穆 彤

（天水師范學(xué)院機(jī)電與汽車工程學(xué)院，甘肅 天水 741000）

0 引言

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課程是機(jī)械及近機(jī)類專業(yè)的一門理論性很強(qiáng)的專業(yè)基礎(chǔ)課，其不僅是宏觀上使學(xué)生們建立系統(tǒng)與其輸入、輸出關(guān)系，并利用控制論的相關(guān)方法完成系統(tǒng)性能分析與校正的必備條件，也是進(jìn)一步探索機(jī)械工程及其相關(guān)領(lǐng)域的基本知識(shí)儲(chǔ)備。然而，該課程因其數(shù)學(xué)理論性強(qiáng)、公式推導(dǎo)復(fù)雜、圖表曲線多等特點(diǎn)，與其他工科專業(yè)課程相比，是一門偏理科的課程，多數(shù)機(jī)械專業(yè)學(xué)生感到難學(xué)，同時(shí)，就課程內(nèi)容而言，其所涉及的知識(shí)面廣，在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)按照教材章節(jié)逐一講解的方式，系統(tǒng)性不強(qiáng)，往往更難以讓學(xué)生們理解和掌握，教學(xué)效果差。

如何在有限的教學(xué)時(shí)數(shù)內(nèi)使學(xué)生們克服畏難情緒，建立起機(jī)械系統(tǒng)控制理論知識(shí)體系，掌握機(jī)械系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性分析方法，已成為教師在教學(xué)實(shí)踐中不斷探索的問(wèn)題。本文旨在提出一種以拉氏變換，頻率特性和Matlab/Simulink工具為主線的教學(xué)方法，通過(guò)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)/軟件工具在教學(xué)中的基石作用，合理制定教學(xué)策略，安排教學(xué)進(jìn)度，幫助學(xué)生直觀建立起機(jī)械工程控制論的基本知識(shí)框架體系，加深對(duì)機(jī)械系統(tǒng)性能的相關(guān)理解，并能夠?qū)⒗碚撆c實(shí)踐相結(jié)合，達(dá)到優(yōu)化教學(xué)效果的目的。

1 課程結(jié)構(gòu)分析

在本科階段教學(xué)中，本課程主要涉及經(jīng)典控制理論的相關(guān)內(nèi)容及其應(yīng)用，即系統(tǒng)穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性三大性能的分析與校正，其結(jié)構(gòu)框架如圖1所示。其中，系統(tǒng)的快速性與準(zhǔn)確性分析都依賴?yán)献儞Q與逆變換這一數(shù)學(xué)工具的熟練掌握，而穩(wěn)定性分析與系統(tǒng)的頻率特性密不可分。如若按照三大性能的分析來(lái)安排教學(xué)，學(xué)生會(huì)因?yàn)楦髦R(shí)模塊之間錯(cuò)綜復(fù)雜的交織關(guān)系及相關(guān)數(shù)學(xué)工具應(yīng)用能力的薄弱而感到混亂、難學(xué)，同時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定性作為三大性能中最為重要的性能，在分析時(shí)首先要求學(xué)生能夠利用頻率特性繪制Nyquist圖和Bode圖，但由于工科學(xué)生的非理科思維及對(duì)數(shù)學(xué)方法應(yīng)用能力的欠缺，使得頻率特性求解困難、精確圖像的繪制難以實(shí)現(xiàn)。

因此，在有限的教學(xué)學(xué)時(shí)中，應(yīng)該明確各知識(shí)模塊的主次及其關(guān)聯(lián)性，合理取舍各模塊內(nèi)容，探索一種更適宜工科學(xué)生學(xué)習(xí)偏理科課程的教學(xué)方法，實(shí)現(xiàn)事半功倍的教學(xué)效果。

圖1 課程框架圖

2 課程教學(xué)主線設(shè)計(jì)

通過(guò)梳理機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課程的主要內(nèi)容，明確課程內(nèi)容的主次及相互關(guān)聯(lián)，總結(jié)出學(xué)習(xí)該課程的三條主線，即拉氏變換線、頻率特性線和Matlab/Simulink工具線，如圖2所示。在教學(xué)實(shí)踐中，首先將拉氏變換及相應(yīng)的復(fù)變函數(shù)內(nèi)容放在重要的位置上，在學(xué)生熟練掌握該數(shù)學(xué)工具基礎(chǔ)上，再進(jìn)行系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及其快速性、準(zhǔn)確性分析的教學(xué)；然后，利用拉氏變換與頻率特性之間的關(guān)聯(lián)，梳理出系統(tǒng)頻率特性的求取方法，并在此基礎(chǔ)上完成系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的教學(xué)；最后，利用Matlab/Simulink軟件強(qiáng)大的建模、圖形處理功能和可視化界面激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，并通過(guò)應(yīng)用控制系統(tǒng)分析、設(shè)計(jì)的軟件，真正使理論與實(shí)踐相結(jié)合。

