周海軍， 賀才春， 姜其斌， 李玩幽， 周常榮， 莫海樞

(1. 株洲時代新材料科技股份有限公司， 株洲 412007； 2. 哈爾濱工程大學(xué) 動力與能源工程學(xué)院， 哈爾濱 150001)

圓柱殼結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用在航空航天工程、船舶與海洋工程、核工程等領(lǐng)域。近幾十年來，圓柱殼的動態(tài)特性引起了眾多研究，并發(fā)展出一系列針對不同復(fù)雜影響因素的薄殼理論分析方法[1]。在工程應(yīng)用中，圓柱殼經(jīng)常與其他結(jié)構(gòu)耦合使用，如剛性質(zhì)量、環(huán)狀結(jié)構(gòu)、梁、板、艙壁等結(jié)構(gòu)。

Zhang等[2]采用波傳播方法研究了薄圓柱殼的振動特性，計算了一個長圓柱殼結(jié)構(gòu)的頻率并與FEM模型結(jié)果進行了對比分析。Li等[3-4]采用波傳播方法研究了帶環(huán)狀加強結(jié)構(gòu)的圓柱殼的自由振動，殼體的傳播特性以及波傳播方法的精確性。Zhou等[5]采用波傳播方法研究了一般彈性邊界條件下圓柱殼的自由振動特性，并研究了彈性邊界對模態(tài)頻率參數(shù)的影響。

Howard等[6]建立了一個剛性質(zhì)量-被動/主動隔振器-圓柱殼體的模型，研究了振動能量由剛性質(zhì)量向圓柱殼傳遞的特性。胡浩等[7]采用子結(jié)構(gòu)導(dǎo)納法研究了簡支邊界條件下帶有多根彈簧-集中質(zhì)量-圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)的自由振動。陳曉利等[8]利用薄板和梁的導(dǎo)納公式推導(dǎo)了多加筋圓柱殼體在任意位置簡諧力激勵下的彎曲振動響應(yīng)，并對特定參數(shù)的多加筋圓柱殼體的振動能量分布進行了數(shù)值仿真，結(jié)果表明振動能量在加筋處呈現(xiàn)急劇衰減。Lee等[9]采用子結(jié)構(gòu)阻抗法研究了內(nèi)部耦合了矩形板結(jié)構(gòu)的簡支圓柱殼的自由振動和功率流特性。

通過研究上述文獻，并結(jié)合前期工作[10]，本文針對水下結(jié)構(gòu)物軸系至圓柱殼的結(jié)構(gòu)，提出了一個梁-圓柱殼耦合模型，梁和圓柱殼的子結(jié)構(gòu)分別采用改進的傅里葉級數(shù)方法(Improved Fourier Series Method，IFSM)[11]和波傳播方法(Wave Propagation Approach)進行建模，兩者之間的耦合則采用阻抗綜合方法，結(jié)合所得到的子結(jié)構(gòu)結(jié)果進行研究分析，所得結(jié)果采用有限元模型進行了驗證。

1 梁-殼耦合模型及子結(jié)構(gòu)分析

梁-圓柱殼耦合模型如圖1所示，其中L和R分別為圓柱殼的長度和半徑，l1、l2和m分別是梁結(jié)構(gòu)的每跨長度以及梁上集中質(zhì)量點的質(zhì)量，kl和kr為耦合彈簧剛度，f(t)為作用在質(zhì)量點上的簡諧載荷?；谧杩咕C合法，圖1中的梁-殼耦合結(jié)構(gòu)將分成梁和圓柱殼兩個子結(jié)構(gòu)進行分析。

圖1 梁-殼耦合模型

1.1 阻抗綜合法[12]

一個擁有A和B兩個子結(jié)構(gòu)的耦合系統(tǒng)，其中子結(jié)構(gòu)A上作用一簡諧激勵，如圖2所示。假設(shè)此簡諧激勵為另一個子結(jié)構(gòu)C。子結(jié)構(gòu)A和B通過在2,3點處耦合。

圖2 擁有兩個子結(jié)構(gòu)的耦合系統(tǒng)

子結(jié)構(gòu)A的動柔度運動方程可以表示為

(1)

將其寫為矩陣形式

(2)

同理子結(jié)構(gòu)B的運動方程為

(3)

其矩陣形式為

(4)

在系統(tǒng)2,3耦合點處的動力學(xué)相容和力平衡條件為

(5)

(6)

(7)

(8)

將式(5)和式(6)代入式(4)，可得：

(9)

或者

(10)

其中

將式(10)代入式(1)，可得：

(11)

此時，通過求解式(11)可以得到

(12)

(13)

(14)

其中：

此時，將耦合點和激勵點的響應(yīng)表示成了各子結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納形式。

1.2 梁子結(jié)構(gòu)導(dǎo)納分析

具有集中質(zhì)量點的第i跨梁結(jié)構(gòu)振動控制微分方程為

(15)

第i跨梁的彎曲撓度可表示為改進傅里葉級數(shù)的形式

(16)

式中:pi(x)為加速余弦級數(shù)收斂的輔助多項式函數(shù)。

當(dāng)考慮了邊界條件之后，式(16)可以表示為

(17)

