候,對整個題目進行分析,從抽象的知識點中獲取數(shù)學(xué)知識,利用一定的表達式,代入導(dǎo)數(shù)進行求導(dǎo),最終得到了答案。
三、結(jié)語
在高中階段,我們要掌握導(dǎo)數(shù)最基本的定義以及最基本的公式,并且能夠合理地運用這些公式,只有這樣在解決較為復(fù)雜的問題時,我們才能在第一時間尋找最佳的解決方案,進而簡化解題步驟,提高做題的正確率。