黃 強(qiáng)， 黃宏偉， 張冬梅， 黃 栩

(1. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院地下建筑與工程系， 上海 200092； 2. 同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 200092;3. 中鐵二院華東勘察設(shè)計(jì)有限責(zé)任公司， 杭州 310006)

地表列車(chē)運(yùn)行引起軌道結(jié)構(gòu)響應(yīng)一直是鐵路工程師研究的熱點(diǎn)[1]。隨著現(xiàn)代鐵路運(yùn)行速度越來(lái)越高，列車(chē)的運(yùn)行速度有可能超過(guò)下臥地層的瑞利波速而引起土層振動(dòng)的劇烈增加，此時(shí)列車(chē)速度已經(jīng)超過(guò)了地基-梁系統(tǒng)的臨界速度。Krylov[2]預(yù)測(cè)當(dāng)列車(chē)速度超過(guò)下臥土層的瑞利波波速時(shí)，將導(dǎo)致地基和軌道的急劇增加，類(lèi)似于飛機(jī)突破音障而產(chǎn)生的音爆現(xiàn)象。地表軌道位移的劇烈增加勢(shì)必影響到列車(chē)運(yùn)行安全，因此，評(píng)估列車(chē)運(yùn)行引起的軌道響應(yīng)就顯得十分必要。

分析地表列車(chē)移動(dòng)引起的地基-梁響應(yīng)最簡(jiǎn)單常見(jiàn)的做法是將之視為地基上無(wú)限長(zhǎng)梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題。迄今為止，對(duì)于地基梁的振動(dòng)響應(yīng)研究已是相當(dāng)廣泛。概括而言，可以歸納為三個(gè)方面：一是考慮地基模型不同，常見(jiàn)有單參數(shù)的Winkler地基[3]、兩參數(shù)的Pasternak地基[4]、Vlasov地基[5]等，根據(jù)地基阻尼考慮與否又可相應(yīng)地分為黏彈性地基和彈性地基兩種情況；二是考慮梁類(lèi)型不同，一般為歐拉梁(Euler-Bernoulli梁)和鐵木辛柯梁(Timoshenko梁)兩種；三是考慮荷載形式不同，有移動(dòng)常載、簡(jiǎn)諧荷載以及分布線荷載等多種形式。例如，Kenney[6]研究了移動(dòng)常載作用下Winkler彈性地基梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，地基梁視作Euler-Bernoulli梁。結(jié)果表明，當(dāng)荷載移動(dòng)速度等于無(wú)阻尼條件下的臨界速度時(shí)，地基梁將發(fā)生共振，其撓度增加到無(wú)限大；Fryba[7]利用Fourier變換得到了移動(dòng)常載下Winkler地基梁的撓度響應(yīng)解答，詳細(xì)分析了欠阻尼、臨界阻尼和過(guò)阻尼三種情況下?lián)隙冉獾男问?；Sun[8]利用格林函數(shù)和二重Fourier變換方法得到了移動(dòng)簡(jiǎn)諧均布線荷載作用下黏彈性地基梁的位移響應(yīng)封閉解，分析了不同地基阻尼和荷載頻率下解的形式，并對(duì)解析解進(jìn)行了驗(yàn)證；Kargarnovin等采用Fourier變換方法和圍道積分方法得到了任意分布形式移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下Pasternak地基梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解析解答，梁被視為T(mén)imoshenko梁，得到了梁的撓度、彎矩以及剪力響應(yīng)曲線，分析了荷載速度和頻率的影響；Mallik等[9]分析了Pasternak地基上歐拉梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并利用Fourier變換求解方法對(duì)解析解數(shù)學(xué)表達(dá)形式進(jìn)行了驗(yàn)證，比較了欠阻尼和過(guò)阻尼情況下位移響應(yīng)的解答形式；Chen等[10]提出動(dòng)力剛度矩陣求解方法，分析了移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下黏彈性地基上Timoshenko梁的動(dòng)力響應(yīng)，認(rèn)為地基梁的臨界速度和共振頻率可以通過(guò)動(dòng)力剛度矩陣予以確定；此外，Zhen等[11]研究了移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下彈性地基上Timoshenko梁的臨界速度問(wèn)題。