([Kij]-ω2[Mij]){Aj}={Fi}

(i,j=1,2……,N)

(18)

其中剛度和質(zhì)量矩陣的單元表示如下

(19)

(20)

(21)

式(18)為一系列線性代數(shù)方程，根據(jù)已知的載荷可以求解得到未知的傅里葉系數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)為自由振動時，即式(18)右邊激勵向量設(shè)為0，則式(18)變?yōu)橐粋€標(biāo)準(zhǔn)特征值問題方程，通過求解特征值方程可以得到方程的特征值和特征向量。當(dāng)設(shè)置激勵向量為單位力幅值時，即可通過式(18)求解得到多跨梁結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納結(jié)果。

1.3 圓柱殼子結(jié)構(gòu)導(dǎo)納分析

基于Flügge理論，u,v和w分別表示殼體的軸向，周向和徑向位移，此時薄壁圓柱殼的運動方程可以表示為

(22)

(23)

(24)

對于一個簡支邊界條件的圓柱殼，其位移可以表示為

(λm=mπR/L)

(25)

(26)

(27)

式中:ω為圓頻率;L為殼體長度;m和n分別為軸向和周向模態(tài)數(shù);U，V，W分別為軸向、周向、徑向位移幅值系數(shù)。

將式(25)～ (27)代入式(22)～ (24)，分別將式(22)兩邊乘以cosλmscos(nθ)，式(23)兩邊乘以sinλmssin(nθ)，式(24)兩邊乘以sinλmscos(nθ)，然后在0～2π及0～L/R上積分，利用三角函數(shù)的正交性可以整理得到如下矩陣形式的表達式：

(28)

其中，ms=2πRhLρ/4

λmn2β2(1-μ)/2]

λmn2β2(1-μ)/2+μλm]=A13

式(28)為一系列線性代數(shù)方程，根據(jù)已知的載荷可以求解得到未知的幅值系數(shù)，進而可以求得殼體的響應(yīng)。當(dāng)設(shè)置激勵向量為單位力幅值時，即可通過式(28)求解得到圓柱殼結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納結(jié)果。

此時，將得到的多跨梁及圓柱殼子結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納結(jié)果代入式(12)～ (14)，即可得到耦合結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。

2 數(shù)值結(jié)果及其分析

2.1 結(jié)果驗證及分析

如圖3所示的梁-圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)，圓柱殼采用簡支邊界，而梁則通過彈簧與圓柱殼相連。圓柱殼結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：R=0.25 m，L=2 m，h=0.005 m，E=2.1×1011N/m2，ρ=7 850 kg/m3,泊松比為0.3；梁結(jié)構(gòu)參數(shù)為：圓截面半徑r=0.01 m，L=1 m，E=2.1×1011N/m2，ρ=7 850 kg/m3,泊松比為0.3。圓柱殼上聯(lián)結(jié)點取為(sl,θl)=(0.5,0)以及(sr,θr)=(1.5,0)，梁的聯(lián)結(jié)點即為其兩端點。

圖3 梁-圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)

在梁結(jié)構(gòu)中點施加一單位力簡諧激勵，頻率范圍為0～500 Hz，所得到的耦合結(jié)構(gòu)激勵點和耦合點的位移響應(yīng)結(jié)果，以及與有限元模型所得結(jié)果的對比見圖4，可以看出，二者結(jié)果除了在耦合點響應(yīng)處反共振峰有一點偏移，其他都吻合得較好。

(a) 激勵點響應(yīng)

(b) 耦合點響應(yīng)

經(jīng)過分析可知反共振峰的偏移由于圓柱殼體軸向和周向模態(tài)數(shù)m和n的取值(M和N)收斂性引起的，如圖5所示，隨著軸向和周向模態(tài)數(shù)m和n的取值增大，共振峰快速收斂，反共振峰也體現(xiàn)出明顯的收斂趨勢。

可以看出，本文方法對梁-圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)的處理是正確的。

2.2 質(zhì)量點-多跨梁-圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)分析

在圖3結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，考慮懸臂梁及集中質(zhì)量點的影響，如圖6所示，懸臂梁跨長度：l2=0.6 m，集中質(zhì)量點質(zhì)量m=5 kg，其他參數(shù)同圖3結(jié)構(gòu)。單位力幅值簡諧激勵施加在質(zhì)量點上，頻率范圍為0～500 Hz，所得質(zhì)量點、左右兩個耦合點的響應(yīng)見圖7。

圖5 圓柱殼收斂性分析

圖6 質(zhì)量點-多跨梁-圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)

圖7 質(zhì)量點及梁耦合點響應(yīng)

由圖7可以看出：① 懸臂端質(zhì)量點響應(yīng)在低頻段要大于耦合點的響應(yīng)，而到高頻后，三個位置的響應(yīng)幅值基本相同；② 結(jié)構(gòu)響應(yīng)共振峰一致，這也符合結(jié)構(gòu)固有頻率的特性；而響應(yīng)的反共振峰卻各有不同。