圖2 基于數(shù)學(xué)/軟件工具的教學(xué)主線

2.1 拉氏變換教學(xué)主線

拉普拉斯變換（Laplace變換，簡(jiǎn)稱拉氏變換）是將時(shí)域函數(shù)映射為復(fù)數(shù)域函數(shù)，以簡(jiǎn)化計(jì)算的一種數(shù)學(xué)工具[1]。在機(jī)械工程控制理論教學(xué)中，利用拉氏變換及復(fù)變函數(shù)的相關(guān)理論可以實(shí)現(xiàn)時(shí)域微分方程到復(fù)數(shù)域代數(shù)方程的轉(zhuǎn)換，極大地簡(jiǎn)化計(jì)算，所以以拉氏變換為基礎(chǔ)的理論是解決系統(tǒng)模型建立和系統(tǒng)快速性、準(zhǔn)確性分析的重要數(shù)學(xué)工具。而華中科技大學(xué)出版社楊叔子主編的《機(jī)械工程控制基礎(chǔ)》和科學(xué)出版社韓致信主編的《機(jī)械自動(dòng)控制工程》等諸多教材[2-3]都未對(duì)拉氏變換進(jìn)行詳細(xì)的講授，機(jī)械專業(yè)學(xué)生卻未曾學(xué)習(xí)過(guò)相關(guān)理論。如若以系統(tǒng)性能為教學(xué)主線，在進(jìn)行系統(tǒng)相關(guān)性能分析時(shí)再適時(shí)補(bǔ)充學(xué)習(xí)拉氏變換相關(guān)知識(shí)，不但會(huì)讓學(xué)生對(duì)本來(lái)就難以理解的拉氏變換及其性質(zhì)感到混亂，產(chǎn)生畏難情緒，進(jìn)一步影響各知識(shí)模塊的教學(xué)，而且往往會(huì)因?qū)W時(shí)受限，知識(shí)點(diǎn)顧此失彼，難以達(dá)到良好的教學(xué)效果。

因此，在教學(xué)實(shí)踐中，首先深入學(xué)習(xí)拉氏變換及相關(guān)性質(zhì)，建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，再介紹系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)誤差的分析方法，建立拉氏變換教學(xué)主線（圖 3）。

圖3 基于拉氏變換的教學(xué)主線

2.2 頻率特性教學(xué)主線

頻率特性通過(guò)建立系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)與其頻譜間的直接關(guān)系，將傳遞函數(shù)引到具有明確物理概念的頻域來(lái)分析系統(tǒng)的特性，更適宜解決工程實(shí)際問(wèn)題。傳遞函數(shù)作為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型描述，工程實(shí)踐中通過(guò)分析法往往難以求得，更多的采用試驗(yàn)的方法首先求得系統(tǒng)的頻率特性，再利用傳遞函數(shù)與頻率特性之間的關(guān)系得到，同時(shí)，頻率特性的圖示法也為系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷提供了新的思路。

但是，在教學(xué)實(shí)踐中存在：一是其理論枯燥、推導(dǎo)復(fù)雜；二是頻率特性的圖示法只能概略的繪制出圖形，且計(jì)算稍有偏差就會(huì)導(dǎo)致后續(xù)錯(cuò)誤。針對(duì)以上問(wèn)題，我們不再拘泥于教材，重新梳理所有相關(guān)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，將頻率特性與傳遞函數(shù)、頻率特性的極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）、Nyquist判據(jù)和Bode判據(jù)融合在一起，幫學(xué)生建立起一條頻率特性主線（圖4）。

圖4 基于頻率特性的教學(xué)主線

2.3 Matlab/Simulink教學(xué)主線

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)是一門理論與工程實(shí)踐緊密結(jié)合的機(jī)械類專業(yè)基礎(chǔ)課，在教學(xué)過(guò)程中，一是需要進(jìn)行大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算以及圖表繪制，尤其是在分析參數(shù)多的時(shí)候，手繪圖像耗時(shí)長(zhǎng)、不準(zhǔn)確、直觀性差[4]；二是在講解系統(tǒng)參數(shù)對(duì)于系統(tǒng)性能存在的影響時(shí)，也很難在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)觀測(cè)到系統(tǒng)響應(yīng)的結(jié)果；三是作為應(yīng)用型新興本科院校，課堂教學(xué)如果偏重于理論教學(xué)而缺乏實(shí)踐環(huán)節(jié)，就會(huì)使得學(xué)生難以將所學(xué)知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，弱化了學(xué)生綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