從已有的研究來(lái)看，目前的研究主要存在兩個(gè)不足。首先，高級(jí)的地基模型較少采用。如三參數(shù)Kerr地基模型[12]；二是對(duì)于不同地基模型下的動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算結(jié)果缺少對(duì)比分析，各模型的適用效果缺少進(jìn)一步的驗(yàn)證。黃栩[13]以軟土隧道上部基坑開(kāi)挖引起的隧道隆起為例，比較了Kerr地基、Pasternak地基和Winkler地基模型的解析計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果，證明Kerr地基模型與有限元分析結(jié)果為最接近，而Winkler地基梁的解析結(jié)果誤差最大。但是對(duì)于動(dòng)力荷載作用的情況，目前對(duì)比研究鮮見(jiàn)報(bào)道。

分析地基梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，地基模型選擇是最關(guān)鍵的因素。高級(jí)模型雖然計(jì)算過(guò)程可能更為復(fù)雜，但是其計(jì)算精度也更高，在實(shí)際應(yīng)用中仍有重要的價(jià)值。目前的研究對(duì)于探討高級(jí)地基模型響應(yīng)的還較少，因此，本文利用Kerr地基模型，分析其在移動(dòng)荷載作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特征，最后建立地基-梁有限元模型，比較不同地基梁模型的解析結(jié)果和有限元結(jié)果差異，指出Kerr地基模型的優(yōu)勢(shì)。

1 Kerr地基梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解答

Kerr地基梁模型如圖1所示。假設(shè)梁為歐拉梁，Kerr地基模型由上、下兩層彈簧和中間剪切層組成，模型參數(shù)為地基壓縮系數(shù)k1、k2和剪切系數(shù)G，剪切層可以起到協(xié)調(diào)彈簧變形的效果。

圖1 Kerr地基梁模型

Kerr地基梁的振動(dòng)方程為

(1)

式中：y1，y2分別為地基梁和剪切層的撓度，m；E1I1為梁的抗彎剛度，Nm2；m1為每單位長(zhǎng)度梁質(zhì)量，kg/m；k1、k2分別上、下層地基壓縮系數(shù)，N/m3；c2為地基阻尼，Ns/m3；G為剪切剛度系數(shù)，N/m；b為梁的寬度，假設(shè)為1 m；p0為荷載幅值，N；w0為荷載圓頻率，rad/s；v為列車(chē)移動(dòng)速度，m/s。對(duì)式(1)進(jìn)行雙重Fourier積分變換，將時(shí)域-空間域的振動(dòng)方程轉(zhuǎn)換成波數(shù)域-頻域內(nèi)的形式。雙重Fourier變換及其逆變換形式如下

(2)

經(jīng)過(guò)Fourier變換后的Kerr地基梁振動(dòng)方程表達(dá)為

(3)

(4)

式(4)中f1(ξ,w)、f2(ξ,w)、f3(ξ,w)表達(dá)式如下

f1(ξ,w)=

(5a)

f2(ξ,w)=-(k1+k2+ic2w+Gξ2)

(5b)

f3=k1

(5c)

對(duì)式(4)進(jìn)行傅里葉逆變換，并采用圍道積分方法即可得到移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下Kerr地基梁撓度穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解析表達(dá)式，如式(6)所示

(6)

式中:ξ1，ξ2，ξ3為ξ虛軸正半?yún)^(qū)域根和ξ實(shí)軸負(fù)半軸上的根；ξ4，ξ5，ξ6為ξ虛軸負(fù)半?yún)^(qū)域根和ξ實(shí)軸正半軸上的根。ξ1-ξ6為f1(ξ,w=w0-ξv)=0的6個(gè)復(fù)數(shù)根。在實(shí)際解答中，ξ1，ξ2,…,ξ6可能具有三種不同的根形式：只有實(shí)數(shù)部分或復(fù)數(shù)部分，或?qū)崝?shù)和復(fù)數(shù)部分都有。