然后改變懸臂端質(zhì)量點質(zhì)量及懸臂長度，分析其對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，重點分析質(zhì)量點處的響應(yīng)。如圖8所示，為在懸臂長度l2=0.6 m的情況下，改變質(zhì)量點質(zhì)量的結(jié)構(gòu)響應(yīng)影響，質(zhì)量點質(zhì)量分別為4 kg、5 kg及5.5 kg，可以看出，影響不是很大。

如圖9所示，為在質(zhì)量點質(zhì)量m=5 kg的情況下，改變懸臂長度的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，懸臂長度分別為0.4 m、0.6 m及0.8 m，可以看出，在0～50 Hz，三者變化不大，而再往高頻段走，不僅響應(yīng)峰值發(fā)生偏移，而且結(jié)構(gòu)特性也隨著響應(yīng)峰值數(shù)量的改變而發(fā)生了變化。

圖8 質(zhì)量點質(zhì)量對耦合結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響

圖9 懸臂長度對耦合結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響

可以看出，相對于懸臂端質(zhì)量點質(zhì)量，梁的懸臂長度對質(zhì)量點-多跨梁-圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)的振動特性影響更大。

3 結(jié) 論

本文采用子結(jié)構(gòu)阻抗綜合法研究了梁-圓柱殼強耦合系統(tǒng)的振動特性。耦合系統(tǒng)分成了圓柱殼子結(jié)構(gòu)和梁子結(jié)構(gòu)，其中子結(jié)構(gòu)可以有多種特征，如集中質(zhì)量點、多跨等。通過求得的子結(jié)構(gòu)導(dǎo)納結(jié)果，耦合系統(tǒng)通過阻抗綜合法直接求解系統(tǒng)響應(yīng)，其中梁子結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納結(jié)果采用改進的傅里葉級數(shù)方法獲得，圓柱殼子結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納結(jié)果采用波傳播方法獲得，并且其他方法獲得的子結(jié)構(gòu)導(dǎo)納結(jié)果也適用于該綜合方法。

通過與有限元模型所得結(jié)果的對比驗證了該方法的正確性，并研究了一個集中質(zhì)量點-多跨梁-支撐圓柱殼的耦合系統(tǒng)在質(zhì)量點簡諧激勵下的振動特性，可知相對于懸臂端質(zhì)量點質(zhì)量，梁的懸臂長度對質(zhì)量點-多跨梁-圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)的振動特性影響更大。

[1] LEISSA W. Vibrations of shells [M]. Washington, DC: NASA SP, 1973.

[2] ZHANG X M, LIU G R, LAM K Y. Vibration analysis of thin cylindrical shells using wave propagation approach [J]. Journal of Sound and Vibration,2001,239 (3): 397-403.

[3] LI Xuebin. Study on free vibration analysis of circular cylindrical shells using wave propagation [J]. Journal of Sound and Vibration,2008,311:667-682.

[4] GAN Lin, LI Xuebin, ZHANG Zheng. Free vibration analysis of ring-stiffened cylindrical shells using wave propagation approach [J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 326:633-646.

[5] ZHOU Haijun, LI Wanyou, Lü Binglin, et al. Free vibrations of cylindrical shells with elastic-support boundary conditions [J]. Applied Acoustics, 2012, 73:751-756.

[6] HOWARD C Q, HANSEN C H, PAN J Q. Power transmission from a vibrating body to a circular cylindrical shell through passive and active isolators [J]. Journal of Acoustical Society of America, 1997, 101 (3):1479-1491.

[7] 胡浩，李正良，于偉. 帶有彈簧-質(zhì)量-圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)自由振動分析[J]. 振動與沖擊，2016，35(7)：209-213.

HU Hao, LI Zhengliang, YU Wei. Free vibration analysis for a spring-mass-cylindrical shell coupled structure [J]. Journal of Shock and Vibration, 2016，35(7)：209-213.

[8] 陳曉利，盛美萍. 多加筋圓柱殼體振動特性的導(dǎo)納法研究[J]. 振動與沖擊，2007，26(4)：133-135.

CHEN Xiaoli, SHENG Meiping. Vibrational characteristics of a multi-beam-stiffened cylindrical shell by mobility analysis [J]. Journal of Shock and Vibration, 2007，26(4)：133-135.

[9] LEE Y S, CHOI M H, KIM J H. Free vibrations of laminated composite cylindrical shells with an interior rectangular plate [J]. Journal of Sound and Vibration,2003,265:795-817.

[10] 周海軍，呂秉琳，王東華，等. 一種改進傅里葉級數(shù)方法的船舶軸系回旋振動動態(tài)特性研究[J]. 船舶力學(xué)，2012, 16(8): 962-970.

ZHOU Haijun, Lü Binglin, WANG Donghua, et al. Research and analysis of gyroscopic vibration dynamic response of shafting based on an improved fourier series method [J]. Journal of Ship Mechanics, 2012, 16(8): 962-970.

[11] LI W L, XU Hong’an. An exact Fourier series method for the vibration analysis of multi-span beam systems [J]. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 2009(4):0210011-0210019.

[12] 左鶴聲. 機械阻抗方法與應(yīng)用[M]. 北京：機械工業(yè)出版社，1987.