針對(duì)以上問(wèn)題，結(jié)合應(yīng)用型新興本科院校對(duì)機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課程教學(xué)的目標(biāo)和特點(diǎn)，基于Matlab/Simulink軟件建立教學(xué)主線，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的建模、仿真、設(shè)計(jì)和分析，具體來(lái)說(shuō)，主要包括以下幾個(gè)方面：

（1）系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型描述及建模

num=[25]；

den=conv（[1]，conv（[4，1]，[1，2，25]））；

G=tf（num，den）；

然后，由于實(shí)際系統(tǒng)常常是由幾個(gè)簡(jiǎn)單子系統(tǒng)通過(guò)串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方式構(gòu)成，因此，在教學(xué)實(shí)踐中，再通過(guò)框圖建模來(lái)建立系統(tǒng)的模型，如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)框圖建模

（2）系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析

圖 6 為 ωn=1，ξ分別取 0，0.5，1，1.5 時(shí)利用simulink建立的系統(tǒng)模型以及對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線。隨著ξ的變化，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線也隨之發(fā)生了變化，ξ＜1時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)的過(guò)渡過(guò)程為衰減振蕩，隨著ξ的減小，其振蕩幅度愈強(qiáng)，當(dāng)ξ=0時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)曲線呈現(xiàn)等幅振蕩。而隨著阻尼比ξ的不斷增大，輸出曲線呈現(xiàn)單調(diào)遞增。

圖6 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線

（3）系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

根據(jù)解析法計(jì)算系統(tǒng)的頻率特性并通過(guò)繪制Nyquist圖或Bode圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，一直以來(lái)都是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在基于Matlab/Simulink的教學(xué)主線中，首先利用Matlab軟件強(qiáng)大的圖形處理功能和良好的可視化界面，繪制系統(tǒng)的Nyquist圖和Bode圖，再結(jié)合理論教學(xué)中對(duì)Nyquist判據(jù)和Bode判據(jù)的講解，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。下面舉例說(shuō)明。

①編制Matlab程序

num=[4，1]；

den=conv（[1，0，0]，conv（[1，1]，[2，1]））；

margin（num，den）；

nyquist（num，den）；

②運(yùn)行上述程序，即可繪制出系統(tǒng)的Nyquist圖和Bode圖（如圖7、圖8所示）。

圖7 系統(tǒng)Nyquist圖

圖8 系統(tǒng)Bode圖

③圖像分析

從圖7中可知，系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡由于存在積分環(huán)節(jié)出現(xiàn)了無(wú)窮大的圓弧，順時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)兩圈，N=2，而開環(huán)為最小相位系統(tǒng)，P=0，所以根據(jù)Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

同樣的，對(duì)比圖10中的幅值穿越頻率ωc=1.12rad/s和相位穿越頻率 ωg=0.354 rad/s可知，ωg＜ ωc，根據(jù)Bode穩(wěn)定性判據(jù)，此種情況下，開環(huán)最小相位系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)也是不穩(wěn)定。同時(shí)，從系統(tǒng)Bode圖中還可直接得到幅值裕度Kg（dB）=-20.6 dB，相位裕度γC=-36.7°，這也為后續(xù)評(píng)估系統(tǒng)性能、進(jìn)行系統(tǒng)校正提供了準(zhǔn)確的依據(jù)。

顯然，對(duì)于控制系統(tǒng)的建模仿真、時(shí)間響應(yīng)分析、穩(wěn)定性分析等等，融入Matlab/Simulink工具，不僅簡(jiǎn)單清晰，便于理解，而且能夠充分的調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與自主性，促使學(xué)生們熟悉相關(guān)軟件，真正做到理論與實(shí)踐相結(jié)合，達(dá)到事半功倍的效果。

3 總結(jié)

本文對(duì)基于數(shù)學(xué)/軟件工具的拉氏變換線、頻率特性線和Matlab/Simulink線進(jìn)行了總結(jié)及舉例說(shuō)明，從不同角度對(duì)機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課程教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)化的梳理。這為機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課程的理論及實(shí)踐教學(xué)提供了新的思路和方法，不僅清晰地梳理了本課程的基本內(nèi)容，使教學(xué)系統(tǒng)化、形象化，而且引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不同的主線學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)，使學(xué)生能夠更加直觀、清晰的理解和掌握課程知識(shí)，有利于提高教學(xué)質(zhì)量、增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。