2 Kerr地基梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果

各地基模型的地基參數(shù)一般可以通過(guò)簡(jiǎn)化彈性空間法換算求得[14]。Kerr地基模型的換算公式為

(7)

式中:Es、Gs分別為地基的彈性模量和剪切模量，Pa；H為土層厚度，m。本文算例中假設(shè)Es=50 MPa，泊松比v=0.3，H=15 m，可得Kerr地基參數(shù)為k1=13.33 MPa/m，k2=4.44 MPa/m，G0=128.20 MN/m。假設(shè)鋼軌梁為UIC60鋼軌，有E1I1=6.12×106N/m2，m1=60.34 kg/m；假設(shè)p0=80 kN。

2.1 地基梁頻散曲線

在式(6)中，必須滿足w=w0-ξv，于是假設(shè)有不同w0下的w=w0-ξv直線，如圖2中所示。隨著列車(chē)速度v增大或w0增大，w=w0-ξv直線逐漸向頻散曲線靠近，一旦w=w0-ξv直線與頻散曲線相交，即有點(diǎn)(ξ,w)處于頻散曲線上，此時(shí)f1(ξ,w)=0成立，地基梁就會(huì)發(fā)生共振，在無(wú)地基阻尼時(shí)，梁的振動(dòng)撓度會(huì)趨于無(wú)窮大，有地基阻尼時(shí)，地基梁撓度則會(huì)劇增至一較大值[15]。我們把直線w=w0-ξv與頻散曲線相切時(shí)的列車(chē)速度稱(chēng)為臨界速度?？梢钥闯觯鼗旱呐R界速度受荷載頻率的影響，荷載頻率增大，Kerr地基梁臨界速度會(huì)變小，如圖3所示。當(dāng)荷載為移動(dòng)常載時(shí)，計(jì)算得到列車(chē)臨界速度為537 m/s，荷載頻率為20 Hz時(shí)，臨界速度降為424 m/s。

圖2 Kerr地基梁頻散曲線

圖3 不同荷載頻率下Kerr地基梁臨界速度

2.2 不考慮地基阻尼時(shí)Kerr地基梁響應(yīng)

當(dāng)不考慮地基阻尼的存在時(shí)(c2=0)，Kerr地基梁為彈性地基梁。通過(guò)計(jì)算，靜載作用下梁的撓度為4.03 mm。

2.2.1 列車(chē)運(yùn)行速度的影響

圖3可以看出，不同的荷載頻率下地基梁的撓度曲線隨列車(chē)速度的變化規(guī)律相似。在列車(chē)速度未達(dá)到臨界速度之前，地基梁撓度隨著列車(chē)速度有輕微增加的趨勢(shì)，當(dāng)列車(chē)運(yùn)行速度接近列車(chē)臨界速度時(shí)地基梁撓度會(huì)急劇增大，而當(dāng)列車(chē)速度超過(guò)臨界速度后，荷載作用點(diǎn)的撓度急劇下降并隨著速度增加逐漸減小。然而，臨界速度前后地基梁的撓度響應(yīng)是大為不同的。以20 Hz下的移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載為例，不同速度下的撓度曲線如圖4所示。當(dāng)列車(chē)速度遠(yuǎn)小于臨界速度時(shí)，地基梁撓度曲線左右對(duì)稱(chēng)；當(dāng)列車(chē)速度接近臨界速度時(shí)，最大撓度值快速增加，同時(shí)地基梁兩側(cè)會(huì)出現(xiàn)撓度波動(dòng)現(xiàn)象；當(dāng)列車(chē)速度超越臨界速度后，地基梁撓度曲線變得左右不對(duì)稱(chēng)，荷載后側(cè)方向梁的撓度出現(xiàn)明顯起伏，存在多個(gè)峰值點(diǎn)，此時(shí)梁的最大撓度會(huì)在荷載移動(dòng)向前方出現(xiàn)。

圖4 列車(chē)速度對(duì)Kerr地基梁撓度的影響(f=20 Hz)

2.2.2 荷載頻率的影響

荷載頻率對(duì)地基梁撓度的影響如圖5和圖6所示。圖5表明當(dāng)列車(chē)速度小于臨界速度時(shí)，地基梁的共振頻率等于自振頻率，地基梁撓度隨荷載頻率變化曲線幾乎一致；圖6表明在共振頻率前后地基梁的撓度響應(yīng)是不同的。未達(dá)到共振頻率前，梁撓度先隨著荷載頻率增加逐漸增加，當(dāng)荷載頻率達(dá)到地基-梁自振頻率時(shí)，地基梁發(fā)生共振，荷載頻率繼續(xù)增大時(shí)，荷載作用點(diǎn)處梁撓度反而減少，左右側(cè)撓度響應(yīng)不一致，與前述列車(chē)速度的影響有相似之處。造成這樣的原因是，當(dāng)荷載頻率較小時(shí)，w=w0-ξv直線與頻散曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故地基梁不會(huì)發(fā)生共振，當(dāng)荷載頻率超過(guò)了自振頻率時(shí)，w=w0-ξv直線此時(shí)與頻散曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，導(dǎo)致?lián)隙惹€左右側(cè)都會(huì)出現(xiàn)撓度峰值點(diǎn)，此時(shí)左右側(cè)的撓度響應(yīng)并不一致，出現(xiàn)了起伏。

圖5 荷載頻率對(duì)Kerr地基梁撓度影響(低于臨界速度)

圖6 不同荷載頻率下Kerr地基梁撓度曲線(v=50 m/s)

2.2.3 地基壓縮系數(shù)和剪切系數(shù)的影響

圖7和8給出了不同地基壓縮系數(shù)和剪切系數(shù)下Kerr地基梁撓度曲線。圖7可以看出，地基梁撓度受Kerr地基梁上下層地基壓縮系數(shù)比值影響較大。隨著k1/k2比值增大(這里k2一定，k1增大)，梁的撓度會(huì)快速減少，但最終地基梁撓度會(huì)趨于穩(wěn)定。這是因?yàn)殡S著k1/k2越大，地基彈簧的等效壓縮系數(shù)越來(lái)越近k2。Avramidis等[16]認(rèn)為為了獲得較精確的計(jì)算結(jié)果，采用Kerr地基模型時(shí)可將上層彈簧壓縮系數(shù)k1的取值調(diào)整為k1=nk2，其中n為調(diào)整系數(shù)。黃栩在其研究中認(rèn)為n=7時(shí)地基梁的撓度和彎矩計(jì)算值與有限元結(jié)果最為接近。

圖8為地基剪切系數(shù)對(duì)地基梁撓度的影響，可以發(fā)現(xiàn)隨著G增大，地基梁的撓度有所減少，但改變幅度在變少，表明一味增大剪切系數(shù)G并不能有效減少地基梁的撓度，G0已滿足增強(qiáng)地基彈簧協(xié)調(diào)變形要求。圖7和8表明，Kerr地基參數(shù)中地基壓縮系數(shù)比值是影響Kerr地基梁計(jì)算精度重要的因素，取k1=7k2，G=G0可滿足計(jì)算精度的要求。

圖7 k1/k2比值對(duì)Kerr地基梁撓度影響(k2=4.44×106N/m3,v=50 m/s)

Fig.7 Influence ofk1/k2on the deflection of Kerr foundation beam(k2=4.44×106N/m3,v=50 m/s)

圖8 剪切系數(shù)G對(duì)Kerr地基梁撓度影響(G0=

Fig.8 Influence of shear coefficientGon the deflection of Kerr foundation beam(G0=1.282×108N/m,v=50 m/s)

2.3 考慮地基阻尼下Kerr地基梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

地基梁發(fā)生共振與列車(chē)速度和荷載頻率有關(guān)，因此，可以分析地基阻尼對(duì)臨界速度和共振頻率的影響。地基阻尼對(duì)臨界速度的影響如圖9所示，地基阻尼增加會(huì)使得臨界速度有輕微的增加，但阻尼繼續(xù)增大，臨界速度幾乎不增加。其次，當(dāng)荷載頻率小于共振頻率時(shí)，發(fā)現(xiàn)阻尼存在會(huì)使得地基梁撓度有所減少。在列車(chē)速度小于臨界速度時(shí)，有無(wú)阻尼下的地基梁撓度響應(yīng)曲線相似，而列車(chē)速度大于臨界速度后，兩者的撓度響應(yīng)會(huì)有明顯的不同，如圖10所示，表明地基阻尼對(duì)超過(guò)臨界速度下的地基梁撓度響應(yīng)有重要影響。

圖9 地基阻尼對(duì)Kerr地基梁臨界速度影響(f=20 Hz)

圖10 有無(wú)地基阻尼下列車(chē)速度對(duì)Kerr地基梁撓度的影響(f=20 Hz)

Fig.10 Influence of train speed on the deflection of Kerr foundation beam under the existence or nonexistence of damping(f=20 Hz)

圖11可以看出，當(dāng)列車(chē)速度小于臨界速度時(shí)，地基阻尼增加會(huì)使得地基梁的共振頻率有所增加，從37 Hz增加到72 Hz，但地基阻尼繼續(xù)增加時(shí)，共振頻率幾乎不變，但發(fā)生共振時(shí)地基梁撓度最大值會(huì)繼續(xù)增大。比較有無(wú)地基阻尼時(shí)不同頻率下的Kerr地基梁撓度曲線，發(fā)現(xiàn)兩者基本一致，但是荷載頻率小于共振頻率時(shí)，有阻尼時(shí)的地基梁最大撓度小于無(wú)阻尼的情況，而荷載頻率大于共振頻率時(shí)，則是有阻尼下的地基梁撓度稍大，說(shuō)明地基阻尼對(duì)超過(guò)共振頻率下的地基梁撓度響應(yīng)影響不大。如圖12所示。

圖11 地基阻尼對(duì)地基梁共振頻率影響(v=50 m/s)

3 Kerr地基梁模型驗(yàn)證以及地基模型比較

為了驗(yàn)證Kerr地基梁解答的合理性，本文將Kerr地基梁的計(jì)算結(jié)果與Pasternak地基梁和Winkler地基梁進(jìn)行對(duì)比。Pasternak地基梁模型如圖13所示，在移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下的振動(dòng)響應(yīng)方程為

p0eiw0tδ(x-vt)

(8)

圖12 有無(wú)地基阻尼下頻率對(duì)地基梁撓度的影響(v=50 m/s)

Fig.12 Influence of frequency on the deflection of Kerr foundation beam in the case of the existence or nonexistence of damping(v=50 m/s)

可以看出，當(dāng)Pasternak地基剪切系數(shù)G=0時(shí)，Pasternak地基就退化為Winkler地基。因而可以將Pasternak地基看作Winkler模型的改進(jìn)，Kerr地基中G=0時(shí)也可退化為等效地基壓縮系數(shù)下的Winkler地基，所以也是一種改進(jìn)。

圖13 Pasternak地基梁模型

為了比較不同地基梁模型的計(jì)算精度，建立二維有限元模型予以驗(yàn)證，如圖14所示。梁為UIC60鋼梁，參數(shù)如前所述，荷載頻率為20 Hz，p0=80 kN。

圖14 二維有限元模型

根據(jù)簡(jiǎn)化彈性空間法，可以得到Pasternak地基模型和Winkler地基模型參數(shù)如下

(9)

式中:kp，Gp分別是Pasternak地基壓縮系數(shù)和剪切系數(shù)；kw為Winkler 地基壓縮系數(shù)。Kerr地基模型參數(shù)取k1=7k2，其他參數(shù)仍依據(jù)式(7)確定。

比較靜載和簡(jiǎn)諧荷載作用下地基梁模型解析計(jì)算和有限元計(jì)算結(jié)果，如圖15和16、17所示。圖15可以看出，在靜力荷載作用下，有限元計(jì)算結(jié)果與Kerr地基梁計(jì)算結(jié)果最為接近，且撓度曲線形態(tài)也相似，Pasternak地基梁在荷載作用點(diǎn)處撓度會(huì)偏小，Winkler地基梁結(jié)果與有限元結(jié)果差異最大，且撓度曲線形態(tài)與有限元結(jié)果也相差較大。由此看出，在靜載作用下，Kerr地基梁的計(jì)算精度最高，Pasternak次之，Winkler地基模型誤差較大。

圖15 靜力荷載作用下各地基梁計(jì)算結(jié)果比較

圖16 撓度時(shí)程曲線對(duì)比(x=0 m)

圖17 撓度時(shí)程曲線對(duì)比(x=4.8 m)

圖16、17比較了簡(jiǎn)諧荷載作用下有限元計(jì)算結(jié)果和解析計(jì)算結(jié)果?？梢钥闯?，動(dòng)力荷載作用下，有限元結(jié)果與解析結(jié)果差異與位置有關(guān)。在荷載作用點(diǎn)處，有限元計(jì)算的位移時(shí)程響應(yīng)與解析計(jì)算基本類(lèi)似。從撓度幅值看，Kerr地基梁計(jì)算結(jié)果和有限元結(jié)果差異最小，Pasternak次之，Winkler地基梁的撓度則偏大較多。在遠(yuǎn)離荷載位置處，有限元結(jié)果和解析結(jié)果時(shí)程響應(yīng)曲線相差很大，很難分辨出哪種地基梁模型更為合理。造成如此差異的原因是各地基梁模型中地基被簡(jiǎn)化為無(wú)質(zhì)量的彈簧和剪切層，而有限元模型中地基是實(shí)體單元，地基模型具有質(zhì)量和慣性，因而在外部動(dòng)荷載作用下，有限元中梁的撓度響應(yīng)不可能像各地基梁模型那樣與簡(jiǎn)諧荷載時(shí)程曲線完全一致。采用地基梁模型計(jì)算結(jié)果是一種簡(jiǎn)單的近似手段。

4 結(jié) 論

本文分析移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下了Kerr地基梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特征，并同其他的地基梁模型比較，得到以下幾個(gè)結(jié)論：

(1) 利用頻散曲線可以確定地基梁的自振頻率以及列車(chē)臨界速度。頻率-波數(shù)直線與頻散曲線是否存在交點(diǎn)是判定地基梁響應(yīng)在共振前還是共振后階段的判定，移動(dòng)荷載作用下地基梁發(fā)生共振與臨界速度和荷載頻率都有關(guān)，Kerr地基梁撓度曲線在臨界速度或共振頻率前后有明顯的不同。

(2) Kerr地基梁撓度受上下層地基壓縮系數(shù)比值和地基剪切系數(shù)影響，當(dāng)?shù)鼗禂?shù)比值和剪切系數(shù)不斷增加時(shí)，地基梁撓度會(huì)趨于穩(wěn)定，取k1=7k2，G=G0可滿足計(jì)算精度的要求。

(3) 地基阻尼增加會(huì)使得地基梁的共振頻率和臨界速度有所增加，但很快達(dá)到穩(wěn)定。地基阻尼的存在會(huì)一定程度上減少地基梁的撓度響應(yīng)。

(4) 靜載作用下，Kerr地基梁的計(jì)算精度最高，Pasternak模型次之，Winkler模型計(jì)算精度最差，在動(dòng)力荷載作用下，地基梁的撓度時(shí)程響應(yīng)解析計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果差異較大，僅在荷載作用點(diǎn)處兩者的撓度時(shí)程響應(yīng)較為接近。

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